ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Πολυσυγγραμμικότητα

Στο υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (multiple linear regression model) υποθέσαμε ότι μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών δεν υπάρχει γραμμική συσχετιση. Όταν μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών υπάρχει κάποια γραμμική συσχέτιση, τότε στο υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης εμφανίζεται το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας (multicollinearity).

Τα οικονομικά φαινόμενα χαρακτηρίζονται από αλληλεξάρτηση επομένως έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση γραμμικών σχέσεων μεταξύ τους. Το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας μπορεί επίσης να εμφανιστεί όταν στο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης χρησιμοποιούμε επιπρόσθετες ανεξάρτητες μεταβλητές με χρονική υστέρηση. Η ύπαρξη της πολυσυγγραμμικότητας δυσχεραίνει να προσδιορίσουμε το βαθμό της επίδρασης κάθε ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη.

Είδη πολυσυγγραμμικότητας Η Πολυσυγγραμμικότητα (multicollinearity) μας παραπέμπει σε μια κατάσταση στην οποία δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης σχετίζονται με υψηλή γραμμική σχέση. Αν η συσχέτιση μεταξύ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών είναι ίση με +1 ή -1 τότε λέμε ότι υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμμικότητα. Στις περισσότερες οικονομικές εφαρμογές είναι πολύ σπάνιο να εμφανιστεί η πλήρης πολυσυγγραμμικότητα.

Στα πολλαπλά γραμμικά υποδείγματα που εμφανίζεται κάποιος βαθμός πολυσυγγραμμικότητας οι αναλυτές τροποποιούν το υπόδειγμα της πολλαπλής παλινδρόμησης για να μπορέσουν να απoφύγουν τον υψηλό βαθμό της πολυσυγγραμμικότητας.

Συνέπειες μερικής (ατελούς) πολυσυγγραμμικότητας Παρόλο που είναι BLUE, οι εκτιμητές της OLS έχουν μεγάλες διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις, καθιστώντας δύσκολη την ακριβή εκτίμηση. Λόγω της προηγούμενης συνέπειας, τα διαστήματα εμπιστοσύνης τείνουν να παρουσιάζουν μεγαλύτερο εύρος (γεγονός που οδηγεί σε ευκολότερη αποδοχή της Η0 , δηλ. ο συντελεστής του πληθυσμού είναι μηδέν). Επίσης, ο συντελεστής t ενός ή περισσότερων συντελεστών τείνει να είναι μη στατιστικά σημαντικός Αν και ο συντελεστής t είναι μη στατιστικά σημαντικός, ο R2 μπορεί να είναι πολύ υψηλό. Οι εκτιμητές της OLS και τα τυπικά τους σφάλματα μπορεί να είναι ευαίσθητα σε μικρές αλλαγές στα στοιχεία. (Gujarati, D.N., Porter, D.C (2013) Οικονομετρία-Αρχές και Εφαρμογές)

Τρόποι Διαπίστωσης Οι διάφοροι τρόποι ελέγχου της πολυσυγγραμμικότητας αναφέρονται στη διαπίστωση και μέτρηση και όχι στον έλεγχο αυτής. Μερικοί τρόποι είναι οι εξής: Το Κριτήριο του Frisch Σύμφωνα με το κριτήριο του Frisch (1934) όταν ο συντελεστής προσδιορισμού R2 είναι πολύ μεγάλος, ενώ οι έλεγχοι του t-statistic στους εκτιμητές των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι μη στατιστικά σημαντικοί (ίσοι με μηδέν), και η στατιστική F για το σύνολο των εκτιμητών της παλινδρόμησης είναι υψηλή, τότε υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών.

Το Κριτήριο του Klein Ένα άλλο κριτήριο για τον έλεγχο της πολυσυγγραμμικότητας είναι το κριτήριο του Klein (1962). Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, αν οι συντελεστές συσχέτισης των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι υψηλοί τότε υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα. Η πολυσυγγραμμικότητα αυτή είναι επιβλαβής όταν για . Όπου είναι ο απλός συντελεστής συσχέτισης, και R2 ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού.

Μήτρα Συσχέτισης Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με τη μονάδα γιατί υπάρχει η συσχέτιση κάθε μεταβλητής με τον εαυτό της. Αν ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από τους συντελεστές συσχέτισης μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής και των αντίστοιχων ανεξάρτητων μεταβλητών, τότε λέμε ότι στο υπόδειγμα που εξετάζουμε υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας.

Εκτιμητής Διόγκωσης της Διακύμανσης Ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης (Variance Inflation Factor) δείχνει την ταχύτητα αύξησης της διακύμανσης ενός εκτιμητή όταν υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας.

Όπου είναι ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης του , είναι ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού που προκύπτει από την παλινδρόμηση της ανεξάρτητης μεταβλητής X με όλες τις υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές του υποδείγματος. είναι η πραγματική διακύμανση του εκτιμητή, είναι η δυνητική (ιδανική) διακύμανση του εκτιμητή

Όταν η τιμή του εκτιμητή =1 τότε ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού είναι μηδέν και επομένως δεν υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας. Είναι φανερό ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του εκτιμητή διόγκωσης της διακύμανσης τόσο μεγαλύτερο είναι το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας. Δεν υπάρχει κριτική τιμή για να συγκρίνουμε την τιμή που παίρνει ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης. Ένας πρακτικός κανόνας είναι όταν η τιμή του είναι μεγαλύτερη του 10.

Εκτιμητής Ανεκτικότητας Ο εκτιμητής ανεκτικότητας (Tolerance Index) είναι το αντίστροφο του εκτιμητή διόγκωσης της διακύμανσης, και ορίζεται ως εξής: Αν ο εκτιμητής ανεκτικότητας ισούται με 0 τότε λέμε ότι υπάρχει πλήρης (τέλεια) συσχέτιση ανάμεσα στη μεταβλητή Χ και στις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές του γραμμικού πολλαπλού υποδείγματος. Επομένως υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμμικότητα. Αν ο εκτιμητής ανεκτικότητας ισούται με 1, τότε δεν υπάρχει συσχέτιση ανάμεσα στη μεταβλητή και στις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές του γραμμικού πολλαπλού υποδείγματος, δηλαδή δεν υπάρχει το πρόβλημα της πλήρους πολυσυγγραμμικότητας.

Οι προτεινόμενες λύσεις για το πρόβλημα της πλήρους πολυσυγγραμμικότητας είναι οι ακόλουθες: Αποκλεισμός Μεταβλητών Μετασχηματισμός των Μεταβλητών Αύξηση Μεγέθους του Δείγματος Αλλαγή στη Μαθηματική Διατύπωση του Υποδείγματος