ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΡΙΣΙΜΟΥ ΣΥΜΒΑΝΤΟΣ Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Τετραγωνική Ρίζα Μη Αρνητικού Αριθμού Γιοβάνη Βίρνα Πολίτη Παναγιώτα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Β΄Γυμνασίου Κεφ.2 Πραγμτικοί Αριθμοί Α.2.1 Τετραγωνική Ρίζα Μη Αρνητικού Αριθμού Γ΄Γυμνασίου Κεφ.2 Εξισώσεις-Ανισώσεις Α.2.2 Εξισώσεις β΄βαθμού Α’Λυκείου Κεφ.1 Πραγμτικοί Αριθμοί 1.4 Τετραγωνική Ρίζα Μη Αρνητικού Αριθμού

ΣΤΟΧΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Β΄Γυμνασίου Να γνωρίζουν την έννοια του συμβόλου √α, με α ≥ 0. Να υπολογίζουν τετραγωνικές ρίζες θετικών αριθμών: - με δοκιμές - με τη βοήθεια πινάκων -με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης. Γ΄Γυμνασίου Να γνωρίζουν και να χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των ριζών. Να βρίσκουν το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού και να υπολογίζουν τις λύσεις της με τη βοήθεια του τύπου. Α’Λυκείου Αναγνωρίζουν τη ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού ως τη μοναδική μη αρνητική λύση της εξίσωσης x^ν = α. Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες γινομένου και πηλίκου ν- οστών ριζών. Επιλύουν απλές εξισώσεις της μορφής x^ν = α (α ∈IR )

Ο Ζαχαρίας σηκώνεται στον πίνακα για να λύσει την ακόλουθη άσκηση: Να γράψετε την παράσταση √(x^2)/4 χωρίς ριζικά. Ζαχαρίας : Όπως μας διδάξατε √(x^2)/4 =√(x^2)/√4 Καθηγητής: Πολύ ωραία, εφάρμοσες τέλεια τους τύπους. Συνέχισε. Ζαχαρίας : Όπως επίσης μας διδάξατε √(x^2)/√4 =x/2 Καθηγητής: Το γκρέμισες! Μαθητής:│x│/2 Μαθήτρια: Άρα και √4=-2 αφού (-2)(-2)=4 Καθηγητής: Αφού είπαμε ότι η √ είναι η μη αρνητική λύση.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Η τετραγωνική ρίζα είναι μια έννοια που απαιτεί προσοχή, όταν δεν έχει κατανοηθεί ο ορισμός της μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένα συμπεράσματα. Εδώ έγκειται η κρισιμότητα στο συγκεκριμένο περιστατικό. Ενώ επανειλημμένα τονίστηκε από τον διδάσκοντα ως η μη αρνητική λύση της εξίσωσης x^2=a , βλέπουμε ότι δεν επετεύχθη πλήρως η αφομοίωση της. Μάλιστα παρόμοια περιστατικά παρατηρήθηκαν και σε άλλες ασκήσεις από διαφορετικούς μαθητές.

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΥΜΒΑΝΤΟΣ Η σύγχυση σχετικά με τις τετραγωνικές ρίζες, ίσως να δημιουργείται από τη γλώσσα που χρησιμοποιείται για το σύμβολο της έννοιας. Είναι ορθό να πούμε ότι το 9 έχει δύο ρίζες το -3 και το +3 , επειδή το -3 και το +3 είναι οι λύσεις της εξίσωσης χ²=9. Όμως παρόλο που είναι λάθος η σχέση √9 = −3 το σύμβολο √9 συχνά διαβάζεται ως η τετραγωνική ρίζα του 9, ή απλά η ρίζα του 9. Στην ίδια τάση είναι ενδεικτικό ότι πολλοί μαθητές γράφουν √9=±3, αλλά θεωρούν ότι το √2 σαν ένα θετικό αριθμό και όχι σαν ένα ζευγάρι αριθμών.

Ορισμός Τετραγωνικής Ρίζας Δίνουμε στους μαθητές ένα τετράγωνο εμβαδού 16 και τους ζητάμε να βρουν το μήκος της πλευράς του τετραγώνου. Οι μαθητές γνωρίζουν τον τύπο Ε=α^2. Με κάποιες δοκιμές ή βοήθεια από το σχήμα μπορούν να βρουν ότι α=4. Στη συνέχεια γενικεύοντας δίνουμε ένα τετράγωνο εμβαδού Ε και θέλουμε προσδιορίσουμε το μήκος τη πλευράς του , δηλαδή να βρούμε το α. Αυτό που ξέρουν οι μαθητές για το α είναι πως αν το υψώσουν στο τετράγωνο βρίσκουν το εμβαδόν. Ο αριθμός α του οποίου το τετράγωνο ισούται με Ε ονομάζεται τετραγωνική ρίζα του Ε και συμβολίζεται με √Ε .

Η Εξίσωση Ε=α^2 Στο προηγούμενο παράδειγμα παρατηρούμε ότι το α ως μήκος πλευράς είναι θετικός αριθμός. Όμως μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και ο αριθμός –α επαληθεύει τον τύπο Ε=α^2. Άρα και αριθμός –α είναι λύση της εξίσωσης. Η τετραγωνική ρίζα του Ε είναι η θετική λύση της εξίσωσης Ε=α^2. Ο λόγος που προτείνουμε αυτή την προσέγγιση είναι διότι οι μαθητές είναι πιο εξοικειωμένοι με την έννοια του εμβαδού. Γνωρίζουν ότι πρόκειται για ένα θετικό αριθμό, όπως επίσης και τα μήκη των πλευρών.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ http://ebooks.edu.gr/info/cps/11deppsaps_math.pdf https://eclass.uoa.gr/modules/document/index.php?course=MATH239&openDir=/4ae187dewb8i http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_haralampidou.georgia.pdf