ENOTHTA 2. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Οι άνθρωποι από την πρώτη στιγμή της ύπαρξής τους ήρθαν αντιμέτωποι με ποικίλα προβλήματα, τόσο στις καθημερινές δραστηριότητες όσο και σε διάφορους επιστημονικούς τομείς Ο Όμηρος στην Οδύσσεια περιγράφει τα προβλήματα που αντιμετώπιζε ο Οδυσσέας για να φτάσει στην Ιθάκη «Εύρηκα-Εύρηκα» αναφώνησε ο Αρχιμήδης όταν κλήθηκε να αντιμετωπίσει το πρόβλημα της βασιλικής κορώνας Το πρόβλημα μέτρησης του χρόνου αντιμετωπίστηκε με τη χρήση της κλεψύδρας και του εκκρεμούς Επιδημίες που αντιμετωπίστηκαν με εμβόλια Το πρόβλημα του 2000 και η αντιμετώπισή του ώστε να λειτουργήσουν τα υπολογιστικά συστήματα σωστά την 1/1/2000

Η ύπαρξη των προβλημάτων είναι διαχρονικό φαινόμενο σε Προσωπικό Επαγγελματικό Κοινωνικό χώρο κα Δεν είναι πάντα δυσάρεστες καταστάσεις που απαιτούν λύση (περιβαλλοντικά, κοινωνικά, προσωπικά προβλήματα κα) Μπορεί να είναι ενδιαφέρουσες προκλήσεις (πχ επίλυση γρίφου, παρτίδα σκάκι) ή ευκαιρίες για να προκύψει κάτι ωφέλιμο για την κοινωνία (πχ τρισδιάστατες εκτυπώσεις, νέα υλικά πιο ασφαλή για την κατασκευή αυτοκινήτων κα)

Ορισμός: Με τον όρο Πρόβλημα προσδιορίζεται μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση δεν είναι γνωστή , ούτε προφανής

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (ως προς τη δυνατότητα επίλυσης) ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (ως προς τη δυνατότητα επίλυσης) ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ : είναι εκείνα τα προβλήματα για τα οποία η λύση έχει βρεθεί και έχει διατυπωθεί πχ επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αποψίλωση έκτασης γης (καθαρισμός χωραφιού) ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ : χαρακτηρίζονται εκείνα τα προβλήματα για τα οποία έχει αποδειχτεί, ότι δεν επιδέχονται λύση πχ τετραγωνισμός κύκλου (προσεγγιστικά λύνεται αλλά όχι με τη χρήση κανόνα και διαβήτη) εύρεση ακέραιων λύσεων οποιασδήποτε διοφαντικής εξίσωσης (ακέραια πολυωνυμική εξίσωση) όπως της 6x+15y=4 ΑΝΟΙΧΤΑ : ονομάζονται τα προβλήματα για τα οποία η λύση τους δεν έχει ακόμα βρεθεί, ενώ ταυτόχρονα δεν έχει αποδειχτεί, ότι δεν επιδέχονται λύση πχ το πρόβλημα ενοποίησης των τεσσάρων πεδίων δυνάμεων (βαρυτικού, ηλεκτρομαγνητικού, ασθενούς πυρηνικού και ισχυρού πυρηνικού) εικασία του Γκολντμπαχ (κάθε άρτιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών)

Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ στις αρχές του 20ου αιώνα, έθεσε το ερώτημα : «υπάρχει αλγόριθμος που μπορεί να αποφασίζει την αλήθεια οποιασδήποτε λογικής πρότασης που αφορά τους φυσικούς αριθμούς;» Ουσιαστικά ρωτούσε : «αν μπορεί να αυτοματοποιηθεί η διαδικασία επίλυσης όλων των μαθηματικών προβλημάτων» Το 1931, ο Κουρτ Γκέντελ έδειξε ότι υπάρχουν αληθείς προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί να βεβαιωθεί με κανένα αλγόριθμο. Έδειξε λοιπόν ότι, υπάρχουν μερικές συναρτήσεις που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από έναν αλγόριθμο και άρα δεν μπορούν να υπολογιστούν. Ο Άλαν Τιούρινγκ όρισε τη μηχανή Turing η οποία μπορεί να υπολογίσει οποιαδήποτε υπολογίσιμη συνάρτηση και έδειξε ότι υπήρχαν μερικές συναρτήσεις τις οποίες καμία μηχανή Turing δεν μπορεί να υπολογίσει.

Με βάση τη δυνατότητα επίλυσης μέσω του υπολογιστή Υπολογιστικά προβλήματα Οποιοδήποτε πρόβλημα μπορεί να λυθεί και μέσω υπολογιστή, χαρακτηρίζεται υπολογιστικό πρόβλημα Για να λυθεί ένα πρόβλημα με τη βοήθεια υπολογιστή, χρειάζεται να διατυπωθεί το αντίστοιχο υπολογιστικό πρόβλημα και στη συνέχεια να υλοποιηθεί η επίλυσή του μέσω υπολογιστή Μη υπολογιστικά προβλήματα Δεν μπορούν να λυθούν με υπολογιστή ή άλλα μηχανικά μέσα

Παραδείγματα Υπολογιστικών προβλημάτων επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης ταξινόμηση των μαθητών σε αλφαβητική σειρά εύρεση λέξης που ξεκινά από ένα γράμμα και τελειώνει σε άλλο γράμμα αναζήτηση και υπολογισμός της χιλιομετρικά συντομότερης διαδρομής που θα κάνει ένας ταχυδρόμος για να επισκεφθεί 10 χωριά επιστρέφοντας στο χωριό απ’ όπου ξεκίνησε και περνώντας μόνο μία φορά από κάθε χωριό (δίνεται χάρτης χωριών και δρόμων που συνδέουν τα χωριά) Μη υπολογιστικών προβλημάτων Καμία μηχανή δεν μπορεί να αποφανθεί αν ένα δεδομένο πρόγραμμα θα επιστρέψει απάντηση για μία δεδομένη είσοδο ή θα εκτελείται για πάντα

Στάδια επίλυσης του προβλήματος

Η κατανόηση ενός προβλήματος αποτελεί συνάρτηση 2 παραγόντων : Σωστή διατύπωση από μέρους του δημιουργού του Η διατύπωση γίνεται γραπτά ή προφορικά. Πρέπει να υπάρχει σαφήνεια Σωστή ερμηνεία από μεριάς εκείνου που καλείται να το επιλύσει

Ανάλυση-αφαίρεση Αναλύεται το πρόβλημα σε απλούστερα για να είναι εύκολη η αντιμετώπισή τους. Η ανάλυση μπορεί να πραγματοποιηθεί φραστικά ή διαγραμματικά Διαχωρίζονται τα κύρια στοιχεία του προβλήματος σε σχέση με τα δευτερεύοντα (αφαίρεση) Σημαντικός παράγοντας στην επίλυση του προβλήματος είναι ο επακριβής προσδιορισμός των δεδομένων και η λεπτομερειακή καταγραφή των ζητουμένων που αναμένονται σαν αποτέλεσμα. Επεξεργασία δεδομένων είναι η συστηματική εκτέλεση πράξεων σε δεδομένα.

Κατά τη σύνθεση επιχειρείται η κατασκευή μιας νέας δομής, με την οργάνωση των επιμέρους στοιχείων του προβλήματος. Με την κατηγοριοποίηση του προβλήματος, το πρόβλημα κατατάσσεται σε κάποια κατηγορία, σε μία οικογένεια παρόμοιων προβλημάτων και έτσι διευκολύνεται η επίλυση, αφού παρέχεται η ευκαιρία να προσδιοριστεί το ζητούμενο ανάμεσα σε παρόμοια «αντικείμενα». Με τη γενίκευση, μπορούν να μεταφερθούν τα αποτελέσματα σε άλλες παρεμφερείς καταστάσεις ή προβλήματα.

Γενικότερη κατηγορία : προβλήματα εύρεσης συντομότερης διαδρομής

Να βρεθεί η λύση της συνάρτησης: f(x) = 2x2 – 3x + 4 ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Πρόκειται για β’ θμια εξίσωση με α=2, β=-3, γ=4 Ζητείται η τιμή της x για τις τιμές των α,β,γ ΑΝΑΛΥΣΗ Για να βρεθεί η λύση πρέπει να βρούμε τη διακρίνουσα (Δ). Ο τύπος που δίνει τη διακρίνουσα είναι Δ = β2 – 4αγ Έλεγχος για Δ < 0 ; Υπάρχουν 2 περιπτώσεις Η λύση προκύπτει από τον τύπο x1,x2 = (-β ± √ Δ) / 2α ΣΥΝΘΕΣΗ Η εξίσωση είτε είναι αδύνατη είτε έχει λύσεις τις x1,x2 ΚΑΤΗΡΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ/ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ Όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις αντιμετωπίζονται με αυτήν την προσέγγιση