Δραστηριότητα - απόδειξη Το Πυθαγόρειο Θεώρημα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα Δραστηριότητα - απόδειξη Δραστηριότητα - απόδειξη
ε Ε Δίνονται οκτώ ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές β , γ και υποτείνουσα α Δίνονται και τρία τετράγωνα με πλευρές , α , β , γ , αντίστοιχα. α β ε Ε1 Ε Ε2 γ γ β α
Να υπολογιστούν τα εμβαδά ε , Ε1, Ε2 , Ε των τριγώνων και τετραγώνων
Να τοποθετήσετε κατάλληλα τα τρίγωνα και τετράγωνα , ώστε να σχηματίσουν δύο νέα τετράγωνα , πλευράς (β+γ). β α Ε Ε2 ε Ε1 γ γ β α
Χρησιμοποιώντας τα 2 πράσινα τετράγωνα και τα 4 μπλε τρίγωνα , θα φτιάξουμε το 1ο τετράγωνο. β α Ε Ε2 ε Ε1 γ γ β α
Έτσι δημιουργήσαμε ένα τετράγωνο πλευράς (β+γ) Χρησιμοποιήσαμε τα 2 πράσινα τετράγωνα και 4 από τα ίσα τρίγωνα ε γ Ε1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε β α Ε Ε2 β ε Ε1 ε γ γ γ β Άρα το εμβαδόν του είναι : Ε1 + Ε2 + 4ε
Θα κάνουμε το ίδιο με το πορτοκαλί τετράγωνο και τα 4 υπόλοιπα τρίγωνα: β α ε Έτσι, σχηματίσαμε άλλο ένα τετράγωνο με πλευρά (β+γ) Χρησιμοποίησαμε το πορτοκαλί τετράγωνο και τα άλλα 4 ίσα τρίγωνα που έμειναν. γ β γ ε ε β Ε Ε ε ε ε ε ε ε γ ε α Άρα το εμβαδόν του είναι : Ε + 4ε
ε ε ε ε Ε ε ε ε ε ε Κοιτάξτε τώρα και τα δύο τετράγωνα: γ Ε1 γ β α Ε2 Είναι και τα δύο τετράγωνα με ίδια πλευρά (β+γ) , άρα έχουν ίσα εμβαδά Άρα είναι Ε1 + Ε2 + 4ε = Ε + 4ε Ας αφαιρέσουμε τα 4 ίσα τρίγωνα από το κάθε σχήμα: ε Αφού αφαιρέσαμε ίσα κομμάτια από κάθε σχήμα , τα σχήματα που έμειναν θα έχουν το ίδιο εμβαδόν. Επομένως είναι : Ε1 + Ε2 = Ε
γ ε Ε1 ε γ ε α Ε Ε2 β α ε ε β Ε1 + Ε2 = Ε ε + =
Τετράγωνο της υποτείνουσας Ε α β Ε2 γ Τετράγωνο της μιας κάθετης πλευράς Ε1 Τετράγωνο της άλλης κάθετης πλευράς Αποδείξαμε λοιπόν ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας
Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως το : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως το : ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ