ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Π.χ. η λειτουργία της καρδιάς η περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο κ. α. Χαρακτηριστικά μεγέθη: Περίοδος (Τ=t/N) Συχνότητα (f=N/t) Γωνιακή συχνότητα: ω=2πf=2π/T Μονάδες στο S.I.; T→s, f→ 1/s s-1 Hz ω→rad/s Κίνηση μεταξύ δυο ακραίων θέσεων: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ π.χ εκκρεμές Αν η τροχιά ευθύγραμμη: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) ΣF=0 Απομάκρυνση (x ή y) Πλάτος (x0 ή y0 ή Α)

Μια ορισμένη χρονική στιγμή της εξέλιξης του φαινομένου – όποια θέλουμε- την επιλέγουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ. Συνήθως επιλέγουμε τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα θετικά του άξονα. Από κει και πέρα « ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ » σημαίνει « να απαντήσουμε σε τρία βασικά ερωτήματα » α. πού θα βρίσκεται ο ταλαντωτής σε κάθε στιγμή στο μέλλον ; β. ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του ( η ταχύτητά του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον; γ. ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του ( η επιτάχυνσή του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον ;

Αν x= Αημ(ωt+φ): ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ τότε αποδεικνύεται : υ = ωΑσυν(ωt+φ)=υmaxσυν(ωt+φ) και: a=-ω2 Αημ(ωt+φ)= -amaxημ(ωt+φ)=-ω2x το (-) στην επιτάχυνση σημαίνει ότι έχουμε επιβραδυνόμενη κίνηση; Όχι! ονομάζουμε: φάση: (ωt+φ) αρχική φάση: (φ) Ερώτηση: Ποια η σχέση της φ με την αρχική απομάκρυνση (d); ημφ=d/Α όμως F= ma = -m ω2 Αημ(ωt+φ) = -m ω2x ονομάζουμε σταθερά επαναφοράς: D=mω2  F = -Dx Συνθήκη αρμονικής ταλάντωσης Παράδειγμα γ.α.τ. Όπου D=k διότι για το ελατήριο F=-kx Ακραία θέση Θ.Ι. Α Ακραία θέση k x D=mω2 ω= m  Παράδειγμα 1.1

ΑΣΚΗΣΗ Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η ταχύτητα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση υ=2συν4πt (S.I.). Δίνεται συνπ/3=0,5 και π2≈10. Να υπολογιστεί: α) Η απόσταση των δύο ακραίων θέσεων. β) Η επιτάχυνση όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι x=+A. γ) Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t= 1s/12 δ) Αν η μάζα του ταλαντούμενου σώματος είναι m=0,2kg να υπολογιστεί η σταθερά επαναφοράς του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής τη χρονική στιγμή κατά την οποία η απομάκρυνση είναι x=-A/2.

στο άκρο της ταλάντωσης x > 0 α < 0 υ = 0 άξονας x ο ταλαντωτής στη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ x = 0 α = 0 υ > 0 x > 0 α < 0 υ > 0 Θέση ( απομάκρυνση) ταχύτητα x > 0 α < 0 επιτάχυνση υ > 0 ο ταλαντωτής στο άκρο της ταλάντωσης x > 0 α < 0 υ = 0 x > 0 α < 0 υ < 0 x > 0 α < 0 υ < 0 ο ταλαντωτής στη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ x = 0 α = 0 υ < 0 x < 0 α >0 υ < 0 x < 0 α >0 υ < 0 ο ταλαντωτής στο άκρο της ταλάντωσης x < 0 α >0 υ = 0

F x F=-Dx y=a.x+b με α<0, b=0 DA -DA A -A θέση x δύναμη F

τι είναι αυτό ωt +φ που εμφανίζεται μαζί με το ημίτονο; γωνία ; έστω ένα υλικό σημείο σε ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ με περίοδο Τ. Αποδεικνύεται ότι η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ του σε έναν οποιοδήποτε άξονα εκτελεί ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ τη χρονική στιγμή t x = A ημ(ωt+φ) στην ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ ωt φ Εάν κατά την αρχή των χρόνων το κυκλικά κινούμενο σημείο βρίσκεται σε μια ορισμένη θέση η γωνία που θα έχει διαγράψει η επιβατική ακτίνα σε χρονικό διάστημα t, θα είναι ωt η ΦΑΣΗ της ταλαντευόμενης προβολής του τη χρονική στιγμή t: (ωt+φ)

Τι ονομάζουμε δυναμική ενέργεια; Την ενέργεια λόγω θέσης ή κατάστασης Στην γ.α.τ. η δυναμική ενέργεια: U= Dx2= όπου: x=Aημ(ωt+φ) = DA2ημ2(ωt+φ)= αφού D=mω2 = mω2Α2ημ2(ωt+φ) Τι ονομάζουμε κινητική ενέργεια; Κ= mυ2= όπου: υ=ωAσυν(ωt+φ) = mω2Α2συν2(ωt+φ)= (αφού D=mω2) = DA2συν2(ωt+φ) Τι ονομάζουμε μηχανική ενέργεια; ΕΜ=U+K= = DA2ημ2(ωt+φ)+ DA2συν2(ωt+φ)= = DA2 Αρχή διατ. της μηχ. ενέργειας: U1+K1= U2+K2=Umax=Kmax= EM

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ AΔΜΕ: U1+K1= U2+K2=EM Αν στην άκρη σφαιριδίου βρίσκεται η μύτη ενός μαρκαδόρου και δίπλα του υπάρχει ένα λευκό χαρτί, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης θα αφήνει στο ακίνητο χαρτί μία ίσια γραμμή η οποία αποτελεί, βέβαια, μία πληροφορία για την κίνηση, χωρίς όμως να φανερώνει τίποτα για την ιδιαιτερότητα της εξέλιξής της. Εάν, όμως, κάποιος αρχίσει να μετακινεί το χαρτί με σταθερή ταχύτητα, κάθετα στη διεύθυνση της τροχιάς, (σε μια διαδικασία σαν εκείνη του σεισμογράφου) η εικόνα που θα προκύψει μας αποκαλύπτει την εξέλιξη της κίνησης μέσα στον χρόνο AΔΜΕ: U1+K1= U2+K2=EM CD

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (αν φ=0) ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (αν φ=0) x= Αημωt υ = υmaxσυνωt a= -amaxημωt

ΑΣΚΗΣΗ Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση επιτάχυνσης-χρόνου: Να υπολογιστούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης. β) Η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα. γ) Να βρεθεί η εξίσωση ταχύτητας-χρόνου και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ποσοτικό διάγραμμα. δ) Να κάνετε το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης (ποσοτικό).

U1+K1= U2+K2=EM=Umax=Kmax U= DA2ημ2ωt K= DA2συν2ωt E= DA2 AΔΜΕ: U1+K1= U2+K2=EM=Umax=Kmax

H U=f(x); U= Dx2 y= αx2 + βx + γ H K=f(x); Κ=Ε-U=> K=E - Dx2 -Α Α x

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (αν φ≠0) ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (αν φ≠0) x= Αημ(ωt+φ) υ = υmaxσυν(ωt+φ)= υmaxημ(ωt+φ+π/2) a= -amaxημ(ωt+φ)= amaxημ(ωt+φ+π) * *Φάση γενικά ονομάζουμε την γωνία που υπεισέρχεται στο ημίτονο. έτσι η φάση της x είναι ωt+φ της υ είναι ωt+φ+π/2 της a είναι ωt+φ+π Ερωτήσεις:1.1-1.8 ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ

ΑΣΚΗΣΗ Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η επιτάχυνση ενός σώματος μάζας m=2kg, που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με το χρόνο. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω και το πλάτος ταλάντωσης Α. β) Να γράψετε την εξίσωση που δίνει τη φάση της ταλάντωσης φ σε συνάρτηση με το χρόνο t. γ) Να παραστήσετε γραφικά την επιτάχυνση a σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. δ) Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιμή της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t1=πs/30.

Ασκήσεις (βιβλίου): 1.27 (ΓΑΤ βλέπε παράδειγμα 1.1) 1.28 (χρήση ΑΔΜΕ για την ταλάντωση) 1.29 (για την θέση ισορροπίας ΣF=0) Προβλήματα (βιβλίου): 1.37 (εύρεση αρχικής φάσης) 1.38 (Fελατήριου=-kΔl ≠ Fεπαναφοράς=-Dx) 1.39 (επίλυση τριγωνομετρικής ανισότητας) 1.40 (στις κρούσεις με ακίνητα εμπόδια όχι ΑΔΟ) 1.41 (στις κρούσεις ΑΔΟ) 1.46 (για κάθε κομμάτι κίνησης το δικό του χρόνο) 1.47 (κρούσεις) 1.48 ( « )