ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΕΣ ΟΠΤΙΚΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ KAI KYMAΤΟΔΗΓΟΙ ΣΥΝΟΠTIKH ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τομέας Επικοινωνιών και Επεξεργασίας Σήματος Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών
Ολοκληρωμένα οπτικά κυκλώματα (OIC) Περιεχόμενα Ολοκληρωμένα οπτικά κυκλώματα (OIC) Υλικά Μέθοδοι κατασκευής Διηλεκτρικοί κυματοδηγοί Άπειρος επίπεδος κυματοδηγός (slab) Channel waveguides
Ολοκληρωμένες οπτικές διατάξεις •Δεκαετία του 1960: Κυματοδήγηση της ΗΛΜ ενέργειας στις οπτικές συχνότητες με τη βοήθεια λεπτών στρωμάτων διηλεκτρικών υλικών Υλοποίηση παθητικών κυρίως οπτικών δομικών στοιχείων σε ένα μόνο υπόστρωμα με τεχνικές ανάλογες της μικροηλεκτρονικής, που γρήγορα επεκτάθηκαν σε ημιαγωγικά υλικά για την πραγματοποίηση ενεργών στοιχείων. Τα οπτικά αυτά δομικά στοιχεία ενεργά η μη, που χαρακτηρίζονται από την “επιπεδική” (planar) τεχνολογία αποτελούν τα: οπτικά ολοκληρωμένα κυκλώματα (OIC - Optical Integrated Circuits).΄ Στόχος της ολοκληρωμένης οπτικής είναι η ανάπτυξη ολοκληρωμένων οπτικών διατάξεων σε ένα μόνο υπόστρωμα για τον έλεγχο και την επεξεργασία σημάτων σε οπτική μορφή OIC: ανάλογα με τη λειτουργία τους, απαιτούν συνδυασμούς πηγών για τη δημιουργία οπτικής ισχύος, διαμορφωτών για την εισαγωγή του μηνύματος, μεταγωγέων για τη δρομολόγηση αυτής της ισχύος, οπτικών κυματοδηγών για τη σύνδεση των διαφόρων δομικών στοιχείων του και φωτοφωρατών για τη λήψη των οπτικών σημάτων Η εξέλιξη των επικοινωνιών υπήρξε Θεαματική σε όλη τη διάρκεια τον 20ού αιώνα. Ιδιαίτερα από το Β' Παγκόσμιο Πόλεμο και μετά, δόθηκε τεράστια σημασία στην τεχνολογία των συστημάτων επικοινωνώ με χρήση ηλεκτρικών σημάτων. Ανάμεσα στα πιο αξιόλογα επιτεύγματα της περιόδου αυτής επικοινωνιών το ραντάρ, τα μικροκυματικά συστήματα, το τρανζίστορ και τα ολοκληρωμένα κυκλώματα, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, οι τηλεπικοινωνιακοί δορυφόροι και τα laser. Σήμερα όλος ο πλανήτης μας είναι διασυνδεδεμένος με συστήματα επικοινωνίας που μεταφέρουν ομιλία, κείμενο, εικόνες και διάφορες πληροφορίες. Κατευθυντήρια δύναμη και προϋπόθεση της εξέλιξης αυτής ήταν η αντίστοιχη εξέλιξη της Ηλεκτρονικής. Η Ηλεκτρονική σήμερα έχει αλλάξει τελείως φυσιογνωμία σε σχέση με το τί ήταν πριν 50 χρόνια. Μέχρι το 1950 ορίζαμε την Ηλεκτρονική ως τη σπονδή των φαινομένων της αγωγιμότητας στο κενό, στα αέρια, ή στους ημιαγωγούς, καθώς και τη χρήση των διατάξεων που βασίζονται στα φαινόμενα αυτά. Σήμερα, περιγράφεται η Ηλεκτρονική ως το σύνολο των τεχνικών που χρησιμοποιούν τις μεταβολές φυσικών μεγεθών (ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, πληθυσμών φωτονίων και ηλεκτρικών φορέων) για να συλλάβουν, να διαβιβάσουν και να εκμεταλλευτούν μια πληροφορία. Η πληροφορία και η ανταλλαγή αυτής (δηλ. η επικοινωνία), γίνεται επικρατούσα μορφή-στόχος της νέας Ηλεκτρονικής. Εξετάζοντας τη φύση της πληροφορίας και τον τρόπο μετάδοσής της, διατρέχουμε ουσιαστικά και τις διάφορες όψεις της Ηλεκτρονικής ως Επιστήμης που ερευνά ή ως Βιομηχανίας που εφαρμόζει. Η ανταλλαγή πληροφορίας είναι η βάση της ανάπτυξης των επικοινωνιών. Στη χώρα μας, οι επικοινωνίες αλλάζουν με ταχύτατους ρυθμούς. Το παλιό αναλογικό τηλεφωνικό δημόσιο δίκτυο έχει σχεδόν πλήρως αντικατασταθεί με ψηφιακά δίκτυα και νέες τεχνολογίες και υπηρεσίες. Οι οπτικές ίνες είναι πλέον το απαραίτητο μέσο μετάδοσης πληροφορίας και παρόμοια ανάπτυξη γνωρίζουν οι ασυρματικές επικοινωνίες (λ.χ. δορυφορικές επικοινωνίες, κινητή τηλεφωνία). Όλες αυτές οι εξελίξεις βασίζονται στην ανάπτυξη της τεχνολογίας των: • Ολοκληρωμένων ημιαγωγικών κυκλωμάτων • Μικροκυματικών διατάξεων • Οπτικοηλεκτρονικών διατάξεων Στην ενότητα αυτή παρουσιαστούν συνοπτικά οι κυριότερες τεχνολογίες οι οποίες χρησιμοποιούνται στα συστήματα επικοινωνιών. ξεκινώντας από τα τρανζίστορ και φθάνοντας στην οπτικοηλεκτρονική ολοκλήρωση, θα μελετηθούν οι αρχές λειτουργίας και κατασκευής και οι εφαρμογές των κυριότερων δομικών στοιχείων των συστημάτων και θα σκιαγραφηθούν οι διαφαινόμενες τάσεις και προοπτικές.
Οπτικοηλεκτρονική οπτικοηλεκτρονική ολοκλήρωση: ταυτόχρονη ανάπτυξη οπτικών, ηλεκτροοπτικών και ηλεκτρονικών διατάξεων στον ίδιο μονοκρύσταλλο. Νέες δυνατότητες και εφαρμογές Η οπτικοηλεκτρονική τεχνολογία είναι κεφαλαιώδους σημασίας στη νέα κοινωνία της πληροφορίας Νέες Οπτικοηλεκτρο νικές διατάξεις Οπτικοηλεκτρο νικές διατάξεις Οπτικοηλεκτρο νικές διατάξεις
Υλικά της ολοκληρωμένης οπτικοηλεκτρονικής Η επιλογή του υλικού αλλά και της τεχνικής που θα εφαρμοστεί στην κατασκευή ενός υβριδικού ή μονολιθικού OIC, εξαρτάται από τη λειτουργία, το χρησιμοποιούμενο μήκος κύματος και τις απαιτούμενες επιδόσεις της διάταξης Πομπός/δέκτης παθητικά στοιχεία μήκος κύματος (μm) απώλειες σύνδεσης με οπτική ίνα (dB) απώλειες κυματοδηγού (dB/cm) Θερμική ευαισθησία του δ.δ.dn/dT (10-4 oK) Πολωτική ευαισθησία [nTE-nTM] (10-4) Διάμετρος υποστρωματικού δισκίου (wafer) (cm) InGaAsp/InP 1.3/1.5 >2 2 0.1-10 5-8 GaAlAs/GaAs 4 2-10 8 Άμορφο SiO2 (Γυαλί) 0.4 <0.1 0.1-0.5 >10 LiNbO3 <1 <0.3 400 πολυμερή < 1.1 <0.5 1-3 2-50 >20
Ημιαγωγικά υλικά - Ομάδα ΙΙΙ-V Οι σύνθετοι ημιαγωγοί III-V προκύπτουν από συνδυασμούς των στοιχείων της ομάδας ΙΙΙ (δηλαδή Al, Ga, In) με τα στοιχεία της ομάδας V (δηλαδή P, As, Sb). Τα υλικά αυτά και κυρίως το GaAs, χρησιμοποιούνται για την κατασκευή φωτοφωρατών και φωτοπηγών (LED, Laser) Σύνθετοι τριαδικοί ημιαγωγοί που προκύπτουν από δύο στοιχεία της ομάδας ΙΙΙ και ένα της ομάδας V παρουσιάζουν ιδιότητες, που εξαρτώνται από την ποσοστιαία σύσταση των προσμίξεων (AlxGa1-xAs/GaAs ) Σύνθετοι ημιαγωγοί προκύπτουν ακόμη συνδυάζοντας δύο στοιχεία της ομάδας ΙΙΙ και δύο της ομάδας V. Οι τετραδικοί αυτοί ημιαγωγοί παρουσιάζουν μεγαλύτερη ευελιξία όσον αφορά τη σύνθεση υλικών με επιθυμητές ιδιότητες σε σχέση με τα τριαδικά, λόγω του επιπλέον βαθμού ελευθερίας. O πλέον χρησιμοποιούμενος τετραδικός ημιαγωγός είναι το In1-xGaxAs1-yPy υπο τη συνθήκη y=2.197x Η Οι τριαδικοί σύνθετοι ημιαγωγοί σχηματίζονται με κίνηση κατά μήκος της γραμμής που συνδέει τα δύο σημεία που αναπαριστούν τις δυαδικές συνθέσεις. Ένας σύνθετος τετραδικός ημιαγωγός παριστάνεται από ένα σημείο που ανήκει στην επιφάνεια που ορίζεται από τα τέσσερα δυαδικά συστατικά του. Η γραμμοσκιασμένη επιφάνεια παριστάνει τις συνθέσεις του In1-xGaxAs1-yPy
Ιδιότητες των υλικών I Β(In1-xGaxAsyP1-y) = xyB(GaAs)+x(1-y)B(GaP)+ Γενικά οι ιδιότητες του τετραδικού υλικού (In1-xGaxAsyP1-y) προσεγγίζονται χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Vegard, σύμφωνα με τον οποίο οι ιδιότητες αυτές καθορίζονται από το ποσοστό των δυαδικών συστατικών του. Παράμετροι όπως η σταθερά πλέγματος, η ενέργεια χάσματος και οι μάζες ηλεκτρονίων και οπών μπορούν να εκτιμηθούν από τα δυαδικά συστατικά GaAs, GaP, InAs, και InP σύμφωνα με τη σχέση [Nahory 1978]: Β(In1-xGaxAsyP1-y) = xyB(GaAs)+x(1-y)B(GaP)+ y(1-x)B(InAs)+(1-x)(1-y)B(InP) όπου η μεταβλητή Β αναπαριστά τη σταθερά πλέγματος a, την ενέργεια χάσματος Εg ή τη μάζα me, mlh, και mhh
Ιδιότητες των υλικών II Εg = 1.35-0.72y+0.12y2 με Εg = 1.24/λg , Εο = 3.391-1.652y+0.863y2-0.123y3 η ενέργεια ταλάντωσης , Εd = 28.91-9.278y+5.626y2 η ενέργεια διασποράς, h η σταθερά του Planck
Μέθοδοι κατασκευής OIC Οι πιο γνωστές χρησιμοποιούμενες τεχνικές αποτελούν επέκταση των τεχνικών της μικροηλεκτρονικής: Τεχνικές διάχυσης (Diffusion) και Τεχνικές εμφύτευσης - ανταλλαγής ιόντων (ion implantation - exchange) Χρησιμοποιούνται στην τεχνολογία διατάξεων του LiNbΟ3 Τεχνικές ανάπτυξης (Growing) Εδώ υλικό προσμείξεων παρόμοιο με το υλικό του υποστρώματος, επιπροστίθεται με τη μορφή κρυσταλλοποιημένου στρώματος στο υπόστρωμα. Χρησιμοποιούνται διαδικασίες όπως ο RF βομβαρδισμός ιόντων (sputtering) [Maissel 1973] και η επιταξία (epitaxial growth) (Cheo 1973). Η πρώτη τεχνική, χρησιμοποιήθηκε στα πρώτα βήματα της ολοκληρωμένης οπτικής.
Mέθοδοι Επιταξίας (1) Η επιταξία (Epitaxial Crystal Growth) είναι μια μορφή εναπόθεσης λεπτών φιλμ Οι προηγούμενες μέθοδοι δίνουν άμορφα ή πολυκρυσταλλικά φιλμ η επιταξία δίνει κρυσταλλικά στρώματα που είναι προέκταση του κρυσταλλικού πλέγματος του υποστρώματος. Από την ιδιότητα αυτή προέρχεται και ο όρος "επιταξία", δηλαδή η "σε τάξη" προέκταση τον κρυσταλλικού υποστρώματος. ΤΥΠΟΙ ΕΠΙΤΑΞΙΑΣ Επιταξία Υγρής Φάσης (Liquid Phase Epitaxy, LPE) Επιταξία αέριας φάσης (Vapor Phase Epitaxy, VPΕ) Επιταξία Μοριακής Δέσμης (Molecular Beam Epitaxy, ΜΒΕ) Χημική Αέρια Εναπόθεση Μεταλλικών Οργανικών Ενώσεων (Metal Organίc Chemίcal Vapor Deposition, MOCVD)
Επιταξία (2) Οι επιταξιακές τεχνικές χρησιμοποιούνται σήμερα, σχεδόν αποκλειστικά, στην κατασκευή μονολιθικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων και αποσκοπούν στην κρυσταλλική ανάπτυξη, με προσαρμογή πλέγματος, ενός ημιαγωγικού υλικού επάνω σε ένα άλλο. Επιτρέπουν την ανάπτυξη σύνθετων τριαδικών ή τετραδικών ημιαγωγών που ικανοποιούν τη σχέση: Eg κυματοδηγού > Eg φωτοπηγής > Eg φωτοφωρατή
Τεχνικές εγχάραξης (Εtching) Με τις τεχνικές αυτές καθορίζεται η γεωμετρία των δομών των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων Είναι απαραίτητες στο σχηματισμό των οπτικών τρισδιάστατων κυματοδηγών και βασίζονται σε τυπικές φωτολιθογραφικές μεθόδους με τις οποίες η επιθυμητή δομή αποτυπώνεται (patterning) πάνω σε ένα στρώμα ευπαθούς υλικού Ο κυματοδηγός σχηματίζεται με προσβολή του στρώματος κάλυψης (mask) με χημικά αντιδραστήρια (wet etching), ή με την επίδραση δέσμης ιόντων RIE (Reactive Ion Etching) και RIBE (Reactive Ion Beam Etching)
Διαδικασία κατασκευής διηλ/κου Wg
Τύποι channel waveguides
Τυπικοί διηλεκτρικοί κυματοδηγοί Οι οπτικοί κυματοδηγοί της ολοκληρωμένης οπτικής, συγκεντρώνουν και οδηγούν τη φωτεινή ισχύ συνδέοντας τα δομικά στοιχεία ενός ολοκληρωμένου οπτικού κυκλώματος. Έτσι δίκαια θεωρούνται ως νευραλγικής σημασίας τμήμα ενός OIC α) Επίπεδος άπειρος κυματοδηγός (slab waveguide) και β) τρισδιάστατος κυματοδηγός τύπου καναλιού
Καμπύλοι κυματοδηγοί αR = c1exp(-c2R) Oι καμπύλοι κυματοδηγοί χρησιμοποιούνται για την αλλαγή της διεύθυνσης διάδοσης της οπτικής ισχύος και την διασύνδεση των διαφόρων δομικών στοιχείων ενός OIC. Οι παράμετροι που τους χαρακτηρίζουν είναι κυρίως η ακτίνα καμπυλότητάς τους R και οι απώλειες οπτικής ισχύος, που συνεπάγεται η παρεμβολή τους. Όσο μειώνεται η ακτίνα καμπυλότητας, η κατεύθυνση μιας οπτικής διαδρομής αλλάζει σε μικρότερη απόσταση διάδοσης. Αντίθετα όμως οι απώλειες οπτικής ισχύος λόγω καμπυλότητας του κυματοδηγού αυξάνονται με τη μείωση της ακτίνας R αR = c1exp(-c2R)
Κυματοδηγοί διάδοσης σε χαμηλό δείκτη διάθλασης (slot WG) Πολύ υψηλό confinement factor Εξαιρετικοί για τη δημιουργία φίλτρων και αισθητήρων Μεγάλες απώλειες
Μηχανισμοί απωλειών στους οπτικούς κυματοδηγούς τόσο οι ευθύγραμμοι όσο και οι καμπύλοι κυματοδηγοί εμφανίζουν απώλειες που οφείλονται σε δύο μηχανισμούς: της σκέδασης (scattering) και της απορρόφησης (absorption) Απώλειες σκέδασης Σκέδαση όγκου: ατέλειες του υλικού του κυματοδηγού, όπως άτομα προσμείξεων ή παραμορφώσεις του κρυσταλλικού πλέγματος Σκέδαση επιφανείας. Οι απώλειες λόγω σκέδασης επιφανείας είναι πολύ πιο σημαντικές από εκείνες της σκέδασης όγκου ακόμη και σε κυματοδηγούς με πολύ λείες επιφάνειες, ιδιαίτερα για τους τρόπους διάδοσης υψηλότερης τάξης, κι αυτό λόγω της ισχυρής αλληλεπίδρασης των διαδιδόμενων κυμάτων με την επιφάνεια του κυματοδηγού (φαινόμενο ολικής ανάκλασης) Απώλειες Απορρόφησης Στη διαζωνική απορρόφηση (interband absorption) Μοριακές δονήσεις (IR) απορρόφηση των ελεύθερων φορέων (free carrier absorption) Εξαναγκασμένες ηλεκτρονικές μεταπτώσεις (UV) Ιδιαίτερα σημαντικές στα ημιαγωγικά υλικά
Η διάδοση στους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς Η μελέτη της διάδοσης του φωτός σε οποιοδήποτε μέσο γίνεται με τη βοήθεια των εξισώσεων του Maxwell, από τις οποίες με τον κατάλληλο συνδυασμό τους προκύπτει η κυματική εξίσωση Helmholtz. Η επίλυση της κυματικής εξίσωσης γίνεται αναλυτικά μόνο στην περίπτωση του επίπεδου άπειρου κυματοδηγού Από την ανάλυση αυτής της ειδικής αλλά πολύ χρήσιμης στην ολοκληρωμένη οπτική γεωμετρίας, προκύπτει ότι ένας τέτοιος κυματοδηγός υποστηρίζει εν γένει δύο είδη τρόπων διάδοσης, τους ΤΕ (Tranverse Electric) με μοναδική συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου την Εy και τους ΤΜ με μοναδική συνιστώσα μαγνητικού πεδίου την Ηy Σε ένα τρισδιάστατο κυματοδηγό, οι τρόποι διάδοσης δεν είναι ούτε ΤΕ ούτε ΤΜ, εφόσον όλες οι συνιστώσες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου των τρόπων διάδοσης είναι διάφορες του μηδενός. Χαρακτηρίζονται σαν ή ανάλογα με το αν η κύρια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι κατά τον y-άξονα ή κατά τον x-άξονα. Υπό κάποιες προϋποθέσεις όμως, που κατά κανόνα ικανοποιούνται στις περισσότερες πρακτικές διατάξεις της ολοκληρωμένης οπτικής οι τρόποι αυτοί μπορούν να θεωρηθούν “δίκην” ΤΕ ή ΤΜ (quasi TE ή ΤΜ) αντίστοιχα
Ακτινική Προσέγγιση 1 Ακτινική προσέγγιση στο πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη γωνία Fresnel Δεν δίνει ακριβέις λύσεις σε διηλεκτρικούς τρισδιάστατους κυματοδηγούς διότι υπάρχει εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από το λ Εξαιρετικά χρήσιμη για την κατανόηση του φαινομένου sinθc = (n2 / n1) rTE = (n1cosθ1-n2cosθ2) / (n1cosθ1+n2cosθ2) rTΜ = (n2cosθ1-n1cosθ2) / (n2cosθ1+n1cosθ2)
Προσέγγιση μέσω κλασσικής οπτικής 2 Θεώρηση ασύμμετρου κυματοδηγού απείρων διαστασεων όπου (n1>n3>n2) Cover (n2) Thin Film(n1) Substrate (n3) Cover (n2) Cover (n2) Thin Film(n1) Thin Film(n1) Substrate (n3) Substrate (n3)
Ακτινική προσέγγιση σε επίπεδο κυματοδηγό Ε = exp[-jκn(+-xcosθ+zsinθ)] εξίσωση του πεδίου β = κn1sinθ = ω/up σταθερά διάδοσης στον άξονα z 2kn1hcosθ – 2Φsubstrate-2Φcover = 2νπ (ν=0,1,2,...) όπου ν ο αριθμός των τρόπων Η εξίσωση μας δίνει τις επιτρεπτές κρίσιμες γωνίες για κάθε τρόπο και την εξάρτηση του β από το μήκος κύματος. Η εξίσωση επιλύεται γραφικά Cover (n2) Φcover Thin Film(n1) Φpropagation Substrate (n3) Φsubstrate
Maxwell equations Name Differential form Integral form Gauss's law Maxwell equations Name Differential form Integral form Gauss's law Gauss's law for magnetism Maxwell–Faraday equation (Faraday's law of induction) Ampère's circuital law (with Maxwell's correction)
Βασικές εξισώσεις Στους τρισδιάστατους κυματοδηγούς, ο δείκτης διάθλασης n = n(x,y) θεωρώντας πεδία με περιοδική εξάρτηση ως προς το χρόνο, δηλαδή θεωρώντας ότι και
Διηλεκτρικοί κυματοδηγοί Ι ΕξισώσειςMaxwell για αρμονικά πεδία σε διηλεκτρικό: (ε, n=(ε/ε0)1/2, μ=μ0, J= 0, ρ=0) Με οριακές συνθήκες: ζ
Διηλεκτρικοί κυματοδηγοί II Η κυματική εξίσωση γράφεται: Με γενική λύση: και Για διάδοση στον z-άξονα: kx = ky = 0, kz = γ (= a+jβ) C και ζ
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί –Slab (I) n3 n2 = n3 συμμετρικός επίπεδος κυματοδηγός n2 n3 aσύμμετρος επίπεδος κυματοδηγός n1 n2 H Δομή εκτείνεται στο ως πρός y οι λύσεις ανεξάρτητες του y Και η κυματική εξίσωση για κάθε μέσο i=1,2,3 γράφεται:
Κυματοδηγός Slab Στην περίπτωση του επίπεδου άπειρου κυματοδηγού έχομε δύο είδη τρόπων διάδοσης, των ΤΕ (Ez = 0) και των ΤΜ (Hz = 0) TE TM
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί (II) Οι λύσεις θα είναι (γ = jβ) εκθετικές ή ημιτονοειδείς συναρτήσεις του x ανάλογα με το πρόσημο του όρου: kn3 kn2 kn1 n3 2a n1 n2 Συνθήκη κυματοδήγησης: n1k β n2k n3k
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TE modes (I) Επειδή από τις εξισώσεις του Maxwell για τους τρόπους ΤΕ προκύπτει ότι οι μη μηδενικές συνιστώσες των είναι οι : Εy, Hx, Hz με: και Θεωρώντας n1k n2k n3k οι λύσεις για το Εy και Ηz στις τρείς περιοχές που ικανοποιούν επιπλέον την απαίτηση συνεχείaς (για το Ey) στις διαχωριστικές επιφάνειες (x=0, x=-2a) είναι:
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TE modes (II) Για να είναι Ηz|χ=0+= ,Ηz|χ=0- και Ηz|χ= -2α+ = ,Ηz|χ= -2α-: Χαρακτηριστική εξίσωση για τα ΤΕ modes Ασύμμετρος επίπεδος κυματοδηγός
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TE modes (III) Επιλύοντας αριθμητικά την (5.11) προκύπτουν διακριτές τιμές για τη σταθερά διάδοσης β των τρόπων που μπορεί να υποστηρίξει ο κυματοδηγός για δεδομένο λ. Ορισμός: β/k = neff. n1 > neff > n2 Η σχέση διασποράς β(ω) δεν εκφράζεται αναλυτικά Οι συχνότητες αποκοπής (ή τα αντίστοιχα μήκη κύματος) προκύπτουν θεωρώντας p 0 από τις σχέσεις:
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TE modes (IV) Στην πράξη n1,n2 αρκετά μεγαλύτερο από n3 (συνήθως αέρας) και το μήκος κύματος αποκοπής για τους ΤΕm τρόπους προκύπτει προσεγγιστικά από τη σχέση: ή ( Π ) όπου Η κανονικοποιημένη συχνότητα του κυματοδηγού
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TΜ modes (Ι) Για τους τρόπους ΤΜ προκύπτει ότι οι μη μηδενικές συνιστώσες είναι οι : Ηy, Εx, Εz με: Θεωρώντας n1k n2k n3k οι λύσεις για το Hy και Ez στις τρεις περιοχές που ικανοποιούν επιπλέον την απαίτηση συνεχείaς (για το Ey) στις διαχωριστικές επιφάνειες (x=0, x=-2a) είναι:
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TΜ modes (ΙI) Απαιτώντας την συνέχεια της Εz συνιστώσας στο x=0 και στο x=-2a προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση για τα ΤΜ modes
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TΜ modes (ΙIΙ) Επιλύοντας αριθμητικά την (5.16) προκύπτουν οι σταθερές διάδοσης β που μπορεί να υποστηρίξει ο κυματοδηγός για δεδομένο λ Οι συχνότητες αποκοπής (ή τα αντίστοιχα μήκη κύματος) προκύπτουν θεωρώντας p 0 από τις σχέσεις:
Επίπεδοι διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί : TΜ modes (ΙV) Το πλήθος των τρόπων ΤΜ που υποστηρίζει ένας ασύμμετρος επίπεδος διηλεκτρικός κυματοδηγός είναι : Στην κυματοδήγηση βΤΕ, βΤΜ : κβαντισμένες τιμές ( n1k β n2k n3k) Στην αποκοπή (τρόποι ακτινοβολίας) βΤΕ, βΤΜ: συνεχείς τιμές (<kn2) Δεν υπάρχει κύριος τρόπος διάδοσης (fc=0)
TE modes και V number
Σχέσεις διασποράς- SLAB Wg
Σύνοψη για τους SLAB Wgs