Διάλεξη 4 Δυναμική του Σύμπαντος II Σύνοψη Διάλεξης 3: Η εξίσωση Friedmann: Η μοίρα του Σύμπαντος εξαρτάται από το k: k<0: Αιώνια Διαστολή k=0: Η ταχύτητα διαστολής τείνει στο 0 μετά από άπειρο χρόνο. k>0: Η διαστολή σταματά σε μια μέγιστη κλίμακα και μετά αρχίζει συστολή.

Βοηθητικό Υλικό Liddle Κεφ.3 σελ. 22-24

Η εξίσωση ιδανικού ρευστού Η εξίσωση Friedmann δεν είναι αρκετή για τον προσδιορισμό του a(t), χρειαζόμαστε ακόμα μια εξίσωση που να περιγράφει πως αλλάζει με το χρόνο (ή με τον παράγοντα κλίμακας α) η μέση πυκνότητα ρ του Σύμπαντος. Θεωρείστε μια διαστελόμενη περιοχή του Σύμπαντος Εφαρμόζουμε τον 1ο νόμο της θερμοδυναμικής Μεταβολή Όγκου Ροή θερμότητας από ή προς την περιοχή Πίεση Μεταβολή Εσωτερικής Ενέργειας

Η Εξίσωση Ιδανικού Ρευστού Για ένα ομογενές Σύμπαν δεν υπάρχει ροή θερμότητας προς ή από οποιαδήποτε περιοχή: dQ=TdS=0. Διεργασίες στις οποίες η εντροπία S δεν αυξάνεται dS=0 λέγονται αντιστρεπτές ή αδιαβατικές. Η διαστολή του Σύμπαντος είναι μια αντιστρεπτή διεργασία.

Η Εξίσωση Ιδανικού Ρευστού Θεωρείστε ένα σφαιρικό όγκο V ακτίνας r=a(t) x: Η ενέργεια E στο εσωτερικό του όγκου είναι E=Mc2=ρV c2 Αντικαθιστόντας στην dE/dt+P dV/dt=0, παίρνουμε:

Η Εξίσωση Ιδανικού Ρευστού Πρώτος όρος στην ( ): αραίωμα της πυκνότητας λόγω αύξησης του όγκου Δεύτερος Όρος στην ( ): Απώλεια ενέργειας λόγω του έργου που παράγει η πίεση καθώς ό όγκος του Σύμπαντος αυξάνεται. Αυτή η ενέργεια μετατρέπεται από ενέργεια ρευστού σε βαρυτική δυναμική ενέργεια. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Δεν υπάρχουν δυνάμεις πίεσης σε ένα ομογενές Σύμπαν. Για να ασκηθεί δύναμη λόγω πίεσης απαιτείται χωρική μεταβολή της πίεσης αλλά η πίεση είναι παντού η ίδια. Η πίεση δεν συνεισφέρει κάποια δύναμη που βοηθά την διαστολή του Σύμπαντος!

Ολοκληρώνοντας το Σύστημα: Η εξίσωση κατάστασης Δύο διαφορικές εξισώσεις, τρεις άγνωστες συναρτήσεις του χρόνου: a, ρ, p. Χρειαζόμαστε άλλη μια εξίσωση που να συνδέει τα p και ρ. Αυτή είναι η εξίσωση κατάστασης που συνδέει την πίεση με την πυκνότητα ενέργειας του υλικού. Περισσότερα σχετικά με αυτό σε επόμενες διαλέξεις.

Η Εξίσωση Επιτάχυνσης: Αυτή η εξίσωση περιγράφει την επιτάχυνση του παράγοντα διαστολής. Προκύπτει από την εξίσωση Friedmann και την εξίσωση ρευστού και δεν είναι μια ανεξάρτητη εξίσωση. Αρχίζουμε με την εξίσωση Friedmann: Παραγωγίζουμε ως προς χρόνο:

Η Εξίσωση Επιτάχυνσης: Στην Χρησιμοποιούμε την εξ. ρευστού: και παίρνουμε: Χρησιμοποιόντας ξανά την εξίσωση Friedmann παίρνουμε:

Μια νέα μονάδα ταχύτητας, c=1. Ορίζουμε ένα μέτρο χρόνου ως το χρόνο που χρειάζεται το φως για να διανύσει ένα μέτρο διαστήματος Αν μετράμε τον χρόνο σε μέτρα, τότε η c δεν είναι απλά 1 αλλά είναι και αδιάστατο μέγεθος. Κατά την μετατροπή από το SI σ αυτή τη φυσική μονάδα χρησιμοποιούμε:

Γράφοντας την εξίσωση Friedmann για c=1. Προηγουμένως: Μονάδες c:[μήκος] [χρόνος]-1 , Μονάδες k:[Μήκος]-2 Τώρα: Μονάδες του c: αδιάστατο, Μονάδες k: [χρόνος]-2

Σύνοψη Friedmann: Ρευστού Επιτάχυνσης Η Δυναμική του Σύμπαντος 3 διαφορικές εξισώσεις, δύο από αυτές ανεξάρτητες Friedmann: Ρευστού Επιτάχυνσης Χρειαζόμαστε ακόμα μια εξίσωση κατάστασης, p=p(ρ) και συνοριακές συνθήκες