ομογενείς δ.ε.

ομογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης Μια δ.ε. M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 (I) λέγεται ομογενής αν οι συναρτήσεις M(x,y) και Ν(x,y) είναι ομογενείς του ίδιου βαθμού ως προς x και y. δηλαδή, οι συναρτήσεις Μ(x,y) και N(x,y) αποτελούνται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x4-0,5x2y2+xy3-y4 4ου βαθμού ως προς x και y g(x,y) = x2y-3- 4x-4y3-23x-2y+x-1 -1 βαθμού ως προς x και y h(x,y) = 1+xy-1+x2y-2 = x0y0+xy-1+x2y-2 μηδενικού βαθμού ως προς x και y

Τότε, y=ux ισοδύναμα x=vy για να επιλύσουμε την δ.ε την ανάγουμε σε μια δ.ε. χωριζόμενων μεταβλητών! επίλυση Θέτουμε Τότε, y=ux ισοδύναμα x=vy άρα, dy=udx+xdu ισοδύναμα dx=vdy+ydv Επομένως, η (Ι) παίρνει την μορφή: A(x)dx + B(u)du = 0 ισοδύναμα P(x)dy + Q(v)dv = 0 και γίνεται χωριζόμενων μεταβλητών !

Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. (xdx+ydy)(x2+y2) = x3dx λύση: x3dx+xy2dx+x2ydy+y3dy = x3dx xy2dx+(x2y+y3)dy = 0 (I) είναι της μορφής M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M(x,y)=xy2, N(x,y)=x2y+y3 Θέτουμε, τότε, x=uy άρα dx=udy+ydu και η (Ι) γίνεται uy3(udy+ydu)+(u2y3+y3)dy = 0 (u2y3+u2y3+y3)dy+uy4du = 0 y3(2u2+1)dy+uy4du = 0 (II) (2u2+1)dy+uydu = 0

χωριζόμενων μεταβλητών επειδή y0 και 2u2+10  y(2u2+1)0 διαιρώ και τα δύο μέλη της (ΙΙ) με το y(2u2+1) χωριζόμενων μεταβλητών άρα,

Επομένως I1 = 1/4 ln|2u2+1|+c2, c2R Άρα, ln|y| +c1=-I1 ln|y|=-¼ ln(2u2+1)+c, όπου c3 = c2- c1 4ln|y| +ln(2u2+1) = 4c3 lny4 + ln(2u2+1) = ln[y4(2u2+1)] = lnc0, όπου lnc0=4c3 άρα, y4(2u2+1)=c0 δηλαδή, y4[2(x2/y2)+1] = c0 και επομένως γενική λύση! 2x2y2 + y4 = c0

Άσκηση: Να βρεθεί μια καμπύλη στο επίπεδο Οxy έτσι ώστε: (i) να περνά από το σημείο Α(0,1) (ii) η εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα τυχαίο σημείο της Μ να τέμνει τον άξονα Οy σε ένα σημείο Ν έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜΝ να είναι ισοσκελές με ΟΜ=ΟΝ.

 υποθέτουμε ότι η καμπύλη (συνάρτηση) που ζητάμε έχει τύπο y=f(x) λύση:  υποθέτουμε ότι το τυχαίο σημείο Μ έχει συντεταγμένες x και y (συγκεκριμένοι αριθμοί), δηλαδή Μ(x,y) Επειδή το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές ΟΜ=ΟΝ, άρα (I) (ΟΜ)=(ΟΝ)= Επιπλέον, η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της y=f(x) στο σημείο Μ(x,y) είναι: (II) Υ = y + (Χ-x)f΄(x) Οι συντεταγμένες του σημείου Ν είναι Ν(0,y1) δηλαδή, y1=(ON) και από την (Ι) έχουμε:

διαφορική εξίσωση 1ης τάξης Επειδή η (ε) περνά από το σημείο Ν, έπεται ότι οι συντε- ταγμένες του θα επαληθεύουν την (Ι), δηλαδή και επειδή οι συντεταγμένες x,y είναι άγνωστοι όροι, η παραπάνω εξίσωση γράφεται: λύση: διαφορική εξίσωση 1ης τάξης ομογενής δ.ε. Μ(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

θέτουμε και επομένως η (Ι) που ισοδύναμα γράφεται μετά την αντικατάσταση γίνεται

χωριζόμενων μεταβλητών τελικά,

ισοδύναμα η παραπάνω εξίσωση γράφεται τελικά,

άρα, x2 = c5(c5-2y) και με την αντικατάσταση u=y/x έχουμε Γενική λύση της δ.ε.

αρχικές συνθήκες  για c5=0  x=0  για c5=2  x2 = 4 -4y  καμπύλη περνά από το σημείο Α(0,1), άρα 0 = c5(c5-2) δηλαδή, c5=0 ή c5=2 απορρίπτεται  για c5=0  x=0 διότι η x=0 είναι ευθεία!!  για c5=2  x2 = 4 -4y  η εξίσωση της καμπύλης

γραφική παράσταση ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x2/4) εφαπτομένη της καμπύλης ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x2/4)