« Οι αριθμοί στη ζωή μας και τη Θέμα: « Οι αριθμοί στη ζωή μας και τη φύση »

Ο άνθρωπος είναι ένα κλάσμα που αριθμητή έχει την πραγματική του αξία και παρονομαστή την ιδέα που έχει για τον εαυτό του. Ο αριθμητής παραμένει ο ίδιος (δηλαδή η πραγματική αξία του ανθρώπου). Γι’αυτό όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής ( η ιδέα που έχει για τον εαυτό του) τόσο μικρότερο είναι το κλάσμα (δηλαδή ο άνθρωπος) Λέων Τολστόι

Ντενί Γκετζ (Γάλλος μαθηματικός και λογοτέχνης) Κάθε φορά που λέμε εξίσωση αναφερόμαστε στην ισότητα. Τι θα κάναμε χωρίς την ισότητα! Χωρίς την ισότητα δεν θα είχαμε μαθηματικά. Ούτε βέβαια και δημοκρατία. Η ισότητα των ευκαιριών είναι για τους τυχερούς. Είναι άραγε οι άνθρωποι ίσοι στον αγώνα τους για ισότητα? Ντενί Γκετζ (Γάλλος μαθηματικός και λογοτέχνης)

Τα όντα είναι αριθμοί, έλεγαν οι Πυθαγόρειοι Τα όντα είναι αριθμοί, έλεγαν οι Πυθαγόρειοι. «Το σύμπαν δημιουργήθηκε από το 1 μετά από διαίρεση του από την εισπνοή του απείρου». (Κάτι ανάλογο με την θεωρία του Big Bang). Έτσι από το 1 προκύπτει το 2 που δίνει την ευθεία, από το 2 προκύπτει το 3 που δίνει το τρίγωνο, από το 3 το 4 που δίνει το τετράεδρο και από αυτά έγιναν όλα τα σώματα, που αποτελούνται από τα τέσσερα στοιχεία: πυρ, ύδωρ, γη και αήρ. Έτσι αφού όλα είναι αριθμοί, έχουν ιδιότητες την δικαιοσύνη, τη νόηση, την ψυχή, τη μουσική γι’αυτό το σύμπαν έχει αρμονία. Ακόμη στην αρχαιότητα είχαν και τους ιερούς γεωμετρικούς λόγους: π, φ , Έτσι έχουμε τη χρυσή τομή, το χρυσό ορθογώνιο με λόγο πλευρών φ, το χρυσό ισοσκελές τρίγωνο με γωνία κορυφής 30. Οι λόγοι αυτοί συναντώνται στα ουράνια σώματα, στα φυτά τα ζώα, τους ανθρώπους, τα ψάρια....

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήματος βρίσκονται πέντε ερωτήματα καθένα από τα οποία περιμένει την απάντησή του   1. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά μία μονάδα; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; 2. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον ελαττώσεις κατά μία μονάδα να αντιστραφεί; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; 3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου; 4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναι βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του. Πόσες φορές; 5. Η ακολουθία Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 . . Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται. αν = αν-1 + αν-2 . Αν φτιάξουμε μια ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας θα έχουμε Θα διαπιστώσουμε ότι «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Δοκίμασε το πρώτο . Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο x x2 = x + 1 άρα : x2-x-1= 0 κι αν την λύσεις :χ=(1+√5)/2 Δοκίμασε το δεύτερο . Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο y y – 1 = 1/y κι αν την λύσεις : y= (1+√5)/2 Δοκίμασε το τρίτο. Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με τον αριθμό z z = α/β = β/γ ή α/β = β/(α-β) ή α(α-β) = β2 ή α2 – αβ –β2 = 0 ή ή α2 – αβ –β2 = 0 (α/β)2-(α/β) –1 = 0 z2–z-1 = 0 z = (1+5) /2

Δοκίμασε το τέταρτο. Σχεδίασε το δεκάγωνο και δες ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο που δημιουργείται με μία πλευρά (L) του δεκαγώνου και δύο ακτίνες (R) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 360., οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 720.Από τα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται προκύπτει ότι η ακτίνα του κύκλου είναι (1+5) /2 φορές μεγαλύτερη από την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου Το πέμπτο το αντιμετώπισέ το με ένα κομπιουτεράκι. Υπολόγισε με το κομπιουτεράκι, τις τιμές αυτών των λόγων, σε δεκαδικούς 2/1 = 2 3/2 = 1,5000000 5/3 = 1,666666 8/5 = 1,6000000 13/8 = 1,6250000 21/13 = 1,6153846 34/21 = 1,6190476 55/34 = 1,617647 89/55 = 1,6181818 144/89 = 1,6179775 233/144 = 1,6180555 377/233 =1,6180257 610/ 377 = 1,6180371

Το γενικό συμπέρασμα. Και στις πέντε περιπτώσεις ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με (1+5) /2 ή με επτά δεκαδικά ψηφία ίσος με 1, 6180339. . . ο αριθμός αυτός διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ Είναι ο λεγόμενος ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.  

Ας γνωρίσουμε τους αριθμούς Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… Ο Φιμπονάτσι, καταγράφοντας τις γεννήσεις των κουνελιών σε ιδανικές συνθήκες, παρατήρησε ότι γίνονται σύμφωνα με τους όρους της ακολουθίας 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Της ακολουθίας δηλαδή στην οποία κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.  Από τη διαίρεση ενός όρου αυτής της ακολουθίας, με τον αμέσως προηγούμενο, παίρνουμε έναν αριθμό λίγο μεγαλύτερο από ενάμιση. Όσο μεγαλώνουν οι όροι της ακολουθίας, τόσο πιο πολύ ο λόγος τους θα κοντεύει στο χρυσό αριθμό φ.. Υπέροχοι και μυστήριοι χαρακτηρίζονται αυτοί οι αριθμοί και απαντώνται παντού και σε διάφορες επιστήμες. Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση. Είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς παντού, στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού, στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός ανανά. Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη την ανθρωπότητα.

Χρυσό τρίγωνο Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ. Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 360 είναι χρυσό. Μπορούμε να το αποδείξουμε φέρνοντας τη διχοτόμο μιας από τις παρά τη βάση γωνίες – στο σχήμα της Β – τα τρίγωνα ABC και ABD είναι όμοια, οπότε (AC) = φ(AB) Η διχοτόμος της γωνίας Β = 720 δημιουργεί στην απέναντι πλευρά χρυσή τομή   Χρυσό ορθογώνιο Το χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο πλευρών ίσο με φ :α/β = φ . Αν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο με πλευρά β, το ορθογώνιο με πλευρές β, γ που θα απομείνει θα είναι και πάλι χρυσό, θα είναι δηλαδή β/γ = φ και αυτό θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.  

 Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. H λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο. 

Πρώτη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 4 Βήμα 3 Βήμα 2 Βήμα 1 Δεύτερη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο. Βήμα 4 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 1 Βήμα 5 Βήμα 7 Βήμα 6 Βήμα 8

Ο «φ» έχει συσχετιστεί με τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος, τους βιορυθμούς του, τον καρδιακό ρυθμό, την απόσταση των ζωτικών οργάνων μεταξύ τους. Πρώτος ο Leonardo Da Vinci διαπίστωσε ότι ο λόγος της απόστασης από τον ώμο μας μέχρι την άκρη των δακτύλων μας προς την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων μας είναι «φ». Το ίδιο ισχύει και για το λόγο του ύψους μας προς την απόσταση του αφαλού μας από τη Γη. Ακόμη και στο θέμα της γοητείας που ασκούν κάποια πρόσωπα κρύβεται ο «φ». Το ότι σε κάποιους από εμάς ταιριάζει το καπέλο ή το μούσι ή τα φουντωτά μαλλιά είναι θέμα «Χρυσής Τομής

Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Φ Δεν είναι τυχαίο ότι σε πολλές “ανατολίτικες θρησκείες” και κινήματα ,στα πλαίσια της διδασκαλίας τους για ΔΙΑΛΟΓΙΣΜΟ και “αυτοσυγκέντρωση” και στο λεγόμενο "γιόγκα« η στάση του ανθρώπινου σώματος (η οκλαδόν) γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι ώστε τα "κεντρικά κομβικά« σημεία του σώματος να βρίσκονται σε μία αναλογία μεταξύ τους ΧΡΥΣΗ, σε αναλογίες Φ. Εξάλλου είναι γνωστό ότι οι περισσότεροι Πλαστικοί χειρούργοι στις επεμβάσεις τους χρησιμοποιούν τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και επιδιώκουν να επιτύχουν αναλογίες βασισμένες στο θεώρημα της Χρυσής τομής

Ένα ακόμη ενδιαφέρον στοιχείo είναι ότι στο ανθρώπινο σώμα, το κέντρο είναι ο ομφαλός. Επομένως,αν ένας άντρας ξαπλώσει με το πρόσωπο προς τα πάνω,τα χέρια και τα πόδια του αναπτυγμένα, και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον ομφαλό, τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών θα αγγίξουν την περιφέρεια του κύκλου. Μπορούμε επίσης να περικλείσουμε το σώμα με ένα ορθογώνιο σχήμα. Αν διαιρέσουμε τη μια πλευρά του ορθογωνίου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση από τον ομφαλό μέχρι την άκρη των δαχτύλων),θα έχουμε το χρυσό αριθμό.Σ’αυτό το συμπέρασμα κατέληξε ο Leonardo da Vinci τo1490 σχεδιάζοντας τον βιτρούβιο άνθρωπο.

Οι τέλειες αναλογίες του ανθρώπινου σώματος , παρουσιάστηκαν με μοναδικό τρόπο στην γλυπτική των αρχαίων Ελλήνων. Έτσι τα αριστουργήματα τέχνης που θαυμάζουμε, ακολουθούν με ευλάβεια τη μαγεία των αριθμών.

Πέρα όμως από τη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων, η Χρυσή Τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. Για παράδειγμα, αν παρουσιάσετε σε μια ομάδα ανθρώπων ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διάφορες αναλογίες πλευρών, οι περισσότεροι επιλέγουν ως «αρμονικότερο» αυτό του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. H τάση αυτή ήταν ήδη γνωστή στους αρχιτέκτονες της αρχαίας Ελλάδας, όπως δείχνει το γεγονός ότι η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κτιρίων.

Στο Αιγυπτιακό τρίγωνο, που εμφανίζεται στην κάτω δεξιά εικόνα, Ο λόγος του παράπλευρου ύψους του a προς τη βάση του b μας δίνει τον «χρυσό» αριθμό φ

Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι  δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο  του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί  γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσειςείναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. Στη φωτογραφία δίπλα βλέπετε ένα μικρό χαμομήλι. Τα πέταλα που βρίσκονται στο κέντρο του λουλουδιού σχηματίζουν σπείρες, σύμφωνα με τη ακολουθία Fibonacci . Υπάρχουν 21 πιο σκούρες μπλε σπείρες και 13 σπείρες με τυρκουάζ χρώμα. Το 13 και το 21 είναι διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. 

Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci

Η στάση του μοντέλου σε μια καλαίσθητη φωτογραφία ! Προσέξτε την κίνηση του νερού!!

Κάθε φορά που οι νιφάδες του χιονιού πέφτουν λικνιζόμενες από τον ουρανό, εκτυλίσσεται και μια μυστική φαντασμαγορία σχημάτων, λίγο πιο κάτω από τα όρια διακριτικότητας του ανθρώπινου ματιού. Γιατί, αν κανείς μεγεθύνει τις νιφάδες κάτω από ένα μικροσκόπιο...   θα διαπιστώσει με έκπληξη ότι εκεί κρύβεται ένας ολόκληρος γεωμετρικός κόσμος. Είναι ένα σχεδιαστικό αριστούργημα και κανένα δεν επαναλαμβάνεται παρά εμφανίζεται μόνο μια φορά. Τέτοια ομορφιά τι κρίμα να λιώνει και να χάνεται

Γιατί η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα! 1. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. 2. Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαμέριση για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού.Αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά ,ότι αν θέλουμε να χωρίσουμε σε μικρότερα τμήματα ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνετε με την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η μέλισσα  δηλαδή γνωρίζει και ανώτερα μαθηματικά!

Η μέλισσα γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αυγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι πατέρα. Αντιθέτως, τόσο η βασίλισσα ( η μοναδική που μπορεί να κάνει αυγά) όσο και οι εργάτριες γεννιούνται από αυγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό. Αυτές λοιπόν έχουν και πατέρα και μητέρα. Επομένως το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής: έχει 1 μητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), 3 προπαππούδες (δύο από την γιαγιά και μία από τον παππού), 5 προ-προπαππούδες, 8 προ-προ-προπαππούδες και ούτω καθεξής. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι μια ακολουθία Φιμπονάτσι!!!

  Τα τζιτζίκια, όμως, και συγκεκριμένα τα είδη Magicicada Septendecim και magicicada tredecim, παρουσίασαν ένα ακόμα χαρακτηριστικό για την εξήγηση του οποίου οι βιολόγοι ζήτησαν και πάλι τη βοήθεια των μαθηματικών. Και τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται κάθε 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα, ζευγαρώνουν, γενούν τα αυγά τους και πεθαίνουν. Το υπόλοιπο διάστημα της ζωής τους παραμένουν ως νύμφες κάτω από το έδαφος. Σημασία εδώ έχει ότι ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι η μαθηματική αυτή ακρίβεια τα προστατεύει από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Ένα σενάριο προέβλεπε ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι «αποφεύγει» έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5 κ.ο.κ.

Η έννοια της «Χρυσής Τομής», απασχόλησε και απασχολεί σε παγκόσμιο επίπεδο αρκετούς ερευνητές, κι αυτό γιατί θεωρείται ότι εμφανίζεται στις τέχνες (ζωγραφική, γλυπτική, αρχιτεκτονική, μουσική κ.τ.λ.), στη φύση (όπως για παράδειγμα στη διατομή του DNA), αλλά και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων. 

Η πρώτη δημιουργεί,οπτικοποιεί , η άλλη μελετά". " Η Τέχνη αναπαριστά με εικόνες και αντικείμενα τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Τα μαθηματικά μελετούν τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Η πρώτη δημιουργεί,οπτικοποιεί , η άλλη μελετά". " Ο μαθηματικός όπως ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής είναι ένας σχεδιαστής. Ο ζωγράφος φτιάχνει σχέδια με σχήματα και χρώματα ,ο ποιητής με ιδέες. Τα μαθηματικά σχεδιάσματα , όπως εκείνα του ποιητή ή του ζωγράφου πρέπει να είναι όμορφα. Δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά".

Ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Liza ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς το επίσης σε χρυσά ορθογώνια. Η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί στις γραμμές του προσώπου, στο κομμάτι που ξεκινά από το λαιμό και φτάνει ως την αρχή των χεριών κι από το ντεκολτέ ως χαμηλά στα χέρια

Ένας ακόµα καλλιτέχνης που επηρεάστηκε από τη Χρυσή αναλογία ήταν ο Ισπανός ζωγράφος Σαλβαντόρ Νταλί (1904-1989). Όπως παρατηρούμε στον πίνακά του «Θυσία του Μυστικού ∆είπνου», οι διαστάσεις του πίνακα βρίσκονται σε Χρυσό Λόγο µεταξύ τους. Επίσης, το θόλος από ένα τεράστιο δωδεκάεδρο φαίνεται να πλέει πάνω από το τραπέζι και να το καλύπτει (τα Πλατωνικά στερεά και ιδιαίτερα το δωδεκάεδρο σχετίζονται στενά µε το χρυσό λόγο)

 Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης.Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς.Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο.

Ι.Ξενάκης (1922-2001) : Η μουσική του αποτελεί το αποτέλεσμα μετασχηματισμών μαθηματικών σχέσεων και συναφών μεθόδων και δεν στηρίζεται σε ερμηνευτές που διαβάζουν την "κλασική παρτιτούρα". Οι μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιούνται έχουν συνήθως σχέση με θεωρίες πιθανοτήτων καθώς και στατιστική. Το τελικό αποτέλεσμα είναι κομμάτια με αρκετά ζωντανό περιεχόμενο, τα οποία μπορούν να αλλάξουν την ιδέα μας για την κατεύθυνση της μουσικής στο μέλλον. Βασική ιδέα της μουσικής του Ξενάκη είναι ο μετασχηματισμός των διαφόρων μαθηματικών σχέσεων σε μουσικούς ήχους,χρησιμοποιώντας σειρά εργαλείων, όπως η Θεωρία των Πιθανοτήτων, η Θερμοδυναμική, η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι. Ένας μοναδικός και πρωτοπόρος μουσικός επιστήμονας

Η μουσική που ακούγεται κατά τη διάρκεια της παρουσίασης, είναι η «μουσική του π». Η αντιστοίχηση των ψηφίων του αριθμού «π» με μουσικούς φθόγγους βασίστηκε στην ιδέα του μουσικού Μάικλ Τζον Μπλέικ, ο οποίος δημιούργησε το «pi song» για την «pi day» (14 Μαρτίου) του 2011. Αντιστοίχισε τους αριθμούς με μουσικές νότες, χρησιμοποιώντας τα πρώτα 32 σημαντικά ψηφία (αυτά που δεν περιλαμβάνουν μηδενικά) και στη συνέχεια έφτιαξε 8 μουσικά μέτρα, βασισμένα σε ρυθμό που αντιστοιχεί με το μισό του αριθμού «π». «Προέκυψε μία σειρά 32 μουσικών φθόγγων, η οποία δεν εμφανίζει καμιά περιοδικότητα, με αποτέλεσμα να δημιουργείται η εντύπωση της ατονικότητας»

Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.

Ίσως να είχε δίκιο ο αρχαίος Φιλόλαος και τα πάντα να βρίσκονται στους αριθμούς ή, καλύτερα, οι αριθμοί να είναι τα πάντα. Ο διακεκριμένος αστρονόμος Μάρτιν Ρις συμφωνεί εν μέρει με τον Φιλόλαο. Ο Ρις θεωρεί ότι το σύμπαν μπορεί να αναχθεί σε έξι αριθμούς: μισή ντουζίνα μεταβλητές που καθορίζουν τη συμπεριφορά των φυσικών νόμων και έχουν αποτυπωθεί στο χώρο και στο χρόνο αμέσως μετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Αν οποιοδήποτε από αυτά τα ψηφία ήταν διαφορετικό από αυτό που είναι, ακόμα και για ένα εκατοστό, τίποτα δε θα ήταν όμοιο: οι γαλαξίες δε θα διαστέλλονταν, οι πλανήτες δε θα μπορούσαν να είχαν αναπτυχθεί από θραύσματα πρωτοπλανητικής ύλης, η αρχική θερμοκρασία του σύμπαντος δε θα επέτρεπε τη δημιουργία γαλαξιακών συσσωρεύσεων και, συνεπώς, δε θα υπήρχαν άνθρωποι να μουντζουρώνουν χαρτιά με πολύπλοκες και «πεζές» εξισώσεις.

Γατί αξίζουμε καλύτερα μαθηματικά στο …Γιατί μαθηματικά δεν είναι μόνο x , y , ω. Γατί αξίζουμε καλύτερα μαθηματικά στο σχολείο του 21ου αιώνα. Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία Μαθηματικός