με σταθερούς συντελεστές συνήθεις δ.ε. γραμμικές μη-γραμμικές με σταθερούς συντελεστές με μεταβλητούς συντελεστές

Ορισμοί  Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης θα λέγεται κάθε συνάρτηση που επαληθεύει την διαφορική εξίσωση.  Γενική Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται κάθε λύση που περιλαμβάνει μια ή περισσότερες αυθαίρετες σταθερές (η γενική λύση αποτελεί μια οικογένεια συναρτήσεων).  Μερική Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης που προκύπτει από την γενική δίνοντας συγκεκριμένες τιμές στις αυθαίρετες σταθερές. 2

Η πιο απλή δ.ε. έχει την μορφή y΄=f(x) ή F(x,y,y΄)=0 (Ι) (ψ(x))΄= f(x) ή F(x,ψ(x),ψ΄(x))=0 Η γενική λύση της δ.ε. λέγεται και ολοκλήρωμα Τρόπος υπολογισμού:  Χωρίζουμε τις μεταβλητές  Ολοκληρώνουμε  Προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.

Εφαρμογή : χρονική σειρά του κεφαλαίου Σε μια βιομηχανία οι επενδύσεις Ι, απεικονίζονται με την συνάρτηση I(t)=(t+6)(t+4)1/2, όπου t είναι ο χρόνος. Αν το αρχικό κεφάλαιο εκκίνησης της βιομηχανίας είναι Κ(t=0)=50 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν τα ακόλουθα: Η χρονική σειρά του κεφαλαίου της βιομηχανίας (γη συνάρτηση εξέλιξης του κεφαλαίου ως προς τον χρόνο). Η ποσότητα της συσσώρευσης του κεφαλαίου για την περίοδο 1t4. 4

ΛΥΣΗ: (i) Είναι γνωστό ότι οι επενδύσεις είναι το οριακό κεφάλαιο σε χρόνο dt, δηλαδή Διαφορική εξίσωση της μορφής y΄=f(t)

Η χρονική σειρά του κεφαλαίου της βιομηχανίας ! 6

Στην συγκεκριμένη βιομηχανία ισχύει επιπλέον ότι, Τελικά, Στην συγκεκριμένη βιομηχανία ισχύει επιπλέον ότι, Η χρονική σειρά του κεφαλαίου της βιομηχανίας 7

Η ποσότητα συσσώρευσης του κεφαλαίου της βιομηχανίας για την χρονική περίοδο 1t4 δίνεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα : 8

9

οι μεταβλητές χωρίζονται I.2 y΄=f(y) οι μεταβλητές χωρίζονται

Άσκηση : Να υπολογιστεί η δ.ε. y΄=y2 Λύση: Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή x=g(y)

Ειδική περίπτωση της y΄=f(y) y΄= ay+b, a,bR Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : 12

Πράγματι για την (i) a0 έχουμε: η παράσταση που βρίσκεται στον παρονομαστή μπορεί να μπει μέσα στο διαφορικό 13

γενική λύση Για την (i) a=0 έχουμε: γενική λύση 14

διάλειμμα - interval 15

Εφαρμογή : επίπεδο ισορροπίας της τιμής παραγόμενου προϊόντος Σε μια βιομηχανία η ζήτηση και η προσφορά για ένα παραγόμενο προϊόν δίνονται σαν συναρτήσεις της τιμής του, P με τον ακόλουθο τρόπο: Ζήτηση: Qd= 40-2P Προσφορά: Qs= -10+4P όπου Qd και Qs είναι η ζητούμενη και η προσφερόμενη, αντίστοιχα, ποσότητα του προϊόντος και P είναι η αντίστοιχη τιμή του. Αν η διαχρονική μεταβολή της τιμής P του προϊόντος δίνεται από την σχέση 16

Εφαρμογή : επίπεδο ισορροπίας της τιμής παραγόμενου προϊόντος και αν γνωρίζουμε το προϊόν μπαίνει στην αγορά με αρχική τιμή Ρ(t=0)= 15 χρηματικές μονάδες, τότε : Να υπολογιστεί η πορεία της τιμής Ρ του προϊόντος (ως συνάρτηση του χρόνου t). Να εξεταστεί αν η πορεία της τιμής του προϊόντος συγκλίνει ή αποκλίνει, με την πάροδο του χρόνου, σε ένα επίπεδο ισορροπίας! Εξισορρόπηση της τιμής του παραγόμενου προϊόντος 17

η οποία ισοδύναμα γράφεται, ΛΥΣΗ: Η διαχρονική μεταβολή της τιμής Ρ του προϊόντος δίνεται από την εξίσωση η οποία ισοδύναμα γράφεται, Και αποτελεί μια διαφορική εξίσωση της μορφής y΄=ax+b, όπου a=-3,60 και b=30. Σύμφωνα με τα προηγούμενα η γενική λύση της δ.ε. δίνεται είναι η μεταβολή της τιμής του προϊόντος !! (συνάρτηση της τιμής ως προς τον χρόνο). 18

Από τα δεδομένα του προβλήματος γνωρίζουμε ότι το προϊόν μπαίνει στην αγορά με αρχική τιμή P(t=0)=15 χρηματικές μονάδες (αρχικές συνθήκες t=0, P=15). Από την προηγούμενη σχέση έχουμε: και η ειδική λύση της δ.ε. δηλαδή η μεταβολή της τιμής του προϊόντος με τιμή εκκίνησης P(t=0)=15 χρηματικές μονάδες δίνεται σαν συνάρτηση του χρόνου ως: 19

με ποιο όριο καθώς ο χρόνος μεταβάλλεται απεριόριστα; (ii) Η μεταβολή της τιμής Ρ του προϊόντος με την πάροδο του χρόνου δίνεται από την σχέση T … 1 2 3 4 100 P(t) 15 8,49 8,34 8,33 Ακολουθία των τιμών του προϊόντος της βιομηχανίας με την πάροδο του χρόνου: 15, 8,49, 8,34, 8,33,  με ποιο όριο καθώς ο χρόνος μεταβάλλεται απεριόριστα; Αναζητούμε το όριο της ακολουθίας των τιμών του προϊόντος καθώς ο χρόνος τείνει στο + 20

Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος της βιομηχανίας τείνει με την πάροδο του χρόνου να εξισορροπήσει στο επίπεδο ισορροπίας των 8,33 χρηματικών μανάδων !! τέλος ! 21

οι μεταβλητές χωρίζονται I.3 y΄=F(x,y)=F1(x)F2(y) οι μεταβλητές χωρίζονται Έχουμε, Τότε, G2(y)=G1(x)+c1-c2, όπου c1,c2R Τελικά, G2(y)=G1(x)+c, όπου cR γενική λύση

οι μεταβλητές χωρίζονται I.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 οι μεταβλητές χωρίζονται Αν, F2(x)Φ1(y)0, τότε Τότε, P(x)dx + Q(y)dy = 0, όπου είναι χωριζόμενων μεταβλητών !

επίλυση : γενική λύση της δ.ε.

Άσκηση 4.:Να λυθεί η δ.ε. x2(y+1)+y2(x-1)y΄=0 Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται τότε, x2(y+1)dx+y2(x-1)dy = 0 (I), δηλαδή F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 Υποθέτουμε ότι, (x-1)(y+1)0, δηλαδή, x-10 και y+10 ισοδύναμα, x1 και y-1 διαιρούμε και τα δυο μέλη της (Ι) με το (x-1)(y+1)

διαίρεση πολυωνύμων x2 : (x-1) = x+1+(1/x-1)

διαίρεση πολυωνύμων x2 x-1 x+1 -x2+x = x -x+1 = 1 27

Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό του Ι2 και συνεπώς έχουμε, Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό του Ι2 28

γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1 διαίρεση πολυωνύμων y2: (y+1) = y-1+(1/y+1) άρα, Επομένως, γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1

(1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 Άσκηση 5: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (1+ex)yy΄= ex και y(0)=1. Λύση: (1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 είναι της μορφής F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 όπου F1(χ)= ex, Φ1(y)=1, F2(x)= -(1+ex), Φ2(y)=y Έχουμε ότι, 1+ex0. Πράγματι, ex>0  1+ex>0. Επομένως,

y2 = 2ln(ex+1) + c, cR γενική λύση της δ.ε. ισοδύναμα

από την γενική λύση της δ.ε.: y2 = 2ln(ex+1) + c, cR έχουμε: Αρχικές συνθήκες: y(x=0) = 1. Επομένως, 12 = 2ln(e0+1)+c  1 = 2ln2+c, cR Άρα, c = 1-2ln2 = 1-2 0,69325 = -0,4 Μερική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y2 = 2ln(ex+1)+1-2ln2, δηλαδή

από τις αρχικές συνθήκες έχουμε: (i) x=0, y1=1 άρα, η λύση είναι δεκτή (ii) x=0, y2=1 άρα, η λύση απορρίπτεται Τελικά,

επόμενο μάθημα 23-3-2017 ! 34