Παρουσίαση Κρίσιμων Συμβάντων από την συνέντευξη μαθητών Β΄ Γυμνασίου στο Ζάνειο Πειραματικό Γυμνάσιο Παρασκευή (Βούλη) Σακελλάρη Ελένη Παπανάγνου

Είχε δοθεί στους μαθητές ένα φυλλάδιο εργασίας Είχε δοθεί στους μαθητές ένα φυλλάδιο εργασίας. Το μαθηματικό περιεχόμενο ήταν οι συναρτήσεις ενώ το πλαίσιο πάνω στο όποιο θα εργάζονταν ήταν η μελέτη της γραφικής παράστασης. Δόθηκαν, λοιπόν στους μαθητές οκτώ (8) θερμόμετρα ως δεδομένα προς αξιοποίηση. Τα θερμόμετρα κατέγραφαν τις θερμοκρασίες που είχαν παρατηρηθεί τις διαφορές χρονικές στιγμές της ημέρας εκείνης. 10.00 13.00 15.00 16.00 17.00 20.00 21.00 22.00

1ο Κρίσιμο Συμβάν Β: Είμαστε έτοιμοι? Πάμε στη 2η. Πες μου Αλεξάνδρα. Α: Μέγιστη θερμοκρασία παρουσιάζεται το χρονικό διάστημα από τις 13:00 μέχρι τις 15:00 που έχουμε 10οC…ενώ η ελάχιστη θερμοκρασία παρουσιάζεται στις 21:00 που έχουμε -1οC. Β: Παναγιώτη? Π: …ε…ναι, βασικά εδώ πέρα φτάνει τους -1 και μετά συνεχίζει να είναι κάτω από το 0 η θερμοκρασία και μετά ανεβαίνει…..ε, εντάξει τα ίδια. Β: Τι εννοείς τα ίδια? Π: Εδώ είναι η μεγαλύτερη θερμοκρασία που έχει φτάσει (δείχνει στις ενδείξεις των θερμομέτρων) και εδώ η χαμηλότερη Β: Γι αυτή την απάντηση κοιτάξατε τα θερμόμετρα, δεν μπορούσαμε να το βρούμε από κάπου αλλού αυτό? (με κοιτάνε με απορία) Αν δεν υπήρχαν τα θερμόμετρα? Π: Από εδώ (δείχνει τη γραφική παράσταση) όσο μεγαλύτερο το ψ τόσο μεγαλύτερη η θερμοκρασία όσο μικρότερο είναι τόσο χαμηλότερη η θερμοκρασία. Β: Επομένως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή φαίνονται από? Α: Από τους άξονες. Β: Και είναι οι τιμές που παίρνει ποιο? Π:Το…ψ Β: Επομένως τι θα απαντήσουμε στο ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη θερμοκρασία? Να το γράψουμε? Π: -1 η ελάχιστη και 10 η μέγιστη. Β: Αλεξάνδρα συμφωνείς? Α: Ναι Β: Για να τα σημειώσουμε.

Σχολιασμός Συμβάντος Η 2η ερώτηση πάνω στην οποία εξελίχτηκε το 1ο κρίσιμο συμβάν είχε την εξής εκφώνηση: «Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη θερμοκρασία που παρουσιάζεται? Ποια ώρα συμβαίνουν αυτές οι θερμοκρασίες?». Ενώ μας εξέπληξε ευχαρίστα το γεγονός πως οι μαθητές δεν φανήκαν να δυσκολεύονται με τις έννοιες «ελάχιστο» και «μέγιστο», την ιδία στιγμή εκπλαγήκαμε με την απρόβλεπτη για μας αντίδραση των μαθητών να χρησιμοποιούν για τις απαντήσεις τους όχι την γραφική παράσταση, την οποία επέλεξαν στην 1η ερώτηση, αλλά τις ενδείξεις των θερμόμετρων. Χρειάστηκε η παρότρυνση μας ώστε να εξετάσουν την γραφική παράσταση για να αντλήσουν δεδομένα.

2ο Κρίσιμο Συμβάν Β: Έχει κι άλλο ερώτημα, ποια ώρα η θερμοκρασία θα είναι 9 βαθμούς αυτό δεν το απαντήσαμε. Π: Από τις 16:00 μέχρι τις 17:00 (δείχνει το ευθύγραμμο τμήμα) και εδώ κάπου…(δείχνει και σε άλλο σημείο) Β: Δηλαδή τι θα απαντήσω? Π: 9 βαθμούς θα είναι.. ε.. το χρονικό διάστημα… περίπου… στις 13.. Β: Αν θες μπορείς να σημειώσεις επάνω Π: Περίπου στις 13:00 θα είναι 9 Β: Θες να μου δείξεις πως το βρίσκεις? Π: Εδώ, μετά θα είναι ξανά 9 εδώ που κατεβαίνει η θερμοκρασία…περίπου στις 15:30 και μετά θα ναι…..όχι λάθος….ε στις 13:00 και από τις 16:00 μέχρι τις 17:00 B: Και αυτό πως το βρίσκουμε? Π: Από τη γραφική παράσταση Β: Απλά κοιτώντας τη? Π: Όχι, εε …βρίσκω που είναι στο ψ το 9 και…προσπαθώ να βρω ποια σημεία της γραφικής παράστασης έχουν τεταγμένη 9, και μετά βρίσκω τις τετμημένες αυτών των σημείων που είναι οι ώρες που ήταν 9 βαθμούς κελσίου. Β: Η Αλεξάνδρα τι λέει, συμφωνεί? Βλέπω γράφει. Εσύ πως σκέφτεσαι να το βρεις? Α: Εγώ πιο πολύ χρησιμοποιώ τα θερμόμετρα. Β: Για πες μου εσύ τη γνώμη έχεις? Α: Από τις 16:00 μέχρι τις 17:00 φαίνεται εδώ πέρα (τα θερμόμετρα κοιτάει) και μέχρι και κάποιο διάστημα στις 8 πριν μεταβληθεί η θερμοκρασία Β: Δηλαδή δεν μπορώ να απαντήσω κάτι συγκεκριμένο? Α: Μόνο γι αυτό το χρονικό διάστημα (δείχνει 16:00 με 17:00)

Β: Δηλαδή εκεί είμαστε σίγουροι ότι είναι 9? Α:Ναι Β:Δηλαδή στις 16:30 είναι 9? Β: Και μετά θα πούμε? Κάπου ανάμεσα μου απαντάς? Δηλαδή η άλλη είναι μόνο μία στιγμή? Τι μου απαντάς? Α: Και πιστεύω και στο χρονικό διάστημα 15:00 με 16:00 όπου από 10 γίνεται 9 Β: Γράψτε τα, να πάμε στην επόμενη.

Σχολιασμός Συμβάντος Στην 3η ερώτηση «Ποια ώρα η θερμοκρασία είναι 9οC?» τα παιδιά δυσκολεύτηκαν αρκετά. Ο Παναγιώτης δουλεύει βάσει της γραφικής παράστασης και τελικά απαντά με τον σωστό συλλογισμό. Η Αλεξάνδρα συνεχίζει να χρησιμοποιεί τις ενδείξεις των θερμόμετρων για να οδηγηθεί στην απάντηση. Κάτι τέτοιο ωστόσο την οδηγεί σε αδιέξοδο και παρά την ερώτηση «Β: Δηλαδή δεν μπορώ να απαντήσω Κάτι συγκεκριμένο?», δεν υποψιάστηκε ότι δεν ακολουθεί την Ζητούμενη συλλογιστική πορεία.

3ο Κρίσιμο Συμβάν Β: Ωραία, να ρωτήσω τώρα κάτι εγώ. Σας δώσαμε τα θερμόμετρα, εάν δεν σας έδινα όλες αυτές τις τιμές αλλά είχαμε ας πούμε αυτό (δείχνω το πρώτο) και αυτό (δείχνω το προτελευταίο) η γραφική παράσταση θα ήταν η ίδια? Α: Όχι. Π: Όχι. Β: Θα άλλαζε? Π: Ναι. Β: Μπορείς να μου πεις πως θα γινότανε περίπου? Θες να μου ζωγραφίσεις? Θα ήταν κάποια από αυτές που έχουμε? Π: Θα ήταν μια ευθεία. Β: Θα μου τη φτιάξεις? Π: Βάζει τα δύο σημεία στους άξονες και τα ενώνει. Β: Κι εσύ Αλεξάνδρα την ίδια γνώμη έχεις? Ευθεία θα ήταν? Α: Ναι. Β: Η θερμοκρασία και η ώρα εδώ είναι ποσά ανάλογα? Π: …….Όχι… Α: Δεν….. Όσο ανεβαίνει η ώρα δεν ανεβαίνει και η θερμοκρασία…?.... Β: Ναι αλλά το μεσημέρι ανεβαίνει η θερμοκρασία αυξάνεται η ώρα… Α: Ναι αλλά και το βράδυ πέφτει… Π: Η θερμοκρασία είναι ανεξάρτητη από την ώρα.

Σχολιασμός Συμβάντος Η Αλεξάνδρα και ο Παναγιώτης φαίνεται να αντιλαμβάνονται πως αν οι ενδείξεις θερμόμετρα-δεδομένα αλλάξουν, κατά συνέπεια θα τροποποιηθεί και η γραφική παράσταση. Παρατηρούμε, ωστόσο, πως επικρατεί μια μικρή σύγχυση στο εξής σημείο: ενώ αντιλαμβάνονται ότι θερμοκρασία και ώρα δεν είναι ανάλογα ποσά, μπερδεύονται με τις χρονικές στιγμές και τα χρονικά διάστημα και πώς αυτά συνδέονται με τη σχέση θερμοκρασίας-ώρας.

4ο Κρίσιμο Συμβάν Β: Άλλη μία ερώτηση. Παρατηρήσαμε πριν ότι στις 15:00 και στις 13:00 είχαμε την ίδια θερμοκρασία, θα μπορούσαμε να είχαμε την ίδια ώρα να είχαμε δύο θερμοκρασίες? Καλύτερα να το δούμε σε γραφική παράσταση. Θα μπορούσαμε να είχαμε δύο διαφορετικές τιμές στον άξονα ψ, δηλαδή δύο διαφορετικές θερμοκρασίες? (φτιάχνω μια γραφική παράσταση ) Θα μπορούσαμε να είχαμε αυτό στη γραφική μας παράσταση? Π: Γενικά θα μπορούσαμε, με τα θερμόμετρα που μας δίνετε δεν θα μπορούσαμε. Β: Όχι με τα θερμόμετρα, άσε τα θερμόμετρα, να σου δίνω αυτή τη γραφική παράσταση και να είναι θερμοκρασία και ώρα. Π: Θα μπορούσε γιατί να μην μπορούσε? (παρέμβαση από την καθηγήτρια)

Σχολιασμός Συμβάντος Στην ουσία, στο συγκεκριμένο κομμάτι ζητήσαμε από τους μαθητές να συνδέσουν την γραφική παράσταση με την έννοια της συνάρτησης. Αναμέναμε πρώτα διαισθητικά-λογικά και μετά μαθηματικά να απαντήσουν αρνητικά στην ερώτηση που τους κάναμε αλλά και να επιχειρηματολογήσουν επαρκώς την απάντηση τους. Παρόλα αυτά, οι μαθητές δεν κατάφεραν στο συγκεκριμένο συμβάν να ανταποκριθούν στις προσδοκίες της ερώτησης, γεγονός που ίσως και να οφείλεται στην παρέμβαση της καθηγήτριας τους.

5ο Κρίσιμο Συμβάν Ε: Να ρωτήσουμε το πεδίο ορισμού? Π: Να πούμε το πεδίο ορισμού? Το χ είναι οι θετικοί αριθμοί, δεν μπορεί να είναι αρνητική η ώρα. Το πεδίο ορισμού του ψ είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Α: Δηλαδή μπορείς να έχεις άρρητο θερμοκρασία? Άρα ακέραιοι θετικοί και αρνητικοί. Π: Δεν θα μπορούσαμε να είχαμε και άρρητους όμως? Α: Άρρητους όχι, δεκαδικούς ίσως. Π: Ναι άλλα έχω 1,4 γιατί να μην έχω και ρίζα 2 για θερμοκρασία? Α: Έχεις ακούσει ποτέ σε δελτίο καιρού να λένε η θερμοκρασία αύριο θα είναι ρίζα 2? Π: Τα δελτία καιρού τα απλοποιούνε, δεν θα πούνε αύριο θα έχει 1,5 βαθμό, θα πούνε 2 βαθμούς κελσίου, αλλά γενικά μια θερμοκρασία άρρητο θα μπορούσαμε να είχαμε. Α: Δεν νομίζω.

Σχολιασμός Συμβάντος Το συγκεκριμένο κρίσιμο συμβάν αποτελεί ίσως ένα ακατέργαστο διαμάντι στη διαδικασία της ερευνάς συνέντευξης των μαθητών. Η ερώτηση που έγινε στους μαθητές αποτέλεσε αφορμή ώστε να τονωθεί ακόμη περισσότερο το ενδιαφέρον τους στην συζήτηση, στο βαθμό που τους οδήγησε σε μια μεταξύ τους συνδιαλλαγή, με την κάθε πλευρά να υπερασπίζεται με ζήλο τα δικά της επιχειρήματα. Ειδικότερα, και ο Παναγιώτης και η Αλεξάνδρα συμφωνήσαν πως το πεδίο ορισμού του χ είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί. Το σημείο διαφωνίας τους βρίσκεται στο αν η θερμοκρασία μπορεί να έχει άρρητους αριθμούς.

6ο Κρίσιμο Συμβάν Ε: Δηλαδή αν βάζαμε κι άλλες τιμές και άλλα θερμόμετρα, κι άλλες ώρες θα άλλαζε η γραφική παράσταση? Α: Α, όχι η ίδια θα ήταν αλλά θα είχε πιο πολλά σημεία. Π: Αν μας δίνανε ακριβώς όλα τα σημεία δεν θα ήταν εδώ ευθεία έτσι θα ήταν καμπύλη, γιατί εδώ δεν μας δίνει το θερμόμετρο πόσο ακριβώς είναι, άρα εδώ μπορεί να πάει έτσι και μετά να ξαναπάει πάνω αλλά εδώ επειδή δεν μας το λέει εμείς υποθέτουμε ότι θα είναι κάπως έτσι. Β: Αν σας δίναμε όλες τις τιμές όλης της μέρας τι θα γινόταν? Α: Δεν θα ήταν σταθερή η θερμοκρασία κάποια στιγμή μπορεί να έπεσε και μετά να ξανανέβηκε. Π: Αν είχαμε όλες τις τιμές εγώ πιστεύω πως θα ήταν πιο καμπύλη. Α: Εγώ πιστεύω πως θα ήταν με πιο πολλές μεταβολές μέχρι να φτάσει.

Σχολιασμός Συμβάντος Στο συγκεκριμένο σημείο θέλαμε να διερευνήσουμε τον τρόπο που αντιλαμβάνονται οι μαθητές μια γραφική παράσταση. Φαίνεται, ότι πολλά σημεία στην μελέτη μιας γραφικής παράστασης δεν είναι ακόμη ξεκάθαρη στα παιδιά.

Αίτια για τις δυσκολίες των μαθητών στην κατανόηση των συναρτήσεων Η συνάρτηση έχει πολλούς τρόπους ύπαρξης και πολλές διαφορετικές αναπαραστάσεις, αφού μπορεί να εκφραστεί με έναν τύπο εξίσωσης, με πινάκα τιμών με γραφική παράσταση αλλά και με λεκτική έκφραση. Κάθε είδος αναπαράστασης περιέχει μονό ορισμένες πτυχές της εννοίας και όλες οι διαφορετικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης αλληλοσυμπληρώνονται Οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές οφείλονται πολλές φόρες στην μετάβαση από την μια αναπαράσταση στην άλλη και σητών λογική διασύνδεση τους. (Βιβλίο εκπαιδευτικού Μαθηματικά Γυμνασίου Αργυράκης, Βουργάνας, Μεντής, Τσικοπούλου, Χρυσοβέργης) Επομένως θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι οι μαθητές ανάλογα με την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης διακρίνονται σε αυτούς που: Α κατηγορία: αδυνατούν να συνδέσουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις Β κατηγορία: αναγνωρίζουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις (Difficulties in the Articulation of Different Representations Linked to the Concept of Function FERNANDO HITT)