Εργασία των φοιτητών: Κοσμάς Βασίλης Ραράκου Μαρία Αγγελική Εργασία των φοιτητών: Κοσμάς Βασίλης Ραράκου Μαρία Αγγελική Παρακολούθηση στη β’ γυμνασίου πάνω στο θέμα της εφαπτομένης

΄΄Αυτό δεν είναι απόδειξη…΄΄

Στόχοι μαθήματος Όσο ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά μένει σταθερός, η γωνία παραμένει ίδια. Όσο η γωνία μένει σταθερή ,ο λόγος απέναντι κάθετη πλευρά προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά δεν αλλάζει. Να κατανοήσουν οι μαθητές ότι η εφαπτομένη της γωνίας είναι καθαρός αριθμός

Ο καθηγητής ζητάει από τους μαθητές να κατασκευάσουν τα παρακάτω σχήματα: 5 3 1 6 10 2 5 2 1 3 6 15

Τους ζητάει να μετρήσουν με μοιρογνωμόνιο τη γωνία θ σε κάθε σχήμα, με στόχο να καταλάβουν ότι τα σχήματα που βρίσκονται στο πάνω μέρος του πίνακα έχουν την ίδια γωνία αφού ο λόγος είναι : Αντίστοιχα για τα σχήματα του κάτω μέρους ισχύει: 1 3 5 0,5 2 6 10 1 2 5 0,333… 3 6 15

Ο καθηγητής αντιμετώπισε δυσκολίες στην επίτευξη του στόχου γιατί δεν έπρεπε να εμπλέξει τρίγωνα με διαφορετικό λόγο. Η εμπλοκή δύο διαφορετικών λόγων έκανε τους μαθητές να αναζητούν ψευδοαναλογικές σχέσεις ανάμεσα στο λόγο στη γωνία.

Οι μαθητές θα μπορούσαν να παρατηρήσουν ότι όσο μεγαλώνει ο λόγος μεγαλώνει και η γωνία αλλά αυτό δε σημαίνει ότι υπάρχει αναλογία μεταξύ λόγου και γωνίας όπως πίστεψαν οι μαθητές. Θεώρησαν δηλαδή ότι εφ2α=2εφα???

Στη συνέχεια ο καθηγητής δίνει το παρακάτω σχήμα στον πίνακα και ζητά από τους μαθητές να βρουν την πλευρά ΑΒ έχοντας σαν δεδομένα ότι ΑΓ=15cm και Β=30ο Γ Α Β

Καθ: Πώς θα βρούμε την πλευρά ΑΒ; Α: Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο απέναντι κάθετη πλευρά Καθ: Συγκεκριμένα στο παράδειγμά μας; Γ:Θα είναι εφ30⁰ Καθ: Ωραία, πώς θα βρεθεί η ΑΒ; Γ: Να κάνουμε χιαστί εφω προσκείμενη κάθετη πλευρά 15 ΑΒ

(Ενώ ο καθηγητής λύνει το πρόβλημα στον πίνακα με τη μέθοδο χιαστί, μια μαθήτρια εκφράζει την εξής απορία) Μ₁: Γιατί κύριε κάνουμε χιαστί; Μ₂: Έτσι λύνεται κύριε αφού αν έχουμε 2 3 Κάνουμε 2x6=3x4 που μας κάνει 12=12. Μ₃: Αυτό δεν είναι απόδειξη… Καθ: Έχουμε πει πολλές φορές ότι δεν αρκεί ένα παράδειγμα για να αποδείξουμε έναν ισχυρισμό. 4 6

Ο καθηγητής δίνει το εξής παράδειγμα στην τάξη για να πείσει τους μαθητές για το ότι ένα παράδειγμα δεν αποτελεί απόδειξη: Α = ν²+ν+41 είναι πρώτος για κάθε ν φυσικό Για ν=0 Α = 41 ισχύει, δηλαδή Α-πρώτος Για ν=1 Α = 43 πρώτος Για ν=2 Α = 47 πρώτος . Για ν=40 Α = 40x40+40+41= 1681= 41x41 που είναι σύνθετος

Ο καθηγητής μετά το παράδειγμα αυτό, προχώρησε στην τυπική μαθηματική απόδειξη του χιαστί αλλά χτύπησε κουδούνι και δεσμεύτηκε να την ολοκληρώσει την επόμενη φορά.

ΤΕΛΟΣ