Συστήματα CAD Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Ροή Πληροφορικής Δαδαλιάρης Αντώνιος: dadaliaris@cs.uth.gr

'Αλγεβρα Boole Βασικοί Ορισμοί: Κλειστότητα x*y στο S. Το αποτέλεσμα της πράξης * μεταξύ δύο στοιχείων του συνόλου S, ανήκει και αυτό στο ίδιο σύνολο S. Προσεταιριστικός Νόμος: (χ * y) * z = x * (y * z) Αντιμεταθετικός Νόμος: x * y = y * x Ουδέτερο Στοιχείο: e * x = x * e = x Αντίστροφο Στοιχείο: x * y = e Επιμεριστικός Νόμος: x * (y & z) = (x * y) & (x * z)

Αξιωματικός Ορισμός (Huntington) Αλγεβρα Boole: Είναι μια αλγεβρική δομή πάνω σε ένα σύνολο στοιχείων S, μαζί με τους δυαδικούς τελεστές +, •, αρκεί να ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα: Κλειστότητα ως προς τις πράξεις "+" και "•". Ουδέτερο Στοιχείο: Ως προς την πράξη "+": χ + 0 = 0 + χ = χ Ως προς την πράξη "•": χ • 1 = 1 • χ = χ Αντιμεταθετική Ιδιότητα: Ως προς την πράξη "+": χ + y = y + χ Ως προς την πράξη "•": χ • y = y • χ Επιμεριστική Ιδιότητα: Ως προς την πράξη "+": χ + (y • z) = (x + y) • (x + z) Ως προς την πράξη "•": χ • (y + z) = (x • y) + (x • z) Συμπλήρωμα: Ως προς την πράξη "+": χ + χ' = 1 Ως προς την πράξη "•": χ • χ' = 0 Υπάρχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία x, y στο σύνολο S.

Αξιώματα Αξίωμα #1 (Αντιμεταθετικοί Νόμοι): Αντιμεταθετικότητα ως προς +: A + B = B + A Αντιμεταθετικότητα ως προς •: A • B = B • A Αξίωμα #2 (Επιμεριστικοί Νόμοι): Η πράξη + είναι επιμεριστική ως προς •: A + (B • C) = (A + B) • (A + C) Η πράξη • είναι επιμεριστική ως προς +: A • (B + C) = (A • B) + (A • C) Αξίωμα #3 (Ουδέτερο Στοιχείο): Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης +: A + 0 = 0 + A = Α Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης •: A • 1 = 1 • A = Α Αξίωμα #4 (Συμπληρώματα): Συμπλήρωμα ως προς την πράξη +: A + A' = A' + A = 1 Συμπλήρωμα ως προς την πράξη •: A • A' = A' • A = 0

Θεωρήματα Θεώρημα #1: Α + 1 = 1 Θεώρημα #2: Θεώρημα #1: Α + 1 = 1 Θεώρημα #2: Συμπλήρωμα του 0 είναι το 1. Συμπλήρωμα του 1 είναι το 0. Θεώρημα #3: Α + Α = Α Θεώρημα #4: Α'' = Α Θεώρημα #5: Α + (A • B) = Α (χωρίς A • B = 0) Θεώρημα #6: Α + (A' • B) = Α + Β Θεώρημα #7: (Α • B) • C = A • (B • C) Θεώρημα #8 (Θεώρημα De Morgan): (Α • B)' = A' + B' (Α + B)' = A' • B'

Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι x y z Όρος Όνομα Όρος Όνομα 0 0 0 x’y’z’ m0 x+y+z M0 0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1 0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2 0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3 1 0 0 xy’z’ m4 x’+y+z M4 1 0 1 xy’z m5 x’+y+z’ M5 1 1 0 xyz’ m6 x’+y’+z M6 1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7

Θεώρημα Shannon F(x1, x2, ..., xn) = x1• F(1, x2, ..., xn) + x1’ • F(0, x2, ..., xn) F(x1, x2, ..., xn) = [x1+ F(0, x2, ..., xn)] • [x1’ + F(1, x2, ..., xn)] Μετατροπή Συνάρτησης σε Άθροισμα Ελαχιστόρων Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Shannon μέχρι να δημιουργήσουμε το άθροισμα ελαχιστόρων. Φέρνουμε την συνάρτηση σε μορφή αθροίσματος γινομένων: Αν ένα γινόμενο είναι ελαχιστόρος το διατηρούμε. Για κάθε μεταβλητή xi που δεν υπάρχει στο γινόμενο το πολλαπλασιάζουμε με (xi + xi'). Εκτελούμε τις πράξεις και απαλείφουμε τους όρους που εμφανίζονται πάνω από μία φορά. Μετατροπή μεταξύ Κανονικών Μορφών Σχέση μεταξύ μεγιστόρων και ελαχιστόρων για μια λογική συνάρτηση. F(x, y, z) = Σ(1, 3, 5, 7) = Π(0, 2, 4, 6) Και για το συμπλήρωμα της συνάρτησης.... F'(x, y, z) = Π(1, 3, 5, 7) = Σ(0, 2, 4, 6)

Χάρτης Karnaugh Ο χάρτης Karnaugh είναι ένας εύκολος τρόπος απλοποίησης συναρτήσεων. Τα βήματα για την δημιουργία ενός σωστού χάρτη Karnaugh είναι τα ακόλουθα: Στον χάρτη πρέπει να συμμετέχουν όλες οι μεταβλητές της συνάρτησης. Κάθε παράγοντας (είτε στήλης είτε γραμμής) πρέπει να διαφέρει από τον επόμενο μόνο κατά έναν όρο. Ο χάρτης έχει "σφαιρική" δομή (....). Αν η προς εξέταση συνάρτηση παρέχεται ως άθροισμα ελαχιστόρων, τοποθετούμε την τιμή 1 σε εκείνες τις θέσεις του πίνακα στις οποίες βρίσκονται οι αντίστοιχοι ελαχιστόροι. Οι υπόλοιπες θέσεις συμπληρώνονται με μηδενικά.

Απλοποίηση Συναρτήσεων με Χάρτες Karnaugh

Απλοποίηση Συναρτήσεων με Χάρτες Karnaugh

Κανόνες Απλοποίησης Ομαδοποιούμε γειτονικούς άσσους. Σχηματίζουμε τις λιγότερες δυνατές ομάδες. Σχηματίζουμε ομάδες που το σύνολο των στοιχείων τους είναι δύναμη του 2 (π.χ. 1, 2, 4, 8, ....). Κατά τον σχηματισμό μιας ομάδας, κρατάμε τα στοιχεία που παραμένουν σταθερά (στην κανονική τους μορφή εάν η τιμή της στήλης/γραμμής είναι 1 ή στην συμπληρωματική τους μορφή εάν είναι 0) και τα "πολλαπλασιάζουμε" μεταξύ τους. Προσθέτουμε τις παραπάνω ομάδες.

Απλοποίηση Συναρτήσεων με Χάρτη Karnaugh

Απλοποίηση Συναρτήσεων με Χάρτη Karnaugh

Απλοποίηση Συναρτήσεων με Χάρτη Karnaugh

Απλοποίηση Συναρτήσεων με Χάρτη Karnaugh