Τα μαθηματικά στην Ιατρική Κωστής Σιδερής Σταυράκης Γιώργος Παυλόπουλος Αλέξανδρος

Τρόπος ανάμειξης των μαθηματικών στις άλλες επιστήμες Για να λύσουμε προβλήματα από άλλες επιστήμες ακολουθούμε τη διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης. Δηλαδή, πρώτα καταλαβαίνουμε το πρόβλημα της άλλης επιστήμης καλά και μετά χρησιμοποιούμε μαθηματικά σύμβολα για να καταγράψουμε τους κανόνες που διέπουν το πρόβλημα. Έτσι προκύπτει ένα μαθηματικό μοντέλο . Μετά κάνουμε μαθηματικούς υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο (π.χ. λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων), και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που μας δίνουν τα μαθηματικά με την πραγματικότητα. Αν τα αποτελέσματα μας συμφωνούν με την πραγματικότητα τότε έχουμε δημιουργήσει ένα καλό μοντέλο - αλλιώς πρέπει να βελτιώσουμε το μοντέλο μας.

Μαθηματικά και επιστήμες Τα μαθηματικά, η βασική γλώσσα της επιστήμης έχουν σημαντική προσφορά στην επιστημονική πρόοδο. Όσον αφορά στην Ιατρική, τα Μαθηματικά της προσέφεραν την εξαιρετικά χρήσιμη τεχνική της Στατιστικής. Στο Κέντρο Εφαρμοσμένων και Θεωρητικών Μαθηματικών (ΚΕΘΕΜ) έχουμε εστιάσει το ενδιαφέρον μας σε μια άλλη προσφορά των Μαθηματικών στην Ιατρική: στο ρόλο τους στις ιατρικές απεικονίσεις..

Ιατρική και Μαθηματικά… Η μελέτη συγκεκριμένων νοητικών διεργασιών απαιτεί την μελέτη συγκεκριμένων νευρικών κυκλωμάτων. Οι πρόσφατες απεικονιστικές τεχνικές του λειτουργικού Μαγνητικού Τομογράφου, του Τομογράφου Εκπομπής Ποζιτρονίων (PET) και του Τομογράφου Εκπομπής Φωτονίων (SPECT), μας παρέχουν την δυνατότητα να εντοπίζουμε την ενεργοποίηση συγκεκριμένων εγκεφαλικών περιοχών με ολοένα και μεγαλύτερη ακρίβεια. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι αυτές οι νέες απεικονιστικές τεχνικές δεν έχουν μόνο επιπτώσεις επί της μελέτης της λειτουργίας του εγκεφάλου, αλλά είναι και εξαιρετικά χρήσιμες σε πολλές περιοχές της ιατρικής, ιδιαίτερα στην ογκολογία, στην καρδιολογία και στην ψυχιατρική.

Πιο συγκεκριμένα Ο ρόλος των Μαθηματικών στο Pet και στο Spect είναι καθοριστικός. Λόγω κάποιας τυχαίας απλοποιήσεως, τα μαθηματικά του Pet είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά του αξονικού τομογράφου. Τα μαθηματικά όμως του Spect είναι πολύ πιο δύσκολα. Συγκεκριμένα το Spect στηρίζεται στον εξασθενούμενο μετασχηματισμό Radon, για τον οποίον το πρόβλημα της αντιστροφής παρέμεινε μέχρι προσφάτως άλυτο. Συνέπεια αυτής της μαθηματικής δυσκολίας είναι ότι η υψηλή ανάλυση (ακρίβεια) του Spect δεν είναι τόσο καλή όσο του Pet. Προσφάτως κατορθώσαμε να λύσουμε το μαθηματικό αυτο πρόβλημα, και αυτό έχει οδηγήσει σε ένα καινούργιο, πιο γρήγορο και πιο ακριβή αλγόριθμο. In Slide Show mode, click the arrow to enter the PowerPoint Getting Started Center. (Click the arrow when in Slide Show mode)

Radon Έστω µία συνάρτηση 2 f : ℜ → ℜ δύο µεταβλητών x, y που ορίζεται σε ένα χώρο D του 2 ℜ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα και L µία τυχαία ευθεία στο επίπεδο. Η απεικόνιση που ορίζεται από την προβολή (ολοκλήρωµα πάνω σε ευθεία) της f πάνω σε όλες τις πιθανές γραµµές L είναι ο δισδιάστατος µετασχηµατισµός Radon υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα υπάρχει. Πιο συγκεκριµένα, (, ) L f =ℜ = f f x y ds ∫ όπου ds είναι στοιχειώδες τµήµα πάνω στη ευθεία. Θεωρώντας την παραµετρική µορφή της L η εξίσωσή της δίνεται από την σχέση: rx y = cos sin φ + φ 1. Ο µετασχηµατισµός Radon είναι λοιπόν το ολοκλήρωµα για κάθε ευθεία που ορίζεται από τα r, φ. Συνεπώς αν το f (r ,φ ) είναι γνωστό για κάθε r, φ τότε αυτός είναι ο δισδιάστατος µετασχηµατισµός Radon της συνάρτησης f (x,y ) ενώ αν είναι γνωστός µόνο για συγκεκριµένες τιµές των r, φ λέµε ότι έχουµε ένα δείγµα του µετασχηµατισµού Radon.

Στατιστική  Κύριο αντικείμενο έρευνας και μελέτης της Στατιστικής είναι η συλλογή, ταξινόμηση, επεξεργασία, παρουσίαση, ανάλυση και ερμηνεία διαφόρων δεδομένων με απώτερο στόχο την εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων για λήψη ορθών αποφάσεων. Στην ιατρική έρευνα είναι πανταχού παρούσα. Κανένας γιατρός δε µπορεί πλέον να αποφύγει τα στατιστικά αποτελέσµατα, τα οποία συχνά συνδέονται µε το υλικό προώθησης φαρµάκων ή άλλων ιατρικών θεραπειών. Στην ανακάλυψη νέων θεραπευτικών αγωγών ή τη σύγκριση εναλλακτικών θεραπευτικών αγωγών. Στα πλαίσια µιας κλινικής δοκιµής, η στατιστική παίζει θεµελιώδη ρόλο σε όλα τα στάδια της, από το σχεδιασµό της και τον υπολογισµό του µεγέθους του δείγµατος, ως την ανάλυση των σχετικών δεδοµένων και τη διατύπωση των συµπερασµάτων. Ο ρόλος της στατιστικής είναι τεράστιος και στην περιγραφή των κατανοµών ασθενειών στον ευρύτερο πληθυσµό (επιδηµιολογία).

Παραδείγματα Στατιστικής Ορισµένα χαρακτηριστικά παραδείγµατα εφαρµογής τη στατιστικής στο χώρο της Ιατρικής: • Πριν την κυκλοφορία ενός νέου φαρµάκου, αυτό πρέπει να υποβληθεί σε µια κλινική δοκιµή προκειµένου να επιβεβαιωθεί η αποτελεσµατικότητα µα και η ασφάλειά του. • Η µαστεκτοµή πρέπει πάντα να προτείνεται σε ασθενείς µε καρκίνο του µαστού; • Ποιοι παράγοντες αυξάνουν τον κίνδυνο εµφάνισης εµφράγµατος του µυοκαρδίου; • ∆ιαχείριση ασθενών σε ένα νοσοκοµείο και προγραµµατισµός ανάρρωσης. • Σε κρατικό επίπεδο, προγράµµατα κοινωνικής ασφάλισης στηρίζονται στις προβλέψεις µακροζωίας του πληθυσµού. • Πού να επενδύσει το κράτος ώστε να µειωθεί η βρεφική θνησιµότητα; • Η χρήση ζώνης ασφαλείας και αερόσακου µειώνουν τη πιθανότητα θανατηφόρων τροχαίων;