Άσκηση μοντελοποίησης Χ. Λεμονίδης Μάιος 2016

Στόχοι Πρέπει να: Εργαστείτε σε διαφορετικά αυθεντικά έργα, τα οποία βασίζονται στην πραγματικότητα. Αναστοχαστείτε για τα χαρακτηριστικά των έργων. Σκεφτείτε κριτήρια με τα οποία θ’ αναγνωρίζετε τα έργα μοντελοποίησης ανάμεσα σ’ άλλα έργα, τα οποία θα σχετίζονται, επίσης, με ρεαλιστικές καταστάσεις.

Οι φάσεις της άσκησης 1 η φάση: Επίλυση των 6 έργων (εργασία σε μικρές ομάδες) 2 η φάση: Συζήτηση για τις λύσεις των έργων. Ποιες είναι οι διαφορές Ποιες είναι οι ομοιότητες; Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο του έργου Λαμβάνοντας υπόψη την μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Λαμβάνοντας υπόψη τις αναμενόμενες λύσεις Λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες του λύτη

Οι φάσεις της άσκησης 3 η φάση: Συμπλήρωση των πινάκων με βάση τα τέσσερα κριτήρια (σε ομάδες) 4 η φάση: Χαρακτηριστικά της μοντελοποίησης Ποια χαρακτηριστικά πρέπει να έχει ένα έργο, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ως έργο μοντελοποίησης; Όσον αφορά: Το πλαίσιο Τη μαθηματική γνώση Αναμενόμενες λύσεις Ενέργειες του μαθητή

Οι φάσεις της άσκησης 5 η φάση: Περιγραφή της διαδικασίας της μοντελοποίησης Αναστοχαστείτε σχετικά με τις διαδικασίες της μοντελοποίησης που συναντήσατε προηγουμένως. Προσπαθήστε να φανταστείτε και να καταγράψετε ένα διάγραμμα της μοντελοποίησης.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003) «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση

Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003) «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση 1.Ξεκινώντας από ένα πρόβλημα σχετικό με την πραγματικότητα 2.Οργανώνοντας το πρόβλημα σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και αναγνωρίζοντας τα σχετικά μαθηματικά 3.Σταδιακά, απομακρυνόμαστε απ’ την πραγματικότητα μέσα από διάφορες διαδικασίες, όπως κάνοντας υποθέσεις, γενικεύοντας και διαμορφώνοντας σχέδια και αποφάσεις που προωθούν τα μαθηματικά χαρακτηριστικά της κατάστασης και ακόμη μετατρέποντας το αυθεντικό-πραγματικό πρόβλημα σε μαθηματικό πρόβλημα, το οποίο θ’ αναπαριστά πιστά την κατάσταση 4. Λύνοντας το μαθηματικό πρόβλημα 5. Βγάζοντας νόημα απ’ τη μαθηματική λύση σύμφωνα με το πλαίσιο της πραγματικής κατάστασης

Σημαντικές παρατηρήσεις «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση Ο κύκλος μοντελοποίησης δεν είναι ένας αλγόριθμος Σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητο να σκεφτόμαστε από πριν το επόμενο βήμα, αλλά και ν ’ αναλογιζόμαστε το προηγούμενο βήμα Πιθανόν, να χρειαστεί να επαναλάβετε πολλές φορές αυτό τον κύκλο, μέχρι να καταλήξετε σε μια λύση Είναι πιθανές περισσότερες από μια λύσεις Πολλές φορές η λύση εξαρτάται απ’ το άτομο, που εργάζεται στο συγκεκριμένο έργο

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 9 Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο του έργου Πραγματικό και αυθεντικό; Ενδιαφέρον για τους μαθητές; Σχετικό με τους μαθητές; Έργο 1 ΝαιΘα μπορούσεΝαι Έργο 2 Όχι σίγουροΘα μπορούσεθα μπορούσε Έργο 3 ΝαιΘα μπροούσεΘα μπορούσε Έργο 4 ΝαιΘα μπορούσεΝαι Έργο 5 ΌχιΠιθανόν όχιΣίγουρα όχι Έργο 6 ΝαιΘα μπορούσε Πίσω στα συμπεράσματα

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 10 Λαμβάνοντας υπόψη τη μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Πίσω στα συμπεράσματα Μοναδικό και πρωτότυπο; Προωθεί τη χρήση διαφορετικών πτυχών μαθηματικής γνώσης; Έργο 1 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, γεωμετρία Έργο 2 Ναι Γραμμικές συναρτήσεις Έργο 3 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, γεωμετρία Έργο 4 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, άλγεβρα, συναρτήσεις Έργο 5 Ναι Αριθμητική Έργο 6 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 11 Λαμβάνοντας υπόψη τις αναμενόμενες λύσεις Πίσω στα συμπεράσματα Μια ή πολλές; Η φύση της αναμενόμενης λύσης Σχέση μεταξύ της λύσης και του αρχικού πλαισίου Έργο 1Πολλές Αριθμός, διάστημα, μια δήλωση Σχετικό Έργο 2ΜιαΈνας αριθμόςΣχετικό Έργο 3ΠολλέςΜετρήσεις, διαστήματαΣχετικό Έργο 4Πολλές Αριθμοί, διαστήματα, δηλώσεις, συναρτήσεις, μοτίβα Σχετικό Έργο 5ΜιαΈνας αριθμόςΚαθόλου σχετικό Έργο 6ΠολλέςΑριθμοί, διαστήματαΣχετικό

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 12 Λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες του μαθητή Πίσω στα συμπεράσματα Απαιτείται μια «καλύτερη και μοναδική» διαδικασία; Διερευνά, κάνει υποθέσεις, ψάχνει για διαφορετικούς τρόπους εργασίας, ερμηνεύει και ελέγχει την εγκυρότητα των λύσεων του/ της…; Έργο 1 ΌχιΝαι Έργο 2 ΝαιΌχι Έργο 3 ΌχιΝαι Έργο 4 ΌχιΝαι Έργο 5 ΝαιΌχι Έργο 6 ΌχιΝαι

Επιπλέον διαφάνειες Φάση 2η: Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης 13

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 14 Από το «πραγματικό πρόβλημα» στο «μαθηματικό πρόβλημα» (1, 2, 3) (Οριζόντια μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) αναγνωρίζοντας τα σχετικά μαθηματικά στο πλαίσιο του πραγματικού προβλήματος αναπαριστώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο και παράλληλα οργανώντάς το σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και τη διατύπωση κατάλληλων υποθέσεων κατανοώντας τις σχέσεις μεταξύ της γλώσσας του προβλήματος και της συμβολικής και τυπικής γλώσσας για τη μαθηματική κατανόηση του εντοπίζοντας σχέσεις και μοτίβα. αναγνωρίζοντας πτυχές οι οποίες είναι ανάλογες με αυτές άλλων γνωστών προβλημάτων μεταφράζοντας το πρόβλημα σε μαθηματική λύση, (π.χ. μαθηματικό μοντέλο) Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Ο κύκλος μοντελοποίησης(PISA, 2003)

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 15 Δουλεύοντας στον “μαθηματικό κόσμο” (4) (κάθετη μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) χρήση και εναλλαγή μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων χρήση συμβολικής, τυπικής και τεχνικής γλώσσας και διαδικασιών βελτίωση και προσαρμογή του μαθηματικού μοντέλου συνδυασμός και ερμηνεία των μοντέλων επιχειρηματολογία γενίκευση Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003)

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 16 Επιστρέφοντας στον πραγματικό κόσμο (5) (ερμηνεύοντας και ελέγχοντας την εγκυρότητα τόσο της λύσης, όσο και του μοντέλου) κατανοώντας την έκταση και τους περιορισμούς των μαθηματικών εννοιών αναστοχασμός για τα μαθηματικά επιχειρήματα, για την επεξήγηση και αιτιολόγηση των αποτελεσμάτων συνδέοντας τη διαδικασία και τη λύση μέσω της επικοινωνίας ασκώντας κριτική στο μοντέλο και τους περιορισμούς του Πίσω στην παρουσίαση Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Ο κύκλος της μοντελοποίησης(PISA, 2003)

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 17 Παραδείγματα  Έργο 1: Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου  Έργο 2: Καρδιακοί παλμοί

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 18 Παράδειγμα 1: Υπογράφοντας εναντίον… Πίσω στην παρουσίαση Το κείμενο-εκφώνηση του έργου Tasks 1   Modelling task (all the cycle and steps have to be considered) “Real world” “Mathematical world” Tasks 1 Έργο 1   Modelling task (all the cycle and steps have to Έργο μοντελοποίησης (όλοι οι κύκλοι και τα βήματα πρέπει να ληφθούν υπόψη). «Πραγματικός κόσμος»«Μαθηματικός κόσμος» Real-world problem Collecting signatures Carrying them to the Congress Are 11 vans really needed? Real-world problem Συλλέγοντας υπογραφές Μεταφέροντας τις στο κογκρέσο Χρειάζονται πραγματικά 10 φορτηγά; Mathematical Problem How may sheets of paper? What is the volume occupied bynsheets of paper? Mathematical Problem Πόσα φύλλα χαρτιού; Πόσο όγκο καταλαμβάνουν ν φύλλα χαρτιού; Mathematical solution Arithmetic calculations Calculating a volume Mathematical solution Αριθμητικοί υπολογισμοί Υπολογίζοντας τον όγκο Realsolution Comparing volumes (nsheets of paper vs. 11 vans) Arguing about the situation Realsolution Συγκρίνοντας όγκους (νφύλλα χαρτιού και 10 φορτηγών Συζητώντας για την κατάσταση

Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 19 Παράδειγμα 2: «Καρδιακοί παλμοί» Πίσω στην παρουσίαση Κείμενο-εκφώνηση του έργου   Application task (steps 2 and 3 do not have to be considered: the mathematical model is provided) “Real world” “Mathematical world” Έργα 2  Εφαρμογή του έργου(τα βήματα 2 και 3 δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη: το μαθηματικό μοντέλο δίνεται «Πραγματικός κόσμος»«Μαθηματικός κόσμος» Real-world problem Two math. models (linear) and a qualitative statement are given. Which age onwards does the new model increase the recommended frequency given by the old one? Real-world problem Δίνονται δύο μαθηματικά μοντέλα (γραμμικά) και μια ποιοτική δήλωση (λεκτική) Από ποια ηλικία και μετά το μοντέλο αυξάνει το μέγιστο επιτρεπτό αριθμό καρδιακών παλμών; Mathematical Problem Comparison of two functions: x / 220–x < 208–0,7x? Mathematical Problem Σύγκριση των δύο συναρτήσεων x / 220–x < 208–0,7x; Mathematical solution Solving a linear inequality: x > 40 Mathematical solution Λύνοντας την ανίσωση : x > 40 Realsolution Interpreting this inequality in terms of age and recommended max. heart rate. Realsolution Ερμηνεύοντας αυτή την ανίσωση υπό τους όρους της ηλικίας και του μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών.