1.ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στα 5 πρώτα λεπτά του μαθήματος η καθηγήτρια κάνει μια σύντομη επανάληψη σχετικά με τις έννοιες των εφεξής, διαδοχικών, παραπληρωματικών, συμπληρωματικών και κατακορυφήν γωνιών, τις οποίες οι μαθητές είχαν διδαχθεί στο προηγούμενο μάθημα. Στη συνέχεια, η καθηγήτρια μοιράζει ένα φύλλο εργασίας προκαλώντας τους μαθητές να ασχοληθούν ο καθένας μόνος του με την πρώτη δραστηριότητα όσο εκείνη θα σχεδιάζει την άσκηση στον πίνακα. Πρόκειται για την εξής άσκηση: «Να υπολογίσετε τις γωνίες α και β του παρακάτω σχήματος»

Όταν όμως η εκπαιδευτικός αρχίζει να περιφέρεται ανάμεσα στα θρανία διαπιστώνει ότι αρκετοί μαθητές έχουν μετρήσει τις ζητούμενες γωνίες με μοιρογνωμόνιο ενώ έπρεπε να υπολογίσουν τις γωνίες αυτές κάνοντας εφαρμογή του ορισμού των παραπληρωματικών γωνιών που έχουν διδαχθεί. Συγκεκριμένα, ένας μαθητής μετρώντας με το μοιρογνωμόνιό του βρίσκει την πρώτη γωνία 35 ο και την δεύτερη 70 ο. Ένας άλλος μαθητής, ταυτόχρονα, σηκώνεται στον πίνακα και λύνει την άσκηση σωστά, χρησιμοποιώντας τις γνώσεις του από τη θεωρία των παραπληρωματικών γωνιών, υπολογίζοντας την πρώτη γωνία 33 ο και την δεύτερη 70 ο. Ακολουθεί ο εξής διάλογος: Κ: «Εσύ Ευθύμη χρησιμοποίησες μοιρογνωμόνιο. Πόσο βρήκες τις γωνίες?» Ε: « α=35 ο και β=70 ο » Κ: «Τώρα εμείς την α τη βρήκαμε 33 ο. Ποια είναι η σωστή απάντηση?» Ε: «Το 33 ο » Κ: «Γιατί?» Ε: «Διότι με τις πράξεις είναι πιο ακριβές» Κ: «Ωραία! Ουσιαστικά οι πράξεις πού στηρίζονται?» Ε: «Στη θεωρία!» Κ: «Ωραία. Οπότε είναι πιο σωστή η αιτιολόγηση»

Λίγο αργότερα ακολουθεί η 2 η δραστηριότητα: «Να σχεδιάσετε μια γωνία 30 ο και την παραπληρωματική της. Να σχεδιάσετε τις διχοτόμους των δύο αυτών γωνιών. Να υπολογίσετε τη γωνία των διχοτόμων.» Η εκπαιδευτικός προκειμένου να αποθαρρύνει τους μαθητές να μετρήσουν με μοιρογνωμόνιο τη ζητούμενη γωνία τους προκαλεί να την υπολογίσουν υποθέτοντας πως έχουν ξεχάσει το μοιρογνωμόνιό τους. Ακολουθεί ο εξής διάλογος: Κ: «Εάν έχω ξεχάσει το μοιρογνωμόνιό μου? Πώς θα υπολογίσω αυτή τη γωνία?» Μ: «Είναι 90 ο » Κ: «Πώς το κατάλαβες?» Μ: «Επειδή αυτή η γωνία είναι το μισό της ευθείας γωνίας» Κ: «Και πώς κατάλαβες ότι είναι το μισό της?» Μ: «Γιατί περιλαμβάνει τα μισά καθεμιάς από τις γωνίες» Κ: «Ωραία! Αφού λοιπόν αυτή η γωνία περιλαμβάνει δύο μισά, θα είναι το μισό της ευθείας…Να σας ρωτήσω…Εάν οι γωνίες ήταν συμπληρωματικές? Θα ήταν πάλι η γωνία των διχοτόμων ίση με 90 ο ?» Μ: «Όχι!» Κ: «Τι θα ήταν?» Μ: «Μικρότερη.» Κ: «Πόσο μικρότερη?» Μ: «45 Ο » Κ: «Ωραία! Θα σας αφήσω να το σκεφτείτε στο σπίτι σας!»

2.ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Κατά την άποψή μας η αδυναμία των μαθητών να συλλάβουν την έννοια της απόδειξης και να τη χρησιμοποιήσουν ως εργαλείο στη μαθηματική δραστηριότητα ξεκινάει από τα σχολικά βιβλία, τα οποία υποκύπτουν σε μια εμπειρικίστικη αντίληψη της επιστήμης των Μαθηματικών με την συρρίκνωση της θεωρητικής σκέψης, και την αποφυγή αποδείξεων και συλλογισμών. Κατ’ αυτόν τον τρόπο φαίνεται ότι η διαισθητική και επαγωγική απόδειξη κυριαρχεί στα σχολικά βιβλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου καθώς και ότι η χρήση συγκεκριμένων παραδειγμάτων – περιπτώσεων, οι μετρήσεις με υποδεκάμετρο ή μοιρογνωμόνιο, ακόμα και η χρησιμοποίηση του διαφανούς χαρτιού, έχουν σχεδόν αποκλειστικά αντικαταστήσει την διαδικασία επιχειρημάτων και παραγωγικών συλλογισμών. Κατ’ αυτόν τον τρόπο δημιουργείται στα παιδιά η αντίληψη πως ότι φαίνεται να είναι δεν χρειάζεται να δικαιολογηθεί πως είναι ενώ ταυτόχρονα δημιουργεί απορίες στους μαθητές, για την αναγκαιότητα έστω και των λίγων αποδείξεων που παρατίθενται στα βιβλία. Αφού και αυτό φαίνεται να είναι έτσι, γιατί τώρα χρειάζεται να αποδειχθεί;

3. ΕΙΔΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Μελετώντας την εργασία της κας Μαλβίνας Παπαδάκη (Καθηγήτριας Πειραματικού Σχολείου Πανεπιστημίου Αθηνών) και της κας Στάμης Τσικοπούλου (Καθηγήτριας 3 ου Ενιαίου Λυκείου Δάφνης) με τίτλο «Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ» μπορεί κανείς να βρει μια σύντομη καταγραφή των αποδείξεων όπως παρουσιάζονται στα σχολικά βιβλία και των τριών τάξεων του Γυμνασίου. Με τον όρο διαισθητική (ενορατική) απόδειξη, νοείται η ξαφνική σύλληψη της αλήθειας, σαν έμπνευση, χωρίς την παρέμβαση της λογικής, χωρίς, δηλαδή, την λογική απόδειξή της. Με τον όρο επαγωγική απόδειξη, ορίζεται η απόδειξη, όταν κάνει χρήση μιας κανονικότητας. Κατά την επαγωγική απόδειξη, βρίσκουμε μια κοινή ιδιότητα μεταξύ πολλών διαφορετικών παραδειγμάτων, περιπτώσεων, ή μοτίβων που επαναλαμβάνονται, και αυτή η ιδιότητα αποτελεί μια βάση για γενίκευση ή εξαγωγή συμπερασμάτων. Τέλος, η παραγωγική απόδειξη, που συνήθως φαίνεται να φοβίζει τους πολλούς, στην πραγματικότητα, είναι απλά η διαδικασία της εξαγωγής συμπεράσματος, που αναγκαστικά ακολουθεί προηγούμενες γνώσεις και στηρίζεται σε αυτές.

Και οι τρεις προηγούμενοι τύποι αποδείξεων, διαισθητική, επαγωγική και παραγωγική παίζουν πολύ σπουδαίο ρόλο στην ανάπτυξη και την εφαρμογή των Μαθηματικών. Η μαθηματική έρευνα συχνά ξεκινά με ένα συμπέρασμα βασισμένο στην διαίσθηση, ή σε μια εικασία, σε μια «μαντεψιά», σε μια πρόγνωση. Πολλές φορές, πάλι, χρειάζεται να εξετάσει συγκεκριμένες περιπτώσεις, προκειμένου να γίνει γενίκευση. Η παραγωγική απόδειξη εν συνεχεία, είναι το μέσο για να ελεγχθούν οι εικασίες που έχουν προηγηθεί. Μια επιτυχημένη, επομένως, διδασκαλία δεν μπορεί παρά να περιέχει και τους τρεις αυτούς τύπους αποδείξεων.

4. ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Οι δυσκολίες που αντιμετωπίζει η πλειοψηφία των μαθητών ταξινομούνται σε τρείς βασικές κατηγορίες. · 1η κατηγορία: Οι μαθητές δεν αισθάνονται την ανάγκη της απόδειξης · 2η κατηγορία: Αδυνατούν να συλλάβουν το στοιχείο του «λογικά αναπόφευκτου», που είναι έμφυτο στην έννοια της απόδειξης · 3η κατηγορία: Δυσκολεύονται να διατυπώσουν μια απόδειξη. Η έρευνα των Καραγιαννίδου (2005) καταλήγει στο συμπέρασμα ότι: μια μεγάλη πλειοψηφία μαθητών θεωρεί ότι οι φορμαλιστικές αποδείξεις είναι αυτές που νομιμοποιούνται και τυγχάνουν μεγαλύτερης αποδοχής από τον δάσκαλο, αν και οι μισοί περίπου μαθητές θεωρούν πιο κατανοητές τις επεξηγηματικές αποδείξεις. Περαιτέρω, οι δυσκολίες των μαθητών προέρχονται κατά βάση από την υιοθέτηση της πεποίθησης ότι προκειμένου να είναι σε θέση να μάθουν μία αποδεικτική διαδικασία, αρκεί να απομνημονεύσουν αυτά που διατυπώνονται από τον διδάσκοντα ή το σχολικό εγχειρίδιο.

Οι περισσότεροι μαθητές δεν κατανοούν γιατί πρέπει να μάθουν την αποδεικτική διαδικασία και δηλώνουν ότι η απόδειξη είναι μία δυσνόητη διαδικασία, που πρέπει να διδαχτούν στο μάθημα των μαθηματικών, ενώ όταν καλούνται να σχολιάσουν την απόδειξη, μερικές κοινές απαντήσεις είναι: (α) «εγώ μισώ τις αποδείξεις, γιατί δεν τις καταλαβαίνω», (β) «γιατί πρέπει να αποδείξω κάτι, που φαίνεται τόσο προφανές;» και (γ) «εγώ εμπιστεύομαι τον μεγάλο μαθηματικό Ευκλείδη, που ανακάλυψε το θεώρημα» ( Healy & Hoyles, 1998, σελ.670 ).

5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Είναι γενικά αποδεκτό, ότι η εποπτεία και η εμπειρία βοηθούν τη διαίσθηση, την εμπλουτίζουν, θέτουν ερωτήματα, δημιουργούν αμφιβολίες. Η εξαγωγή μιας μαθηματικής έννοιας από μια συγκεκριμένη κατάσταση – πρόβλημα, υπαρκτό ή ενδομαθηματικό, η γενίκευση μετά από την εξέταση περιπτώσεων, που μπορεί να παρατηρηθούν εν συνεχεία, οι διαισθητικές αιτιολογήσεις, όλα αυτά, αποτελούν τρόπους σκέψης. Χωρίς την εξοικείωση του μαθητή με αυτές τις άτυπες διεργασίες σκέψης, δεν μπορεί να καταλάβει ποτέ τον αληθινό ρόλο της απόδειξης, που δεν είναι άλλος από το να επικυρώνει και να νομιμοποιεί τις κατακτήσεις της διαίσθησης Η υποκατάσταση της απόδειξης από την διαδικασία της εποπτικής δικαιολόγησης, η υποκατάσταση, δηλαδή, της διατύπωσης επιχειρημάτων και επομένως συλλογισμών από διαισθητικές διαδικασίες, μετατοπίζει τον χαρακτήρα των Μαθηματικών από την τέχνη του συλλογίζεσθαι σε ένα αντικείμενο, που δέχεται άκριτα την «αλήθεια» και τα μετατρέπει σε μια διαδικασία που πασχίζει με χίλιους τρόπους να φτιάξει μαθητές που θα αρκούνται στο «μου φαίνεται», «ας κάνω μερικές δοκιμές και μου αρκούν», «ας μετρήσω με το υποδεκάμετρο ή το μοιρογνωμόνιο...Αυτό άλλωστε αποδεικνύουν οι γεμάτες απορία, «αθώες» ερωτήσεις ορισμένων μαθητών που επιμένουν να ζητούν να μάθουν γιατί, όταν χωρίσουν ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 3,8 cm σε δύο ίσα μέρη μετρώντας το (όπως προτείνει το βιβλίο της Α΄ Γυμνασίου), τα δύο ευθύγραμμα τμήματα όταν τα συγκρίνουν με το διαβήτη δεν είναι ίσα.

ΚΡΙΣΙΜΟ ΣΥΜΒΑΝ ΣΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η εκπαιδευτικός έχει μοιράσει ένα φύλλο εργασιών στους μαθητές και ένα διαφανές χαρτί στο καθένα. Στη 1 η δραστηριότητα τους ζητάει να σχεδιάσουν μια γωνία και έπειτα στη 2 η δραστηριότητα τους ζητάει να θεωρήσουν ότι είναι σε μια φανταστική χώρα στην οποία δεν έχει εφευρεθεί το μοιρογνωμόνιο και οι μοίρες, και να μετρήσουν την προηγούμενη γωνία χρησιμοποιώντας το διαφανές χαρτί. Ακολουθεί ο εξής διάλογος: Μ: «Μπορούμε να το μετρήσουμε με το χέρι?»(και κάποιοι μαθητές απαντούν δυνατά όχι) Κ: «Επινοήστε κάτι. Σκεφτείτε κάτι για να μετρήσετε» Μ: «Σε τι μονάδα μέτρησης?» Κ: «Πρέπει να βρούμε μια μονάδα!» Μ: «Εκατοστά? Μέτρα?» Κ: «Με αυτά μετράμε απόσταση! Μια καινούρια μονάδα μέτρησης, χωρίς χάρακα. Τι θα είναι για να μετράει γωνίες?» Μ: «Ένας κύκλος, θα βάλω μια μονάδα μέτρησης» (η καθηγήτρια του λέει να σηκωθεί στον πίνακα και να σχεδιάσει μια γωνία, αφού τη φτιάχνει λέει να μετρήσουν την απόσταση των 2 πλευρών) Κ: «Ξανά! Πρέπει να βρούμε μονάδα μέτρησης. Τι θα βρούμε?» Μ: «Ίδιο με τις μοίρες?» Κ: «Τι είναι οι μοίρες?» Μ: «Ο αριθμός πόσο μεγάλη είναι η γωνία»

Κ: «Αν έχω 1 μέτρο, θέλω όλη αυτή την απόσταση» (και δείχνει τον τοίχο που είναι ο πίνακας) Μ: «Όσες φορές χωράει το 1 μέτρο στην απόσταση» Κ: «Γυρίζουμε στη γωνία. Πόσες φορές χωράει η γωνία στο κύκλο? Φτιάξτε ένα κύκλο και βάλτε τη γωνία μέσα» Μ: «Άπειρες!!!» Κ: «Πόσες φορές χωράει?» Μ: «10» Κ: «Δηλαδή γωνία κύκλου. Καταφέρατε να μετρήσετε τη γωνία! Ένας άλλος λαός έκανε την ίδια δουλεία έβγαλε ότι 1 ο κύκλου»

Η καθηγήτρια ενώ έχει προχωρήσει στην επόμενη δραστηριότητα ξαναγυρίζει στη 2η.Της κίνησε το ενδιαφέρον ότι 4 παιδιά είχαν κατασκευάσει πέρα από τη τυχαία γωνία που τους ζητήθηκε στο ίδιο σχήμα και μια ορθή γωνία προκειμένου να τη συγκρίνουν με την αρχική. Κ: (σχεδιάζει) «Πόσες φορές χωράει?» Μ: «Περίπου 3» Κ: «Γωνία της ορθής. Δεν έχουμε ακρίβεια, αλλά βρήκαμε 2 τρόπους για να μετρήσουμε γωνίες» Μ: «Δηλαδή όταν μετράμε γωνίες είναι σα να μετράμε έμμεσα το κύκλο»