Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία Μαθηματικός

Στα έργα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, όπως των Ευκλείδη, Αρχιμήδη, Απολλώνιου και άλλων, υπήρχαν δύο ειδών γεωμετρικές προτάσεις, τα θεωρήματα και τα προβλήματα. Τα θεωρήματα έπρεπε να αποδειχθούν, ενώ τα προβλήματα να κατασκευαστούν. Κάθε απόδειξη θεωρήματος ολοκληρωνόταν με τη φράση: « όπερ έδει δείξαι », ενώ κάθε λύση προβλήματος με τη φράση : « όπερ έδει ποιήσαι ». Η λύση ενός προβλήματος συνίσταται στην γεωμετρική κατασκευή, μαζί με την απόδειξη ότι το σχήμα που κατασκευάστηκε έχει τις ζητούμενες ιδιότητες. Με τον όρο γεωμετρική κατασκευή εννοούμε την κατασκευή ενός γεωμετρικού αντικειμένου με κάποια μέσα κατασκευής. Από τις απαρχές της Γεωμετρίας οι μαθηματικοί απαιτούσαν για τις κατασκευές κάποια κριτήρια.Για τους αρχαίους Έλληνες οι γεωμετρικές κατασκευές ήταν παραδεκτές αν γινόταν με χρήση κανόνα (αβαθμολόγητου χάρακα) και διαβήτη, δηλαδή με ευθείες και κύκλους με πεπερασμένο πλήθος βημάτων.

Ο Ευκλείδης (3 ος αιώνας π.χ.), που εικάζεται ότι μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα, εισήγαγε την απαίτηση του κανόνα και του διαβήτη εμμέσως στα Στοιχεία, όπου τα τρία από τα πέντε αιτήματα (αξιώματα) είναι: 1.Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε μοναδική ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε άλλο σημείο. 2.Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως 3.Με κέντρο ένα σημείο και ακτίνα οποιοδήποτε τμήμα μπορούμε να γράψουμε κύκλο. Όμως ρητή αναφορά του Ευκλείδη στην αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη δεν υπάρχει πουθενά. Οι αρχαίοι Έλληνες έλυσαν σχεδόν όλα τα προβλήματα που μπορούσαν να επιλυθούν με κανόνα και διαβήτη. Εκείνα που δεν ήταν δυνατόν να επιλυθούν με αυτά τα μέσα, τα έλυσαν χρησιμοποιώντας άλλες καμπύλες όπως οι κωνικές τομές, η σπείρα, οι έλικες,η τετραγωνίζουσα και άλλες, που είχαν όμως τον χαρακτηρισμό «απαράδεκτη» ή «ανορθόδοξη» λύση.

Το σώμα λοιπόν της μαθηματικής γνώσης, όπως παραδόθηκε απ’ τους αρχαίους Έλληνες, χαρακτηριζόταν από την αυστηρή απαίτηση τα μέσα των γεωμετρικών κατασκευών να είναι ευθείες και κύκλοι. Εξέχουσα θέση στα προβλήματα της αρχαιότητας κατέχουν τα περίφημα « άλυτα προβλήματα », ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου (Δήλιο πρόβλημα) και η τριχοτόμηση της γωνίας. Το αδύνατο της επίλυσής τους με αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη και σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων αποδείχτηκε τον 19 ο αιώνα.

Ο Πάππος (3 ος αιώνας μ.χ) ταξινομεί τα γεωμετρικά προβλήματα,ανάλογα με τα μέσα που απαιτούνται για την επίλυσή τους, σε τρεις κατηγορίες :  Επίπεδα ( επιλύονται με ευθείες και κύκλους)  Στερεά ( επιλύονται με κωνικές τομές)  Γραμμικά( επιλύονται με άλλες πιο πολύπλοκες καμπύλες) Οι μέθοδοι επίλυσης μη επίπεδων προβλημάτων χωρίστηκαν, απ’ τους αρχαίους γεωμέτρες, σε τρεις κατηγορίες :  Κατασκευές με νεύση, όπου μια ευθεία μετατοπίζεται με κάποιο τρόπο πάνω σε ένα σχήμα, ώστε δύο τμήματα να είναι ίσα.  Κατασκευές που εκτελούνται με όργανα που επινοήθηκαν για μια ειδική κατασκευή (π.χ μεσολάβος )  Κατασκευές που τα μέσα που χρησιμοποιούνται για την επίτευξή τους είναι τομές ευθειών και καμπυλών όπως οι κωνικές τομές, η κογχοειδής, η κισσοειδής,η σπείρα και η τετραγωνίζουσα.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΒΗΤΗ Ένα σημείο είναι κατασκευάσιμο αν προκύπτει μετά από πεπερασμένα βήματα στοιχειωδών κατασκευών. Σαν στοιχειώδης κατασκευές εννοούμε:  Την κατασκευή μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.  Την κατασκευή κύκλου με κέντρο δοσμένο ή κατασκευασμένο σημείο και ακτίνα δεδομένο ή κατασκευασμένο μήκος.  Την κατασκευή ενός σημείου που είναι τομή δύο κατασκευάσιμων κύκλων ή τομή κατασκευάσιμης ευθείας και κατασκευάσιμου κύκλου. Ένας πραγματικός αριθμός α είναι κατασκευάσιμος, αν είναι κατασκευάσιμο το σημείο (α,0). ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο πραγματικός αριθμός α είναι κατασκευάσιμος αν μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους │α│,με πεπερασμένο πλήθος βημάτων και σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων όπου έχουμε ορίσει μοναδιαίο μήκος.

Έστω α,β δύο κατασκευάσιμοι αριθμοί. 1. Ο αριθμός –α είναι κατασκευάσιμος. Πράγματι το σημείο (-α, 0) αποτελεί την άλλη τομή του άξονα χ΄χ και του κύκλου (Ο, α). 2. Ο αριθμός α+β είναι κατασκευάσιμος. Πράγματι, τα σημεία Α(0,1), Β(α,0), Δ(β,1) είναι κατασκευάσιμα, άρα η ευθεία από το Δ που είναι παράλληλη στο ΑΒ τέμνει τον χ΄χ στο σημείο Γ(α+β,0).

3. Ο αριθμός αβ είναι κατασκευάσιμος. Έστω τα σημεία Α(1,0), Β(1+α,0),Γ(0,β) και Δ η τομή του ψ΄ψ με την παράλληλη από το Β προς το ΑΓ. Από τα όμοια τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ είναι : Άρα είναι κατασκευάσιμος ο αριθμός β+αβ, ο –β, οπότε και ο αβ. 4. Αν α#0 τότε ο αριθμός α -1 είναι κατασκευάσιμος. Έστω τα σημεία Α(1,0), Γ(0,α), Δ(0,1+α). Αν Β είναι η τομή της παράλληλης απ’ το Δ προς το ΑΓ, απ’ τα όμοια τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ είναι:

5. Αν α≥0 τότε ο αριθμός √α είναι κατασκευάσιμος. Έστω τα σημεία Α(1,0), Β(1+α,0), Μ το μέσο του ΟΒ και Γ η τομή του κύκλου (Μ, ΟΜ) με την κάθετη στο Α. Από τα όμοια τρίγωνα ΟΑΓ και ΑΒΓ είναι:

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ Καλούνται αυτά στα οποία απαιτείται η κατασκευή ενός τμήματος χ, το οποίο ικανοποιεί μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς χ. 1. Αν δοθούν τρία ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ να κατασκευαστεί το τέταρτο ανάλογό τους. Δηλαδή ζητείται τμήμα χ ώστε: Μεταφέρουμε τα τμήματα α, β, γ πάνω στις ημιευθείες του σχήματος και από το Β φέρουμε παράλληλη στην ΑΓ. Από το θεώρημα Θαλή το τμήμα χ είναι το ζητούμενο.

2.Αν δοθεί ευθύγραμμο τμήμα α, να υποδιαιρεθεί σε δύο τμήματα ώστε ο λόγος τους μ/ν να είναι δοσμένος. Έστω ΑΒ=α. Ζητείται σημείο Γ του ΑΒ ώστε αν χ, ψ είναι τα τμήματα που ορίζει το Γ στο ΑΒ να ισχύει : Πάνω στην ημιευθεία ΑΖ παίρνουμε τα τμήματα ΑΔ=μ και ΔΕ=ν. Η παράλληλη από το Δ στη ΒΕ τέμνει το ΑΒ στο Γ. Απ’ το θεώρημα Θαλή είναι: άρα τα ζητούμενα τμήματα είναι τα ΑΓ και ΓΒ.

3. Αν δοθεί τετράγωνο πλευράς β, να κατασκευαστεί ισοδύναμο ορθογώνιο με δοσμένη τη μια πλευρά του α. Δηλαδή ζητείται τμήμα χ ώστε αχ=β 2, του οποίου η κατασκευή ανάγεται στην περίπτωση 1 4.Αν δοθούν δύο τμήματα α, β τότε να κατασκευαστεί ο αριθμητικός και ο αρμονικός τους μέσος. Για τον αριθμητικό μέσο, αρκεί να κατασκευαστεί τμήμα ίσο με α+β/2 άρα αν διχοτομήσουμε το τμήμα ΟΒ με Μ το μέσο του, τότε το ΟΜ είναι το ζητούμενο τμήμα.

Για τον αρμονικό μέσο ζητείται τμήμα χ ώστε : Άρα η κατασκευή του ανάγεται στο πρόβλημα 1. Πολλές και ενδιαφέρουσες κατασκευές υπάρχουν στο forum του mathematica. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β ΒΑΘΜΟΥ Καλούνται αυτά στα οποία απαιτείται η κατασκευή ενός τμήματος χ, το οποίο ικανοποιεί μια εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς χ. 1. Να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δοθέν ορθογώνιο.

Αρκεί να κατασκευαστεί τμήμα χ ώστε: χ 2 =α β. Πάνω σε ευθεία ε τοποθετούμε διαδοχικά τα τμήματα α και β και γράφουμε κύκλο με διάμετρο α+β. Φέρνοντας το ύψος ΔΓ προκύπτει, απ’ τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ότι χ 2 =α β. 2. Να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δοθέν τρίγωνο. Αν το τρίγωνο έχει βάση α και ύψος υ, τότε ζητείται να κατασκευαστεί τμήμα χ ώστε: χ 2 =αυ/2, οπότε το πρόβλημα ανάγεται στο προηγούμενο. 3. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με άθροισμα πλευρών ίσο με δοθέν τμήμα, που να είναι ισοδύναμο με δοθέν τετράγωνο.

Αρκεί : Δηλαδή τα τμήματα χ και ψ είναι οι λύσεις της τελευταίας εξίσωσης. Κατασκευάζουμε κύκλο με διάμετρο ΑΒ=α και φέρουμε σε απόσταση β παράλληλη στην ΑΒ που τέμνει το κύκλο στα Γ, Ε. Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: β 2 =χψ, άρα τα ΑΔ και ΒΔ είναι τα ζητούμενα τμήματα. 4. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με διαφορά πλευρών ίσο με δοθέν τμήμα, που να είναι ισοδύναμο με δοθέν τετράγωνο.

Αρκεί : Άρα πρέπει να κατασκευαστούν οι λύσεις χ και ψ της τελευταίας εξίσωσης. Κατασκευάζουμε κύκλο διαμέτρου α και στο σημείο του Α φέρουμε την εφαπτομένη του. Για το σημείο Β ισχύει : ΑΒ 2 =ΒΓ ΒΔ, δηλαδή χψ=β 2 με χ-ψ = α άρα αυτά είναι τα ζητούμενα τμήματα.

5. Κατασκευή της χρυσής τομής. Να διαιρεθεί τμήμα α σε μέσο και άκρο λόγο. Αρκεί να βρεθεί σημείο Γ τέτοιο ώστε για το τμήμα ΑΓ = χ να ισχύει: Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ με κάθετες πλευρές α και α/2.Ο κύκλος με κέντρο Ε και ακτίνα α/2 τέμνει την ΒΕ στο Δ. Το τμήμα ΒΔ είναι το ζητούμενο και μεταφέρεται πάνω στο ΑΒ με τη βοήθεια κύκλου με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΔ.

Ο παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα φ, προς τιμήν του Φειδία και όπου εμφανίζεται δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας.

Ο Gauss ( ), πριν ακόμα κλείσει τα δεκαεννιά του χρόνια, είχε αποδείξει ότι το κανονικό δεκαεπτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Θεώρημα Gauss: Ένα ν- γωνο θα κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν ισχύει : ν=2 κ ρ 0 ρ 1 ρ 2 … ρ σ όπου κ≥ 0 και ρ 0 ρ 1 ρ 2 … ρ σ διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί της μορφής ρ i = +1, με t N

Το πρόβλημα της κατασκευής κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές είναι ισοδύναμο με την διαίρεση του κύκλου σε ν ίσα τόξα με κανόνα και διαβήτη. Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες είχαν κατασκευάσει κανονικά πολύγωνα με πλήθος πλευρών : α) 4,8,16,32,64,… δηλαδή της μορφής 2 ν, ν=2,3,4,5,6… β) 3,6,12,24,48,… δηλαδή της μορφής 3∙ 2 ν ν=0,1,2,3,4… γ) 5,10,20,40,80,… δηλαδή της μορφής 5∙ 2 ν ν=0,1,2,3,4… δ)15,30,60,120,… δηλαδή της μορφής 3∙ 5∙ ∙ 2 ν ν=0,1,2,3,4,… Η κατασκευή ενός 2ν- γωνου γινόταν από το ν-γωνο με διχοτόμηση των πλευρών του. Η πλευρά λ 2ν του 2ν- γωνου δινόταν από τον τύπο: γνωστός ως τύπος του Αρχιμήδη. Υπάρχουν λοιπόν κανονικά πολύγωνα όπως το επτάγωνο, εννιάγωνο, εντεκάγωνο κ.τ.λ που κατασκευάστηκαν με άλλους τρόπους κι όχι με αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη. Το προηγούμενο θεώρημα Gauss δίνει απάντηση ως προς την μορφή του αριθμού των πλευρών, κατασκευάσιμων με κανόνα και διαβήτη, κανονικών πολυγώνων.

Άρα είναι αδύνατη η κατασκευή αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη ενός κανονικού πολυγώνου με πλήθος πλευρών 7,9,11,13,14,18,19,21,22 κτλ. Ο Gauss πάντως αν και άφησε πίσω του ένα τεράστιο έργο, τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική- θεωρείται μαζί με τους Αρχιμήδη και Νεύτωνα οι κορυφαίοι μαθηματικοί όλων των εποχών- θεωρούσε την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου σαν το κορυφαίο επίτευγμά του. Η επιθυμία του να χαραχτεί πάνω στον τάφο του το κανονικό δεκαεπτάγωνο ήταν όμοια με του Αρχιμήδη με την εγγεγραμμένη σφαίρα σε κύλινδρο. Ο ανδριάντας του βρίσκεται στην γενέθλια πόλη του, το Braunschweig της Γερμανίας και είναι πάνω σε βάθρο σχήματος κανονικού δεκαεπταγώνου. Για την κατασκευή του κανονικού γωνου ο Γερμανός καθηγητής Gustav Hermes ( ) εργάστηκε δέκα συναπτά έτη και μάλιστα λέγεται ότι το χειρόγραφο έργο του ξεπερνούσε τις 200 σελίδες.

Ο διπλασιασμός του κύβου : να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύβου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου : να κατασκευαστεί με κανόνα και διοαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσου με το εμβαδό δοσμένου κύκλου. Η τριχοτόμηση γωνίας : να χωριστεί με κανόνα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη.  διπλασισμός κύβου = κατασκευή τμήματος μήκους  Τετραγωνισμός κύκλου = κατασκευή τμήματος μήκους  Τριχοτόμηση γωνίας = κατασκευή τμήματος μήκους cosθ

Οι Έλληνες βρήκαν λύσεις για αυτά τα προβλήματα που όμως χρησιμοποιούσαν κι άλλα εργαλεία. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος ( π.Χ.) χρησιμοποίησε μία πολυωνυμική καμπύλη τετάρτου βαθμού για τον διπλασιασμό του κύβου. Ο Αρχιμήδης (287 – 212 π.Χ.) χρησιμοποίησε την έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο. Ο Ιππίας (4 ος αιώνας π.Χ.) για την τριχοτόμηση γωνίας χρησιμοποίησε μία μη αλγεβρική καμπύλη. Πότε λοιπόν οι αριθμοί είναι κατασκευάσιμοι με κανόνα και διαβήτη? Ένας αριθμός είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη αν είναι αλγεβρικός, δηλαδή αν είναι ρίζα κάποιου πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές και με ελάχιστο βαθμό κάποια δύναμη του 2. Τα τρία μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας ανάγονται σε εξισώσεις, των οποίων τα αντίστοιχα πολυώνυμα δεν είναι της παραπάνω μορφής.

Μόλις το 1844 ο Joseph Liouville ( ) απέδειξε την ύπαρξη υπερβατικών αριθμών, δηλαδή αριθμών που δεν είναι ρίζες καμιάς πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.Η μέθοδός του είναι κατασκευαστική, και δεν μας παρέχει τη μέθοδο για να αναγνωρίσουμε αν ένας αριθμός είναι υπερβατικός ή όχι. Το 1882 ο Γερμανός μαθηματικός Lindemann ( ) απέδειξε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός, άρα ο τετραγωνισμός του κύκλου με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατος

Η φιλοσοφία είναι καταγεγραμμένη σ’ αυτό το τεράστιο βιβλίο –το Σύμπαν- που βρίσκεται συνέχεια μπροστά μας. Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε, εκτός αν καταλάβουμε τη γλώσσα του και ερμηνεύσουμε τα στοιχεία με τα οποία έχει γραφτεί. Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και τα στοιχεία του είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι και τα άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία είναι ανθρωπίνως αδύνατο να γίνει κατανοητή έστω και μια λέξη!!! GALILEO GALILEI