ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Σφάλμα είναι η διαφορά μεταξύ της ένδειξης του οργάνου και της πραγματικής τιμής του μεγέθους που μετράμε. ΑΠΟΛΥΤΟ ΣΦΑΛΜΑ:

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Σχετικό Σφάλμα: Το σχετικό σφάλμα αποτελεί ένα ασφαλές κριτήριο σχετικά με την σοβαρότητα του σφάλματος μιας μέτρησης.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΙΤΙΕΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Ατέλειες Μετρητικού Οργάνου. Εσωτερικές αντιστάσεις οργάνων μέτρησης. Σφάλματα μεθοδολογίας. Επιδράσεις περιβάλλοντος. Ανθρώπινα σφάλματα.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ: Συστηματικά ονομάζονται τα σφάλματα που προέρχονται από γνωστές αιτίες και η τιμή τους είναι σταθερή. ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ: Τυχαία ονομάζονται τα σφάλματα που οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες, συνήθως άγνωστους σε εμάς ή σε ανθρώπινα σφάλματα. Η τιμή τους δεν είναι σταθερή.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΟΡΓΑΝΟΥ: η ικανότητα του οργάνου να παρέχει ενδείξεις κοντά στην πραγματική. ΓΡΑΜΜΙΚΟ: Είναι το όργανο που το σήμα εξόδου του είναι ανάλογο του σήματος εισόδου. ΕΥΡΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ: Συμπίπτει με την κλίμακα του οργάνου.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΙΜΟΤΗΤΑ: Η ικανότητα του οργάνου να δίνει την ίδια ένδειξη για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις κάτω από τις ίδιες συνθήκες. ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ: Η μικρότερη αλλαγή του μεγέθους που αναγνωρίζει το όργανο μέτρησης. ΚΑΤΩΦΛΙ: Η ελάχιστη τιμή εισόδου στην οποία ανταποκρίνεται το όργανο μέτρησης.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΛΑΣΗ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ: Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των εσωτερικών σφαλμάτων των οργάνων μέτρησης. 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2,5 5 ΟΡΓΑΝΑ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΗΣ: Το σφάλμα που υπολογίζεται με την βοήθεια της κλάσης ονομάζεται σφάλμα πλήρους κλίμακας ή απόκλιση πλήρους κλίμακας.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Εναλλακτική περίπτωση της απόκλισης πλήρους κλίμακας είναι το σταθερό σφάλμα ανάγνωσης ως ποσοστό της τιμής που δίνει το όργανο. Συμβολίζεται ως ποσοστό της ένδειξης ± Α%rdg όπου Α είναι ένας αριθμός και rdg αναφέρεται στην αγγλική λέξη reading π.χ. ±1%rdg Π.χ. ένα όργανο με σταθερό σφάλμα ανάγνωσης 1% σε μια μέτρηση 200Ω η πραγματική τιμή βρίσκεται μεταξύ 198Ω και 202Ω, αν η μέτρηση είναι 20Ω τότε η πραγματική τιμή είναι μεταξύ 19,8Ω και 20,2Ω.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Επιπλέον των δύο προαναφερόμενων τύπων σφαλμάτων τα ψηφιακά όργανα συχνά έχουν ακρίβεια ± ένα ψηφίο ή περισσότερα. Αναφέρεται ως ± Adgt όπου Α είναι ο αριθμός των ψηφίων και dgt αναφέρεται στην αγγλική λέξη digits. Αυτό σημαίνει ότι εκτός από την παραπάνω ποσοστιαία τιμή υπάρχει σφάλμα στην ένδειξη του τελευταίου ψηφίου (ή των τελευταίων ψηφίων) της ένδειξης του οργάνου. Δηλαδή αν το όργανο μετράει π.χ. διαφορά δυναμικού, η μέγιστη κλίμακα είναι 700V και το σφάλμα αυτό προσδιορίζεται ως ±1V, η ένδειξη θα είναι 1/700 = 0,14% ανακριβής. Μια ένδειξη στα 42V θα έχει ανακρίβεια 1/42 = 2,3%, ενώ στα 12V η ανακρίβεια θα είναι 1/12 = 8,33%.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Παράδειγμα : Έστω ένα ψηφιακό βολτόμετρο το οποίο παρουσιάζει τα εξής: σφάλματα ±1%rdg και ±4dgt. Σε μια ένδειξη 30V με διακριτική ικανότητα 0.1V τα σφάλματα είναι : μέγιστο σφάλμα ανάγνωσης ±1%dgt 30V = ±0.3V μέγιστο σφάλμα τελευταίου ψηφίου ±4dgt = ±0.4V μέγιστο πιθανό σφάλμα του οργάνου ±0.3V + ±0.4V = ±0.7V

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Μέγιστο ολικό απόλυτο σφάλμα: Εάν έχουμε περισσότερα του ενός συστηματικά σφάλματα τότε το μέγιστο σφάλμα της μέτρησης θα δίνεται από το άθροισμα των επιμέρους σφαλμάτων.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Σύνθετο συστηματικό σφάλμα: Υπολογίζεται με την βοήθεια του ολικού διαφορικού της συνάρτησης.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Σε κάθε μέτρηση υπάρχουν συστηματικά και τυχαία σφάλματα. Ο διαχωρισμός τους είναι δύσκολος και έχει ως προϋπόθεση την διεξαγωγή πολλών μετρήσεων του ίδιου μεγέθους στις ίδιες συνθήκες. Μια εκτίμηση της μετρούμενης τιμής μπορεί να γίνει με κατάλληλους υπολογισμούς μέσω του τρόπου που κατανέμονται οι τιμές που μετρήθηκαν. Η κατανομή αυτή αποτελεί ένα σημαντικό παράγοντα επιλογής του μαθηματικού τρόπου επεξεργασίας των αποτελεσμάτων.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Η έννοια της μορφής της κατανομής σε μια διαδικασία μετρήσεων σχετίζεται με τον αριθμό των μετρήσεων. Μία ή δύο μετρήσεις δεν αποτελούν κατανομή. Για να μπορεί να οριστεί η έννοια κατανομή και κατά συνέπεια η μορφή της απαιτείται της υπολογίσιμος αριθμός μετρήσεων του μεγέθους, υπό τις ίδιες συνθήκες.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Έστω τώρα ότι έγιναν ν μετρήσεις x1, … , xν του μεγέθους του οποίου η πραγματική τιμή x είναι άγνωστη. Έστω, ότι το διάστημα τιμών του x χωρίζεται σε ίσα διαστήματα Δx, και ότι ν1 τιμές περιλαμβάνονται στο πρώτο διάστημα (Δx)1, ν2 τιμές περιλαμβάνονται στο δεύτερο διάστημα (Δx)2, και ούτω καθεξής, και πιο γενικά νi τιμές περιλαμβάνονται στο i στο διάστημα (Δx)i. Ουσιαστικά κάθε διάστημα Δxi περιλαμβάνει νi τιμές οι οποίες είναι πολύ κοντά η μία την άλλη και μπορούν να θεωρηθούν ακόμα και σχεδόν ίσες αν το Δxi είναι πολύ μικρό, οπότε το νi τότε αντιστοιχεί στον αριθμό που εμφανίστηκε στη σειρά μετρήσεων η τιμή xi.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ιστόγραμμα στο οποίο φαίνονται οι τιμές xi και τα διαστήματα Δxi

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Σχεδιάζοντας ένα ιστόγραμμα το οποίο έχει ως βάση της κάθε ράβδου το διάστημα Δx με το μέσον της πλευράς στο xi και ύψος μεταβλητό, καθοριζόμενο από τον αριθμό επαναληψιμότητας νi κάθε τιμής xi, μπορεί να απεικονιστεί η κατανομή των τιμών που μετρήθηκαν. Αν η τιμή της επαναληψιμότητας νi διαιρεθεί με τον συνολικό αριθμό των μετρήσεων ν, προκύπτει η συχνότητα εμφάνισης της τιμής xi. Εφόσον το Δxi τείνει στο μηδέν τότε το ιστόγραμμα τείνει να αποτελείται από ευθείες των οποίων οι άκρες πάνω από τον άξονα των x, αποτελούν σημεία της καμπύλης της μορφής y=y(x). Η καμπύλη αυτή παριστάνει τη γραφική απεικόνιση της συχνότητας τιμών κατά μήκος του άξονα x των τιμών x1, … , xν που μετρήθηκαν.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Σχεδίαση της καμπύλης συχνότητας τιμών από ιστόγραμμα για Δxi→0 (Δxi = dxi)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Οι τιμές της καμπύλης της είναι ανάλογες του αριθμού εμφάνισης της τιμής xi ενώ εξαρτώνται από τον συνολικό αριθμό μετρήσεων και το πλάτος του διαστήματος Δx. Θεωρώντας το Δx πολύ μικρό οι τιμές yi μπορούν να γραφούν ως ακολούθως όπου Δxi = dxi : Αν ο αριθμός των μετρήσεων του μεγέθους είναι πολύ μεγάλος, ν→∞, τότε οι οριακές συχνότητες αποτελούν της πιθανότητες εύρεσης τιμών στα αντίστοιχα διαστήματα και η καμπύλη μπορεί να ονομαστεί καμπύλη πιθανοτήτων του μεγέθους x ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι πολύ σημαντική στην επεξεργασία των μετρήσεων καθώς μας επιτρέπει τον προσδιορισμό της πιθανότητας εμφάνισης των αποτελεσμάτων, π.χ. : Την πιθανότητα να εμφανιστούν τιμές μετρήσεων μεταξύ δυο ορισμένων τιμών α και β: Την πιθανότητα να εμφανιστούν τιμές μετρήσεων μικρότερες μιας ορισμένης τιμής α:

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΙΑ ΠΟΛΥ ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΝΑΙ Η ΛΕΓΟΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η΄ ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Μια εκτίμηση εκτίμηση της πραγματικής τιμής του μετρούμενου μεγέθους είναι η αριθμητική μέση τιμή των αποτελεσμάτων: Όσο αυξάνεται ο αριθμός των μετρήσεων η αριθμητική μέση τιμή θα συγκλίνει με μεγαλύτερη ακρίβεια στην πραγματική τιμή του μεγέθους που μετράμε.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Απόκλιση ονομάζεται η διαφορά μιας μέτρησης από την μέση τιμή: Μέση απόκλιση:

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ – ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Υπολογισμός πιθανού απόλυτου σφάλματος: Υπολογισμός μέγιστου πιθανού απόλυτου σφάλματος:

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένα αμπερόμετρο έχει κλίμακες 0-0,1Α, 0-0,5Α και 0-1Α και κλάση 1. Εάν μετράμε ένα ρεύμα 100mA υπολογίστε το σχετικό σφάλμα μέτρησης για κάθε κλίμακα. ΑΣΚΗΣΗ 2 Διαθέτουμε βολτόμετρο 0-500V, κλάσης 1. Υπολογίστε την περιοχή μέτρησης κατά την οποία το βολτόμετρο έχει σφάλμα μεγαλύτερο από 4%.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 3 Με ένα ψηφιακό πολύμετρο μετράμε τάση 228.5V. To πολύμετρο έχει σταθερό σφάλμα ανάγνωσης 1% και σφάλμα τελευταίου ψηφίου ±5dgt. Υπολογίστε το ολικό απόλυτο και σχετικό σφάλμα μέτρησης του οργάνου.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε μια εργαστηριακή άσκηση 7 φοιτητές έκαναν τις παρακάτω ανεξάρτητες μετρήσεις μιας τάσης: 12,1V - 11,8V – 11,9V – 12V – 12,2V – 12,1V – 11,8V. Υπολογίστε την πιθανή τιμή της τάσης καθώς και το πιθανό σφάλμα μέτρησης (απόλυτο και σχετικό).