ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΚΑΓΙΑΝΝΗ ΕΛΕΝΗ ΛΥΚΟΦΡΙΔΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ

Χώρος - Χρόνος - Τόπος Σχολείο : Πειραματικό Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Νέα Σμύρνη Τάξη : Β΄Γυμνασίου Τμήμα : Β 1 Υπεύθυνος Καθηγητής : Νικόλαος Μεταξάς Συνοδός : Μαρία Κασσωτάκη Διδακτική Ώρα : 4 η Θέμα : Συναρτήσεις Ημερομηνία : 17 /12 / 12

Σχεδιασμός Μαθήματος Οι μαθητές είχαν διδαχθεί την έννοια της συνάρτησης ( παράγραφος 3.1 του σχολικού βιβλίου ). Ουσιαστικά το μάθημα σχεδιάστηκε με στόχο την ολοκλήρωση της παραγράφου και την εισαγωγή στις καρτεσιανές συντεταγμένες - γραφική παράσταση συνάρτησης ( παράγραφος 3.2 του σχολικού βιβλίου ).

Μοιράστηκε αρχικά στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας για την ολοκλήρωση της ενότητας 3.1. Το φύλλο εργασίας περιείχε δύο δραστηριότητες :  Στην πρώτη δραστηριότητα οι μαθητές κλήθηκαν να χαρακτηρίσουν αν η κάθε πρόταση όριζε ή όχι κάποια συνάρτηση.  Η δεύτερη ήταν ένα κλασικό πρόβλημα πάνω στην έννοια της συνάρτησης.

Δραστηριότητα 1 Να ελέγξετε αν οι παρακάτω προτάσεις ορίζουν συναρτήσεις και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση.  Μια παρέα 3 ατόμων πήγε στο λούνα παρκ της περιοχής τους για να μπουν στα συγκρουόμενα αυτοκινητάκια. Ο Νίκος όμως λατρεύει το μπάσκετ και πήγε επιπλέον να παίξει μια φορά στο αντίστοιχο παιχνίδι που έχει στο λούνα παρκ.

 Η Μαρία μπήκε στο ζαχαροπλαστείο της γειτονιάς της και πήρε 3 γλυκά για τις 2 κόρες της. Έδωσε στην κάθε μία από ένα.  Μπαίνουν κάποια άτομα σε έναν ανελκυστήρα ( ασανσέρ ) μιας πολυκατοικίας. Ο καθένας θα σταματήσει σε έναν όροφο της πολυκατοικίας.

Στόχοι της παραπάνω δραστηριότητας ήταν : Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της συνάρτησης. Να καταλάβουν πως η συνάρτηση είναι μια διαδικασία και ότι δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τύπος για να υφίσταται. Να γίνει κατανοητή η διάκριση ανεξάρτητης και εξαρτημένης μεταβλητής και να μπορούν να τις ορίζουν μόνοι τους.

Κρίσιμο σημείο Οι μαθητές δεν μπορούσαν να διανοηθούν πως ορίζεται συνάρτηση χωρίς τύπο. Προβληματίστηκαν όταν τους ζητήθηκε να χαρακτηριστεί η κάθε πρόταση για το αν είναι συνάρτηση. Στη ερώτηση για το ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή, αναζητούσαν συγκεκριμένο τύπο για να απαντήσουν.

Διάλογος Συνεντευκτή - Δήμητρα Αρχή διδασκαλίας : Δ : Συνάρτηση είναι ένας κανόνας μεταξύ δύο μεταβλητών αντικειμένων. Σ : Ωραία … και τι πρέπει να ισχύει ; Πώς πρέπει να λειτουργούν μεταξύ τους αυτά τα δύο αντικείμενα για να φτιάξουν συνάρτηση ; Δ : Με τον τύπο !

1 ο Ερώτημα Δραστηριότητας Δ : Δεν κατάλαβα τίποτα ! Σ : Λοιπόν θέλουμε … Δ : Εμείς τώρα δε θέλουμε …; Αν δούμε στο βιβλίο που λέει αν y ίσον τάδε χ …. Σ : Δήμητρα πώς ορίζουμε τη συνάρτηση ;…… Είναι μια διαδικασία μεταξύ δύο συνόλων, δύο αντικειμένων …. και τι πρέπει να ισχύει ; Δ :……………. Σ : Το κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου Β. Εντάξει ;

Δ :…. Δεν κατάλαβα ….. Σ : Λοιπόν ( σχεδιάζω στον πίνακα τα σύνολα ), έχουμε δύο σύνολα το Α και το Β. Το σύνολο Α πείτε ότι έχει τρία στοιχεία που στην περίπτωση αυτή έχουμε τα τρία παιδιά. Στο σύνολο Β έχουμε τα παιχνίδια.. αυτοκινητάκια, μπάσκετ, σκοποβολή … και άλλα.. έχουμε πολλά παιχνίδια στο λούνα πάρκ. Εντάξει ; Και τι μας λέει εδώ ;…. Ότι κάθε παιδί κάνει αυτοκινητάκια, ένα παιχνίδι, οπότε έχουμε αυτήν την αντιστοίχιση ( τη σχεδιάζω ); Δ : Ναι, αλλά το ένα από τα παιδιά κάνει και άλλο ένα. Σ : Αλλά το ένα … όπως ακριβώς το είπες κάνει και μπάσκετ. Για να είναι συνάρτηση πρέπει

κάθε στοιχείο του συνόλου Α να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο του συνόλου Β. Εδώ Δήμητρα τι έχουμε ; Δ : Για να είχαμε συνάρτηση θα πρέπει και τα άλλα δύο παιδιά να έπαιζαν και αυτά μπάσκετ ή …. Σ : Κάθε παιδί.. Άλλος Μαθητής : Μπορεί να παίζει μόνο ένα ! Σ : Μόνο ένα ! Κάθε στοιχείο από εδώ ( σύνολο Α ) « φεύγει » και αντιστοιχεί.. Δ : Μόνο σε ένα …

2 ο Ερώτημα Δραστηριότητας Δ : Αυτό τώρα, έτσι όπως είναι, ορίζει συνάρτηση ; Σ : Ναι. Δ : Γιατί δεν κάνουμε τον τύπο ; Σ : Πώς ; Δ : Να πούμε χ ίσον … Σ : Στη συνάρτηση υπάρχει μια συσχέτιση, μια αντιστοιχία μεταξύ των μεταβλητών. Τον τύπο τον ορίζουν μετά και κάποια άλλα στοιχεία.. Δ : Δε θα μπορούσαμε να πούμε y = 2 χ + 1 που περισσεύει και ένα γλυκό ; Μαρία : Παιδιά οι συναρτήσεις δεν έχουν πάντα τύπο ! Κάποιες έχουν. Εδώ δε

μπορούμε να ορίσουμε τύπο. Σ : Άλλες εκφράζονται και με τύπο. Μαρία : Τα απαραίτητα κριτήρια της συνάρτησης ποια είπαμε ότι είναι ; Μ :…………. Μαρία : Είπαμε ότι … Δ : Όλα τα στοιχεία να πηγαίνουν … να αντιστοιχούν σε ένα … σταμάτα !( μια συμμαθήτριά της λέει την απάντηση ). Λοιπόν, όλα τα στοιχεία να αντιστοιχούν σε ένα σύνολο. Σ : Ναι, κάθε στοιχείο του ενός συνόλου να αντιστοιχεί.. Δ : Σε διαφορετικό. Σ : Σε ένα και μόνο !

Δ : Ναι ! Σ : Με αυτά τα κριτήρια έχουμε συνάρτηση ! Μαρία : Έχουμε πει κάπου ότι χρειάζεται οπωσδήποτε να υπάρχει ένας συγκεκριμένος τύπος ; Δ : Αφου το βιβλίο στις ασκήσεις πάντα το παίρνει με τύπους. Μαρία : Ωραία, στις ασκήσεις του βιβλίου. Αλλά είναι απαραίτητο ; Λέει κάπου ότι χρειάζεται οπωσδήποτε να υπάρχει κάποιος τύπος ; Δ : Όχι... Μαρία : Άρα τι χρειάζεται οπωσδήποτε να υπάρχει ; Δ : Να ισχύουν αυτά τα δύο.

Σύνδεση κρίσιμου σημείου με διπλωματική εργασία A ρκετές µ ελέτες έδειξαν ότι η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης είναι αρκετά πολύπλοκη. Μαθητές που σκέφτονται για την συνάρτηση µ όνο σε σχέση µ ε συ µ βολικούς χειρισ µ ούς και διαδικαστικές τεχνικές αδυνατούν να καταλάβουν µ ια γενικότερη απεικόνιση από input values σε ένα σετ από output values και ως εκ τούτου υστερούν σε εννοιολογικές δο µ ές για την µ οντελοποίηση συναρτησιακών σχέσεων στις οποίες η τι µ ή της συνάρτησης (output value) αλλάζει συνεχώς καθώς γίνονται και συνεχείς αλλαγές

στην input value (Carlson,1998; Monk & Nemirovsky,1994;Thomson,1994a). A υτές οι ικανότητες έχουν αποδειχτεί ότι είναι σχετικές µ ε την αναπαράσταση και την ερ µ ηνεία της µ εταβαλλό µ ενης φύσης πολλών συναρτησιακών καταστάσεων (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2002; Thompson, 1994a) καθώς και θε µ ελιακές για την κατανόηση κύριων εννοιών των ανώτερων µ αθη µ ατικών (Carlson, Smith& Person, 2003; Cottrill et al., 1996; Kaput, 1992; Rasmussen, 2000; Thompson, 1994a; Zandieh, 2000).

Γιατί η συνάρτηση είναι τόσο δύσκολη έννοια για τους µ αθητές ; Σύ µ φωνα µ ε τον Τ homson o ι µ αθητές συχνά καλούνται να χειριστούν αλγεβρικές εξισώσεις και να δώσουν απαντήσεις σε ειδικούς τύπους ερωτήσεων. Οι µ αθητές εισάγονται βιαστικά στον χειρισ µ ό συ µ βόλων, στις διαδικασίες και στις λύσεις προβλη µ άτων. Φθάνει να κοιτάξου µ ε τα µ αθη µ ατικά εγχειρίδια για να αντιληφθού µ ε ότι το µ εγαλύτερο µ έρος της ενασχολήσεως µ ε τα µ αθη µ ατικά αποτελείται από επαναλα µ βανό µ ενες ανιαρές εφαρ µ ογές σταθερών διαδικασιών σε αναρίθ µ ητες

συλλογές προβλη µ άτων. Αυτή η επί µ ονη έ µ φαση σε διαδικασίες χωρίς να συνοδεύεται από ενέργειες που αναπτύσσουν µ ια βαθιά κατανόηση της έννοιας δεν βοηθά στο να χτιστούν θε µ ελιακές συναρτησιακές έννοιες, τέτοιες που να επιτρέπουν την εννοιολογική ερ µ ηνεία και χρήση της συνάρτησης σε διάφορες αναπαραστασιακές και καινοτό µ ες καταστάσεις. Ακό µ α πιο προβλη µ ατική είναι η κατάσταση κατά την οποία οι µ αθητές βλέπουν τη συνάρτηση σαν δύο εκφράσεις οι οποίες χωρίζονται από ένα ίσον (Thompson, 1994).

Αυτή η φτωχή κατανόηση των συναρτήσεων είναι ανεπαρκής βάση για µ ια πιο πλούσια κατανόηση των πιο προχωρη µ ένων µ αθη µ ατικών.

Οι ερευνητές Vinner & Dreyfus, Marcovitz et al., Hercovics,1982 διαπίστωσαν ότι οι µ αθητές πιστεύουν λανθασ µ ένα ότι : Οι ερευνητές Vinner & Dreyfus, Marcovitz et al., Hercovics,1982 διαπίστωσαν ότι οι µ αθητές πιστεύουν λανθασ µ ένα ότι : 1. Οι συναρτήσεις πρέπει να δίνονται µ ε έναν τύπο. Αν δίνονται πολλαπλοί τύποι συναρτήσεων, τότε έχου µ ε πολλές συναρτήσεις. 2. Μια συνάρτηση υπάρχει αν υπάρχει ένας τύπος που την περιγράφει.

3. Η γραφική παράσταση µ ιας συνάρτησης πρέπει να έχει καλή συ µ περιφορά. ( συ µµ ετρικότητα, ο µ αλότητα συνεχώς να αυξάνεται..) 4. Θα πρέπει να υπάρχει µ ια πράξη στο χ που να αποδίδει το ψ, αυτό αποκλείει άλλες είδους σχέσεις. 5. Οι σταθερές και καθορισ µ ένα σύ µ βολα ση µ είων δεν είναι συναρτήσεις. 6. Ο καθορισ µ ός του πεδίου δεν αποτελεί µ έρος του ορισ µ ού της συνάρτησης.

Βιβλιογραφία ∆ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «H έννοια της συνάρτησης κατά την πλοήγηση στο χώρο µ ε τρισδιάστατα ψηφιακά εργαλεία διαχείρισης γεωγραφικής πληροφορίας »., ΚΟΥΚΙΟΥ ΑΛΕΞΑΝ ∆ ΡΑ Επιβλέπων καθηγητής : Χρόνης Κυνηγός ΑΘΗΝΑ 2008 Σχολικό Βιβλίο Β΄Γυμνασίου