ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κανονική Κατανομή (Gaussian) Κατανομή των Ακραίων Τιμών Τύπου Ι (Gumbel) Όρια Εμπιστοσύνης

Κανονική Κατανομή Ανηγμένη μεταβλητή Όπου μ = ο μέσος όρος σ = η τυπική απόκλιση Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -∞ <z < + ∞ Η μεταβλητή z ανήκει σε κανονική κατανομή με μέσο όρο 0 και τυπική απόκλιση 1 Συνάρτηση αθροιστικής πιθανότητας Ο παράγοντας συχνότητας για την κανονική κατανομή k T = z x T = μ (1+C V. k T ), όπου C V = συντελεστής διακύμανσης =

Κατανομή Ακραίων Τιμών Ανηγμένη μεταβλητή Όπου α = σ/1,283 β = μ-0,45 σ (για μέγιστα), β = μ+0,45 σ (για ελάχιστα) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p(y)=exp[+y-exp(+y)]dy (-) για τα μέγιστα, (+) για τα ελάχιστα Συνάρτηση αθροιστικής πιθανότητας Ο παράγοντας συχνότητας για την κατανομή Gumbel για Ν>100

Ο παράγοντας συχνότητας για την κατανομή Gumbel για Ν<100 Για τα Ελάχιστα η ποσότητα k T έχει αντίθετο πρόσημο

Όρια Εμπιστοσύνης Τα όρια μέσα στα οποία κινείται η τιμή του εκτιμούμενου μεγέθους Χ Τ για συγκεκριμένη περίοδο επαναφοράς Τ και δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης 1-α καλούνται όρια εμπιστοσύνης της συγκεκριμένης τιμής και υπολογίζονται : Όπου Z 1-α/2 είναι η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής για αθροιστική πιθανότητα 1-α και S T η τυπική απόκλιση του Χ Τ

Όπου = η τυπική απόκλιση του δείγματος μεγέθους Ν παρατηρήσεων για κανονική κατανομή για κατανομή Gumbel

Οι πιο συνηθισμένες τιμές επιπέδου εμπιστοσύνης 1-α και της αντίστοιχης μεταβλητής Ζ 1-α/2 δίνονται στον ακόλουθο πίνακα :

ΑΣΚΗΣΗ 1 Από δείγματα 30 ετησίων όγκων νερού που είναι διαθέσιμοι για την υδροδότηση ενός αρδευτικού έργου προκύπτει ότι στο δείγμα προσαρμόζεται ικανοποιητικά η κανονική κατανομή. Ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση των μεγεθών του δείγματος είναι αντίστοιχα 80 Mm 3 και 22 Mm 3. Ζητούνται: Α) Αν οι ετήσιες ανάγκες του αρδευτικού έργου είναι σταθερές 53 Mm 3, να υπολογιστεί η πιθανότητα αδυναμίας για την πλήρη κάλυψη των αναγκών αυτών (αστοχία έργου) Β) Αν η επιτρεπόμενη αστοχία είναι 1 στα 8 έτη να βρεθεί η ποσότητα που είναι διαθέσιμη για το αρδευτικό έργο

ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται τα ετήσια μέγιστα των μέσων ημερήσιων παροχών ενός υδατορέματος για την χρονική περίοδο ως ακολούθως

Ζητείται: Α) Να υπολογιστεί η παροχή που έχει περίοδο επαναφοράς 65 έτη με την χρήση της κατανομής των ακραίων τιμών (Gumbel): 1.Με την μέθοδο των ροπών 2.Με την μέθοδο του παράγοντα συχνότητας Β) Τα όρια εμπιστοσύνης για περίοδο επαναφοράς 50 έτη και επίπεδο εμπιστοσύνης 90% Γ) Η περίοδος επαναφοράς και η πιθανότητα υπέρβασης της παροχής 180m 3 /s (να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του παράγοντα συχνότητας)