Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Καθαρή Παρούσα Αξία (1) Η διαφορά της τρέχουσας αξίας μιας επένδυσης από το τρέχον κόστος της ονομάζεται Καθαρή Παρούσα Αξία (Κ.Π.Α.). Με άλλα λόγια, η Κ.Π.Α. μιας επένδυσης υπολογίζεται με τη διαφορά των παρουσών αξιών, στο χρόνο μηδέν, των εισροών και εκροών της εν λόγου επένδυσης. Οι επενδυτικές προτάσεις που έχουν θετική Κ.Π.Α. γίνονται αποδεκτές. Αντίθετα, εάν Κ.Π.Α. είναι αρνητική η επένδυση πρέπει να απορριφθεί. 2

Καθαρή Παρούσα Αξία (2) Χρηματοοικονομικός στόχος της πλειοψηφίας των μάνατζερ είναι η μεγιστοποίηση της Κ.Π.Α. καθώς αυτή συνδέεται με τη μεγιστοποίηση του οφέλους των μετόχων. Συνεπώς, στην περίπτωση δυο επενδύσεων που αποκλείονται αμοιβαία, Όπου Κ.Π.Α. 1 η Καθαρή Παρούσα Αξία της επένδυσης 1 και Κ.Π.Α. 2 η Καθαρή Παρούσα Αξία της επένδυσης 2, Αν Κ.Π.Α. 1 > Κ.Π.Α. 2 πρέπει να προτιμηθεί η επένδυση 1. 3

Τύπος υπολογισμού Κ.ΠΑ. Ο τύπος υπολογισμού της Κ.Π.Α. είναι: Όπου Κ 1, Κ 2, …Κ t οι εισροές της επένδυσης και C αντίστοιχο κόστος. Να σημειωθεί ότι στην περίπτωση που το κόστος δεν αναφέρεται στο χρόνο μηδέν τότε θα πρέπει να γίνουν οι απαραίτητες προεξοφλήσεις ή ανατοκισμοί για τον προσδιορισμό της αξίας του στο έτος μηδέν. 4

Παράδειγμα 1 Μια επένδυση απαιτεί αρχική δαπάνη ευρώ. Οι εισροές της επένδυσης θα είναι 700 ευρώ το επόμενο έτος και 800 ευρώ το μεθεπόμενο. Να βρεθεί η καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης όταν το επιτόκιο της αγοράς είναι 15 %. Λύση Κ.Π.Α = Κ 1 ∕ (1+i) + Κ 2 ∕ (1+i) 2 –C ↔ Κ.Π.Α = 700 ∕ (1,15 ) ∕ (1,15) 2 –1.000 = 608,7+604, = 213,6 >0 Η καθαρή παρούσα αξία είναι θετική και συνεπώς η επένδυση είναι συμφέρουσα. 5

Παράδειγμα 2 (1) Έστω οι παρακάτω χρηματορροές (εισροές, εκροές) μιας επενδυτικής πρότασης. Να προσδιοριστεί η Κ.Π.Α. To επιτόκιο της αγοράς είναι 10%. 6

Παράδειγμα 2 (2) Λύση Για τον υπολογισμό της Κ.Π.Α. είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η παρούσα αξία σε όλες τις χρηματορροές. Παρατηρούμε ότι οι εκροές αρχίζουν στο έτος -1 γεγονός που ερμηνεύεται από τη φύση της επένδυσης. Κ.Π.Α = Κ 1 ∕ (1+i) + Κ 2 ∕ (1+i) 2 + Κ 3 ∕ (1+i) 3 –C 0 –C 1 *(1+i) = 1.200∕(1,10 ) ∕(1,10) ∕(1,10) 3 –2.000 – 1.000*(1,10) =733,21 7

Παράδειγμα 2 (3) Η επενδυτική πρόταση γίνεται αποδεκτή καθώς η Κ.Π.Α.>0 είναι θετική, η παρούσα αξία των εισροών είναι μεγαλύτερη από την παρούσα αξία των εκροών. 8

Άσκηση επανάληψης Να υπολογιστεί η παρούσα αξία ευρώ που ανατοκίστηκαν με ετήσιο επιτόκιο 8%, επί 4 έτη και 10 μέρες. Λύση Θα πρέπει να εκφράσουμε τις μέρες σε έτη, δηλαδή 10/365=0,0274 έτη συνεπώς το σύνολο των ετών είναι 4,0274. Κ 0 = Κt ∕ (1+i) t = ∕ (1,08) 4,0274 = ∕ 1,3634 =7.334,8 Η παρούσα αξία των ευρώ είναι 7.334,8 ευρώ. 9

Άσκηση επανάληψης Πελάτης ασφαλιστικής εταιρίας θα πρέπει να διαλέξει μεταξύ δυο προϊόντων α) ευρώ αποζημίωση στο τέλος κάθε έτους για 3 έτη β) ευρώ αποζημίωση στο τέλος κάθε έτους για 3 έτη και ευρώ εφάπαξ (σήμερα). Εάν το ετήσιο επιτόκιο της αγοράς είναι 12%. Να βρεθεί η επωφελέστερη πρόταση. Λύση Η σύγκριση των δυο προτάσεων θα γίνει με την προεξόφληση και άθροιση των αντίστοιχων χρηματορροών της κάθε πρότασης. Εάν συμβολίσουμε τις αποζημιώσεις των προτάσεων με Α 1 και Α 2 αντίστοιχα τότε: α) A 1 = Κ 1 ∕(1+i) + Κ 1 ∕(1+i) 2 + Κ 1 ∕(1+i) 3 = ∕ (1,12) ∕ (1,12) ∕ (1,12) 3 =48.036,63 10

Άσκηση επανάληψης Β) A 2 =E+ Κ 2 ∕ (1+i) + Κ 2 ∕ (1+i) 2 + Κ 2 ∕ (1+i) 3 = ∕ (1,12) ∕ (1,12) ∕ (1,12) 3 =48.018,31 Ο επενδυτής θα επιλέξει την πρώτη πρόταση αφού Α 1 >Α 2 11

Άσκηση επανάληψης Το ποσό των ευρώ προσφέρει ιδιώτης επενδυτής, προκειμένου να αγοράσει χώρο για να στεγάσει παράρτημα της επιχείρησής του. Υπολογίζει ότι το παράρτημα θα του αποφέρει ευρώ ετησίως για 4 έτη και στη συνέχεια (στο 4 έτος) θα έχει τη δυνατότητα να το πουλήσει τουλάχιστον ευρώ. Εάν το επιτόκιο της αγοράς είναι 10 %, θα πρέπει να προχωρήσει ο επενδυτής στην αγορά του ακινήτου; Λύση Για να είναι συμφέρουσα η επένδυση θα πρέπει η παρούσα αξία (προεξόφληση) των κερδών και της αξίας του ακινήτου να είναι μεγαλύτερη ή τουλάχιστον ίση με την αξία αγοράς του. 12

Άσκηση επανάληψης Εάν συμβολίσουμε με P τη θεωρητική αξία της επένδυσης σήμερα, τότε: P = ∕ (1,10) ∕ (1,10) ∕ (1,10) ∕ (1,10) ∕ (1,10) 4 = ,1 Επειδή > η επενδυτική πρόταση γίνεται αποδεκτή. 13

Άσκηση επανάληψης Ζητείται η αντικατάσταση τεσσάρων πιστωτικών τίτλων ονομαστικής αξίας 500, 1.000, και ευρώ που λήγουν αντίστοιχα μετά 2, 3, 6, και 7 έτη από σήμερα, από έναν ενιαίο πιστωτικό τίτλο που θα λήξει μετά 4 έτη. Το επιτόκιο της αγοράς είναι 7%. α) Να λυθεί λαμβάνοντας υπόψη ότι η εποχή ισοδυναμίας είναι σήμερα (ημέρα υπολογισμού). β) Να λυθεί λαμβάνοντας υπόψη ότι η εποχή ισοδυναμίας είναι η ημέρα λήξης του ενιαίου πιστωτικού τίτλου. Λύση α) Θα πρέπει η προεξόφληση των κεφαλαίων Κ 1 = 500, Κ 2 = 1.000, Κ 3 = και Κ 4 = να είναι ισοδύναμη με την προεξόφληση του ενιαίου πιστωτικού τίτλου Κ, δηλαδή 14

Άσκηση επανάληψης 15

Άσκηση επανάληψης Κ 4 ∕ (1+i) 4 = Κ 2 ∕(1+i) 2 + Κ 3 ∕(1+i) 3 + Κ 6 ∕(1+i) 6 + Κ 7 ∕(1+i) 7 ↔ Κ 4 ∕ (1,07) 4 = 500 ∕ (1,07) ∕ (1,07) ∕ (1,07) ∕ (1,07) 7 ↔ Κ 4 ∕ 1,3108 = 436, , , ,25 ↔ Κ = Συνεπώς, η ονομαστική αξία του ενιαίου πιστωτικού τίτλου θα είναι ευρώ. 16

Άσκηση επανάληψης β) Θα πρέπει η αξία των κεφαλαίων Κ 1 = 500, Κ 2 = 1.000, Κ 3 = και Κ 4 = να είναι ισοδύναμη με την αξία του ενιαίου πιστωτικού τίτλου Κ κατά τη λήξη του, δηλαδή 4 έτη μετά. Θα πρέπει η τελική αξία των κεφαλαίων Κ 1 = 500, Κ 2 = αθροιστικά με την προεξόφληση των κεφαλαίων Κ 3 = και Κ 4 = να είναι ισοδύναμη με την αξία του ενιαίου πιστωτικού τίτλου Κ, δηλαδή 17

Άσκηση επανάληψης Κ 4 = Κ 1 *(1+i) 2 + Κ 2 * (1+i) 1 + Κ 3 ∕ (1+i) 2 + Κ 4 ∕ (1+i) 3 ↔ Κ 4 =500 * (1,07) * (1,07) ∕ (1,07) ∕ (1,07) 3 ↔ Κ 4 = 572, , ,89 ↔ Κ 4 = Συνεπώς, η ονομαστική αξία του ενιαίου πιστωτικού τίτλου θα είναι, όπως ήταν άλλωστε αναμενόμενο από την περίπτωση α, ευρώ. 18