Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου

Θεωρία – διαλέξεις- Εργαστήρια (3) – υποχρεωτικά Αναφορές 15% Εξετάσεις85%

Τι είναι η φυσικοχημεία; H εφαρμογή της φυσικής σε μακροσκοπικά, μικροσκοπικά, ατομικά και υποατομικά φαινόμενα σε διάφορα χημικά συστήματα Περιλαμβάνει αρχές και νόμους της θερμοδυναμικής, κβαντικής χημείας, χημικής κινητικής και μηχανικής

Με τι θα ασχοληθούμε εμείς; Βασικές μαθηματικές γνώσεις Θερμοδυναμική Χημική κινητική και ταχύτητα αντιδράσεων Μοριακή και κυτταρική βιοφυσική

Μερικά μαθηματικά Επανάληψη στις βασικές έννοιες Πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες εξισώσεις Γραφικές παραστάσεις Ταυτότητες Τριγωνομετρία Λογάριθμοι και ιδιότητες Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Θερμοδυναμική Συστήματα Νόμοι της θερμοδυναμικής και εφαρμογές τους Ελεύθερη ενέργεια, ενθαλπία, εντροπία, έργο Θερμοχημεία Ισόχωρη-ισοβαρής-ισόθερμη-αδιαβατική μεταβολή Θερμοδυναμική και βιολογικά συστήματα

Χημική κινητική Xημική αντίδραση Ταχύτητα αντιδράσεων Τάξη αντιδράσεων Σταθερές αντιδράσεων

Μοριακή και κυτταρική βιοφυσική Στερεοχημεία Μοριακές αλληλεπιδράσεις Βιολογικά μακρομόρια και πρόβλεψη δομών Υγροί κρύσταλλοι Μεθοδολογίες (χρωματογραφία, υπερφυγοκέντρηση, CD, NMR…)

Μερικά βασικά μαθηματικά

Τα φυσικά μεγέθη και πώς τα εκφράζουμε Χρόνος: Σε ώρες; Σε λεπτά; Σε δευτερόλεπτα; Σε χρόνια; Απόσταση: Σε μέτρα; Σε πόδια; Σε έτη φωτός; Πίεση: σε ατμόσφαιρες; Σε N/m 2 ; Σε mm Hg; Ενέργεια: σε Joule; Σε cal; Σε kWh; P = 12 kN/m 2 Μεταβλητή Φυσικό μέγεθος Αριθμός Πρόθεμα Μονάδες P = 12 kN/m 2 Όχι 12 σκέτο!

Μερικά βασικά μαθηματικά – μετρικά προθέματα μονάδων 10 0 =11m 10 3 k kilo1kcal 10 6 M mega1Ms 10 9 G giga GHz T teraTbyte P peta1Pm Eexa1Es a atto1as f femto1fm p pico1pmol n nano1nl μ micro1μg m milli1ms c centi1cm d deci1dl Υποδιαιρέσεις Πολλαπλάσια

Διεθνές σύστημα μονάδων SI Βασικά μεγέθησύμβολομονάδα SI μήκοςlμέτρο (m) μάζαmκιλό (kg) χρόνοςtδευτερόλεπτο (sec s) ένταση ρεύματοςIΑμπέρ (Amp A) θερμοκρασίαT o βαθμοί Κέλβιν (K) ποσότητα χημικής ουσίαςnμολ (mol) ένταση φωτόςI v καντέλα (cd)

Διεθνές σύστημα μονάδων SI Σύνθετα μεγέθησύμβολομονάδα SI ΕπιφάνειαΑ=S x *S y m 2 ΌγκοςV=S x *S y *S z m 3 Ταχύτηταυ=S/tm/sec Επιτάχυνση γ=υ/tm/sec 2 Πυκνότητα d ή ρ = m/Vkg/m 3 ΔύναμηF=mγkg*m/sec 2 ΠίεσηP=F/Akg/m/sec 2

Άλλες μονάδες Μέγεθοςμονάδα SI μονάδα μη-SI Ενέργεια ΕJoule Jcal = 4,184 J Μήκος Smetre mÅ angstrom = m Όγκος Vm 3 litre = (dm) 3 = m 3 Πίεση PN/m 2 (Pa)atm = Pa

Φυσικοί – οι θετικοί ακέραιοι Ν={0,1,2,3...} Ακέραιοι – οι ακέραιοι Ζ={...-3,-2,-1,0,1,2,3...} Ρητοί – οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσμα Q={κ/λ, κ  Ζ, λ  Ζ} Άρρητοι – οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα ακεραίων (π, e,  5) Πραγματικοί R – το σύνολο των ρητών και των άρρητων Φανταστικοί I – πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας ί =  -1 Μιγαδικοί – Αριθμοί με πραγματικό και φανταστικό σκέλος (a+ib)(a,b   ) Βασικά σύνολα αριθμών

Πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες εξισώσεις Πρωτοβάθμιες εξισώσεις (x + k = n) x+3=5  x = 5 – 3  x = 2 5x = 30  x = 30/5  x = 6 5x – 12 = 23  5x =  5x = 35  x = 35/5  x = 7 Δευτεροβάθμιες εξισώσεις (αx 2 + βx =  γ  αx 2 + βx  γ = 0) Το x βρίσκεται από την εξίσωση x = (-β   Δ)/2α Δ = β 2 – 4αγ 3x 2 + 2x = 1  3x 2 + 2x – 1 = 0 Δ = 2 2 – 4*3*(-1) = 4 – (-12) = = 16  16 =  4 x α,β = (-2   16)/2*3 = (-2  4)/6 x α = (-2 – 4)/6 = -6/6  x = -1 x β = (-2 + 4)/6 = 2/6  x = 1/3

Ταυτότητες ( α + β ) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 ( α − β ) 2 = α 2 − 2αβ + β 2 ( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2βγ + 2γα ( α + β ) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 ( α − β ) 3 = α 3 − 3α 2 β + 3αβ 2 − β 3 α 2 − β 2 = ( α − β )( α + β ) α 3 − β 3 = (α − β)(α 2 + αβ + β 2 ) α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 − αβ + β 2 ) ( x + α )(x + β) = x 2 + (α + β)x + αβ ( x − α )(x − β) = x 2 − (α + β)x + αβ

Ιδιότητες δυνάμεων α x α y = α x+y (αβ) x = α x.β x α x :α y = α x–y (α x ) y = α xy α -x = 1/α x α¹ = α αν α x = 1  x = 0 αν α x = α y  x = y

Λογάριθμοι και ιδιότητες Ο λογάριθμος με βάση α του x είναι log α (x) = y όπου α y = x Αν α= 10, log x Αν α= e, ln x Ιδιότητες log x x α = α log α x c = c log x log α xy = log α x + log α y log α x/y = log α x - log α y log α α = 1, log α 1 = 0 log b x = (log a x)/(log a b)

Τριγωνομετρία Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ημ θ = y/r, συν θ = x/r εφ θ = y/x, σφ θ = x/y ημ 2 θ + συν 2 θ = 1 Νόμος ημιτόνων α/ημΑ = b/ημΒ = c/ημC Νόμος συνημιτόνων a2 = b2 + c2. 2bc cos A b2 = a2 + c2. 2ac cos B c2 = a2 + b2. 2ab cos C

Γραφικές παραστάσεις και διαγράμματα Ένας εύκολος τρόπος για να απεικονιστεί η σχέση μεταξύ των διαφόρων μεγεθών είναι η γραφική παράσταση. άξονας xx’  ελεγχόμενη μεταβλητή άξονας yy’  εξαρτημένη μεταβλητή Οι άξονες αναπαριστούν μεγέθη ΑΡΑ έχουν τίτλο και μονάδες Τύπος εξάρτησης (γραμμική, εκθετική, πολυωνυμική κλπ) Γραφική παράσταση – πως κατασκευάζεται Πίνακας τιμών

Γραφικές παραστάσεις και διαγράμματα Απορρόφηση στα 280nm Συγκέντρωση πρωτεΐνης (mg/ml)

Διαγράμματα Γραμμική εξάρτηση y από χ y=αx+β Μη γραμμική εξάρτηση y από χ y=αx 2 y ανεξάρτητο από χ y=5 (σταθερό) y ανεξάρτητο από χ αλλά μεταβαλλόμενο y=5κ

Παράγωγοι Η εξάρτηση του y από το x σημαίνει ότι το y είναι συνάρτηση του x y=f(x) Παράγωγος μέτρο για το πώς αλλάζει μια συνάρτηση όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της μέθοδος για τον υπολογισμό του βαθμού με τον οποίο αλλάζει μια ποσότητα y όταν αλλάζει μια άλλη ποσότητα, x, από την οποία εξαρτάται Αυτός ο βαθμός αλλαγής ονομάζεται παράγωγος Αν x και y είναι πραγματικοί αριθμοί και αν σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του y συναρτήσει του x, τότε η παράγωγος δίνει την κλίση αυτής της γραφικής παράστασης σε κάθε σημείο.

Παράγωγοι

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση t = 0 s x = 0 m,t = 1 s x = 2 m,t = 2 s x = 4 m κ.ο.κ. ίσα χρονικά διαστήματα = ίσες αποστάσεις u = 2 m/s Το διάγραμμα x-t είναι μια ευθεία γραμμή Ποια είναι η ταχύτητα όταν t = 4 s; x/t (εφόσον έχουμε ξεκινήσει από x, t = 0, 0) x/t = 8m / 4s = 2 m/s Κλίση ευθείας διαγράμματος Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 2 Τι γίνεται στην περίπτωση ενός οδηγού που αυξομειώνει την ταχύτητά του; Μη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Πώς μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα σε διαφορετικά σημεία της καμπύλης; Ο τύπος x/t θα μας δώσει λάθος αποτελέσματα στο σημείο Β δίνει x/t = 80m / 4s = 20m/s Κλίση της ευθείας ΟΒ αλλά δεν έχει σχέση με την ταχύτητα Μεγάλη κλίση  μεγάλη ταχύτητα

Η κλίση ευθείας μεταξύ δύο σημείων Α(tA, xA) και Β(tΒ, xΒ) ορίζεται ως λ = (xΒ - xA) / (tΒ - tA) Ας κοιτάξουμε μια καμπύλη “σε μικροσκόπιο” Για μικρά διαστήματα η καμπύλη δεν αλλάζει απότομα και μπορούμε να την θεωρήσουμε ως σύνολο πολύ μικρών ευθύγραμμων τμημάτων. Παράδειγμα 2 Η κλίση της καμπύλης σε ένα σημείο είναι κατά προσέγγιση ίση με την κλίση του αντίστοιχου ευθύγραμμου τμήματος Π.χ. στο τμήμα Α-Β η κλίση είναι λ = (49-36 μm)/(7-6 μs)=13 m/s

Όσο μικρότερο το ευθύγραμμο τμήμα τόσο το καλύτερο Μαθηματικώς όταν κάτι γίνεται μικρότερο και μικρότερο λέμε ότι παίρνουμε το όριο του στο μηδέν. Έτσι η πιο ακριβής γραφή της εξίσωσης λ = (xΒ - xA) / (tΒ - tA) θα ήταν Αν tA μια τυχαία χρονική στιγμή t τότε tΒ = tA + Δt. Εάν το x είναι μια συνεχής συνάρτηση του t, δηλαδή x(t), τότε η κλίση την χρονική στιγμή t δίνεται από την Παράδειγμα 2

Παράγωγοι Ο γενικός κανόνας είναι f’(ax n ) = anx n-1 f’(3) = 0 f’(x 3 ) = 3x 2 f’(4x 5 ) = 20x 4 f’(4x 5 + 9) = 20x 4

Παράγωγοι

Μερικές παράγωγοι Έστω f μια συνάρτηση που εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Πχ Η f μπορεί να θεωρηθεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής με δείκτες τις άλλες μεταβλητές Θέτουμε δηλαδή μια σταθερή τιμή στη μια μεταβλητή – για κάθε τιμή του x υπάρχει μια f x (y) Aν x=α, τότε η f x (y) = f α (y) = α 2 +αy+y 2 Συνάρτηση μιας μεταβλητής ∂ είναι το σύμβολο της μερικής παραγώγου

Aόριστα ολοκληρώματα Tο αόριστο ολοκλήρωμα είναι απλά το αντίθετο της παραγώγου. Έτσι εάν π.χ. η f(x) είναι η παράγωγος της F(x) (δηλαδή F = df / dt) τότε η f(t) είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της F(t). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(x)= ∫ f (x)dx = ∫ df (x) Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της αντιπαραγώγου ή παράγουσας συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση F της οποίας η παράγωγος είναι η αρχική f. Αθροίσματα απειροελάχιστων μεταβολών Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια οικογένεια συναρτήσεων, οι οποίες για κάθε x έχουν ίσες παραγώγους, άρα ίσες κλίσεις.

Η εύρεση της θέσης S(t) ενός σώματος τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η ταχύτητά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) ή Η εύρεση του πληθυσμού N(t) μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης N′(t) του πληθυσμού. Εφαρμογές ολοκληρωμάτων

Aόριστα ολοκληρώματα Γενικά ισχύει f(x)=ax n ⇔ F(x)= a[x n+1 /(n+1)]+c, n≠-1 Δηλαδή F 3dx = 3x + c F x 3 dx = x 4 /4 + c F 4x 5 dx = 4x 6 /6 + c

Oρισμένα ολοκληρώματα Δεδομένης μιας συνάρτησης f(x), μιας πραγματικής μεταβλητής x και ένα διάστημα [a,b] της γραμμής των πραγματικών αριθμών, το ολοκλήρωμα αντιστοιχεί στο εμβαδό της περιοχής του επιπέδου xy που περικλείεται από το γράφημα της f, τον άξονα x και τις κάθετες γραμμές x=a και x=b, μείον την επιφάνεια που βρίσκεται κάτω από τον άξονα x.

Oρισμένα ολοκληρώματα Έστω η συνάρτηση f(x) = 5x 2 Nα βρεθεί το ολοκλήρωμα στο διάστημα [3,8] 3  8 5x 2 dx = 5 3  8 x 2 dx !x 2 dx = x 3 /3 5 3  8 x 2 dx = 5(8 3 /3-3 3 /3) = 808