Διαχρονική Αξία του χρήματος Προτιμάτε ένα ευρώ σήμερα ή ένα ευρώ μετά από ένα έτος; (υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει πληθωρισμός...) Έννοια του τόκου (κόστος ευκαιρίας του χρήματος) Δύο κύριες έννοιες: Τελική αξία Παρούσα αξία Για να τα υπολογίσουμε χρειαζόμαστε: Ένα ποσό Ένα επιτόκιο Μια χρονική περίοδο

Απλός τόκος και ανατοκισμός Ας πάρουμε την περίπτωση μιας κατάθεσης Αρχικό κεφάλαιο: το ποσό των χρημάτων που καταθέτουμε στην τράπεζα. Αυτό το ποσό είναι και η παρούσα αξία της κατάθεσης. Χρονική περίοδος (ή χρόνος): η περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ο δανειζόμενος (η τράπεζα) έχει τη χρήση όλου ή μέρους του δανειζομένου ποσού Τόκος: υπολογίζεται με βάση το επιτόκιο. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Ο τόκος υπολογίζεται επί του κεφαλαίου και δεν ενσωματώνεται στο κεφάλαιο (απλός τόκος) Ο τόκος παράγεται και ενσωματώνεται στο κεφάλαιο. Ο τόκος παράγει τόκο (ανατοκισμός)

Παράδειγμα απλού τόκου και ανατοκισμού Καταθέτουμε €100 για δύο χρόνια, με ετήσιο επιτόκιο 10%, όπου ο τόκος υπολογίζεται επί του κεφαλαίου στο τέλος του έτους και δεν ανατοκίζεται (ενσωματώνεται) στο αρχικό κεφάλαιο. Ποιο θα είναι το συνολικό ποσό μας στο τέλος του δεύτερου έτους; Καταθέτουμε €100 για δύο χρόνια, με ετήσιο επιτόκιο 10%, όπου ο τόκος υπολογίζεται επί του κεφαλαίου στο τέλος του έτους και ενσωματώνεται στο ποσό του δανείου. Ποιο θα είναι το συνολικό ποσό μας στο τέλος του δεύτερου έτους; t0t0 t2t2 €100€121 t1t1 €110 Ο (ήδη κερδισμένος) τόκος παράγει (νέο) τόκο t0t0 t2t2 €100€120 t1t1 €110

Υπολογισμός απλού τόκου και διάφορες περιπτώσεις Τύπος υπολογισμού απλού τόκου Όταν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες: Όταν ο χρόνος εκφράζεται σε μέρες: όπου I = απλός τόκος, P = αρχικό κεφάλαιο, r = επιτόκιο, t = χρόνος. όπου m: ο αριθμός των μηνών όπου d: ο αριθμός των ημερών. ή 1 2

360 ή 365; Όταν ο τόκος έχει υπολογισθεί χρησιμοποιώντας ως διαιρέτη το 360, τότε λέγεται συνηθισμένος τόκος. Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι χρησιμοποιούμε το Εμπορικό Έτος Όταν ο τόκος έχει υπολογισθεί χρησιμοποιώντας ως διαιρέτη το 365 (ή το 366 για δίσεκτο χρόνο), τότε λέγεται ακριβής τόκος. Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι χρησιμοποιούμε το Πολιτικό Έτος Η χρησιμοποίηση του 360 ως διαιρέτη οδηγεί στον υπολογισμό μεγαλύτερου τόκου και γι’ αυτό το εμπορικό έτος είναι ιδιαίτερα δημοφιλές μεταξύ των δανειστών. 3

Υπολογισμός τοκοφόρων ημερών...ο αριθμός των ημερών για τις οποίες υπολογίζεται τόκος Δύο τρόποι υπολογισμού Ακριβής μέθοδος: περιλαμβάνει όλες τις ημέρες εκτός από την πρώτη Προσεγγιστική μέθοδος: βασίζεται στην υπόθεση ότι όλοι οι μήνες περιλαμβάνουν 30 ημέρες. Στον αριθμό αυτό προστίθεται ο ακριβής αριθμός των ημερών που εναπομένουν μέσα στο μήνα 4

Κανόνας των τραπεζιτών (bankers’ rule) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Συνηθισμένος τόκος και ακριβής τόκος Ακριβής χρόνος και κατά προσέγγιση χρόνος...οι οποίες μας οδηγούν σε τέσσερις πιθανούς συνδυασμούς Ο πιο συνηθισμένος τρόπος είναι η χρησιμοποίηση συνηθισμένου τόκου και ακριβούς χρόνου - κανόνας των τραπεζιτών

Τοκάριθμος...είναι το γινόμενο του αρχικού κεφαλαίου (P) επί του αριθμού των ημερών (d) που διαρκεί το δάνειο Χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των τόκων βραχυχρόνιων οικονομικών πράξεων τοκάριθμος σταθερός διαιρέτης 5

Τελική και Παρούσα αξία (απλός τόκος) Τελική αξία: το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου Παρούσα αξία: λύνουμε ως προς Ρ 7 6

Ανατοκισμός (compounding)... η διαδικασία κατά την οποία ο τόκος ο οποίος παράγεται κάθε περίοδο (δηλαδή ο δεδουλευμένος τόκος) προστίθεται στο κεφάλαιο (κεφαλαιοποιείται) και το άθροισμα τους αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για όλες τις επόμενες περιόδους. Άρα ο (ήδη δεδουλευμένος) τόκος δημιουργεί (νέο) τόκο Ο ανατοκισμός μπορεί να είναι ετήσιος, εξαμηνιαίος, τριμηνιαίος, μηνιαίος κτλ.

Τελική αξία (terminal value)...η αξία που θα έχει στο μέλλον ένα χρηματικό ποσό το οποίο επενδύεται σήμερα, με ένα δεδομένο επιτόκιο (ανατοκισμού), για μια δεδομένη χρονική περίοδο Ανάλογα με το πόσες φορές ανατοκίζεται το κεφάλαιο μέσα σε ένα χρόνο, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Ετήσιος ανατοκισμός Ανατοκισμός με περισσότερες από μία φορά το χρόνο περιόδους Συνεχής ανατοκισμός

Ετήσιος ανατοκισμός Στο τέλος n ετών η τελική αξία (TV) μιας αρχικής κατάθεσης (X 0 ), η οποία ανατοκίζεται μία φορά το χρόνο με επιτόκιο r ισούται με: TV n = η τελική αξία που θα έχει η επένδυση στο τέλος του n έτους X 0 = το αρχικό κεφάλαιο το οποίο επενδύθηκε στην αρχή του πρώτου έτους n = ο αριθμός των ετών κατά την διάρκεια των οποίων γίνεται ο ανατοκισμός r = το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού (compound interest rate) Συντελεστής ανατοκισμού 8

Ανατοκισμός με περισσότερες από μία φορά το χρόνο περιόδους Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m φορές το χρόνο, τότε η τελική αξία μιας αρχικής κατάθεσης βρίσκεται από το τύπο: m = οι φορές που το κεφάλαιο ανατοκίζεται κατά την διάρκεια ενός έτους. 9

Συνεχής ανατοκισμός (continuous compounding) Η αξία του m προσεγγίζει το άπειρο όπου e  2,

Παρούσα αξία (present value)...είναι η αξία που έχει σήμερα ένα συγκεκριμένο ποσό που θα δοθεί σε μια ορισμένη ημερομηνία στο μέλλον, υποθέτοντας ένα ορισμένο (προεξοφλητικό) επιτόκιο Το “αντίστροφο” του ανατοκισμού (προεξόφληση) Ανάλογα με το πόσες φορές προεξοφλείται το κεφάλαιο μέσα σε ένα χρόνο, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Ετήσια προεξόφληση Προεξόφληση με περισσότερες από μία φορά το χρόνο περιόδους Συνεχής προεξόφληση

Ετήσια προεξόφληση Η παρούσα αξία (PV) κεφαλαίου X n το οποίο θα πάρουμε μετά από n χρόνια προεξοφλούμενο με επιτόκιο k ισούται με: PV = η παρούσα αξία που θα έχει μία μελλοντική πληρωμή X n = η αξία που θα έχει μία πληρωμή μετά από n χρόνια n = ο αριθμός των ετών που θα μεσολαβήσουν μέχρι να γίνει η πληρωμή k = το ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης ή αναγωγής ή κεφαλαιοποίησης Συντελεστής προεξόφληση ς 11

Προεξόφληση με περισσότερες από μία φορά το χρόνο περιόδους Εάν ο τόκος υπολογίζεται και κεφαλαιοποιείται m φορές το χρόνο, τότε η παρούσα αξία κεφαλαίου X n το οποίο θα πάρουμε μετά από n χρόνια προεξοφλούμενο με επιτόκιο k ισούται με: m = οι φορές που το κεφάλαιο προεξοφλείται κατά την διάρκεια ενός έτους. 12

Συνεχής προεξόφληση (continuous discounting) Η αξία του m προσεγγίζει το άπειρο όπου e  2,

Υπολογισμός ΤV and PV με τη χρήση πινάκων Η Τελική Αξία μιας Νομισματικής ΜονάδαςΗ Παρούσα Αξία μιας Νομισματικής Μονάδας 1%2%3%4%1%2%3%4%

Εύρεση του επιτοκίου Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε: Τους αντίστοιχους τύπους, όπου καταλήγουμε: Τους αντίστοιχους πίνακες 14

Σειρές πληρωμών (ράντες)... είναι μία σειρά πληρωμών (ή εισπράξεων) που καταβάλλονται για μία συγκεκριμένη χρονική περίοδο Χαρακτηριστικά Όρος: το ποσό που καταβάλλεται ή εισπράττεται Περίοδος: ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών πληρωμών t0t0 t4t4 €100 περίοδο ς όρος

Είδη σειρών πληρωμών Αν όλοι οι όροι μιας ράντας είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η ράντα λέγεται σταθερή ή ομοιόμορφη Αν όλοι οι όροι μιας ράντας δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η ράντα λέγεται μεταβλητή Αν όλοι οι όροι της ράντας είναι ίσοι με την μονάδα, τότε η ράντα λέγεται μοναδιαία. Η ράντα της οποίας ο όρος καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου λέγεται ληξιπρόθεσμη ράντα Η ράντα της οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου λέγεται προκαταβλητέα ράντα...οι περισσότερες είναι σταθερές και ληξιπρόθεσμες

Τελική αξία σειράς πληρωμών... είναι το άθροισμα όλων των περιοδικών πληρωμών και ο ανατοκιζόμενος τόκος των πληρωμών αυτών που έχει συσσωρευθεί στο τέλος της ράντας Τύπος υπολογισμού TV n = η τελική ή μελλοντική αξία της σταθερής ληξιπρόθεσμης ράντας στο τέλος του n χρόνου, A = η περιοδική πληρωμή (δηλαδή ο σταθερός όρος) της ράντας, r = το επιτόκιο ανατοκισμού περιόδου, και n = ο αριθμός των περιόδων που διαρκεί η ράντα. Συντελεστής ανατοκισμού τελικής αξίας ράντας 15,16

Παρούσα αξία σειράς πληρωμών... είναι το άθροισμα των παρουσών αξιών όλων των πληρωμών της ράντας Τύπος υπολογισμού PV = η παρούσα αξία της σταθερής ληξιπρόθεσμης ράντας, A = η περιοδική πληρωμή (δηλαδή ο σταθερός όρος) της ράντας, k = το επιτόκιο προεξόφλησης περιόδου, και n = ο αριθμός των περιόδων που διαρκεί η ράντα. Συντελεστής προεξόφλησης παρούσας αξίας ράντας 17

Υπολογισμός ΤV and PV με τη χρήση πινάκων Η Τελική Αξία (ληξιπρόθεσμης) Σειράς Πληρωμών μιας Νομισματικής Μονάδας Η Παρούσα Αξία (ληξιπρόθεσμης) Σειράς Πληρωμών μιας Νομισματικής Μονάδας 1%2%3%4%1%2%3%4%

Διηνεκής σειρά πληρωμών...είναι μία ράντα της οποίας οι πληρωμές θα καταβάλλονται επ’ άπειρον Τύπος υπολογισμού PV = η παρούσα αξία της διηνεκούς ράντας, A = η περιοδική πληρωμή της διηνεκούς ράντας, και k = το ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο. 18

Εύρεση του όρου και του επιτοκίου μιας σειράς πληρωμών Υπάρχει περίπτωση να γνωρίζουμε την τελική ή την παρούσα αξία και να θέλουμε να υπολογίσουμε τον σταθερό όρο ή το επιτόκιο: Για τον υπολογισμό του σταθερού όρου λύνουμε ως προς Α τους αντίστοιχους τύπους Για τον υπολογισμό του επιτοκίου χρησιμοποιούμε τους πίνακες 19,20 21

Προκαταβλητέα σειρά πληρωμών...η ράντα της οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου Άρα η μόνη διαφορά μεταξύ μιας προκαταβλητέας και μιας ληξιπρόθεσμης S ράντας είναι ο αριθμός των τοκοφόρων περιόδων Άρα αρκεί να υπολογίσουμε την τελική αξία της αντίστοιχης ληξιπρόθεσμης ράντας και να ανατοκίσουμε την τελική αυτή αξία για μία ακόμη χρονική περίοδο Άρα η σχέση είναι: Το αντίστοιχο ισχύει και για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας:

Τύποι Τελική αξία προκαταβλητέας σειράς πληρωμών: Παρούσα αξία προκαταβλητέας σειράς πληρωμών: 22,23