Μηχανική Ρευστών Ι Ενότητα 6: Στατική Νίκος Πελεκάσης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Κατανόηση της διαμόρφωσης της στατικής ισορροπίας των ρευστών και των υδροστατικών δυνάμεων που ασκούνται σε επίπεδες και καμπύλες επιφάνειες μέσα από παραδείγματα. Επίσης, η μελέτη της ευστάθειας πλωτών σωμάτων καθώς και της κ ατανομή πίεσης σε δοχείο που επιταχύνεται γραμμικά και σε περιστρεφόμενο κυλινδρικό δοχείο Σκοποί ενότητας 2 Στατική

Περιεχόμενα ενότητας Αντικείμενο μελέτης στατικής των ρευστών Διαμόρφωση στατικής ισορροπίας Μονάδες μέτρησης πίεσης σε διάφορα συστήματα μονάδων Κατανομή πίεσης στην θάλασσα και ατμόσφαιρα Μετρητικά συστήματα της πίεσης Άνωση και ευστάθεια βυθισμένων σωμάτων - Παραδείγματα Υδροστατικές δυνάμεις σε επίπεδες και καμπύλες επιφάνειες Γραμμική επιτάχυνση και περιστροφή μάζας υγρού 3 Στατική

Στατική των Ρευστών Η στατική των ρευστών πραγματεύεται προβλήματα που αφορούν ρευστά σε ηρεμία Στην στατική δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ διαδοχικών στρωμάτων του ρευστού Συνεπώς δεν υφίστανται διατμητικές τάσεις που παραμορφώνουν το ρευστό. Οι μόνες τάσεις που επιπλέουν σε ρευστά που ηρεμούν είναι οι κάθετες τάσεις –Οι μόνες κάθετες τάσεις που επιβιώνουν οφείλονται στην πίεση –Οι μεταβολές της πίεσης οφείλονται στο βάρος του υπερκείμενου ρευστού → η στατική των ρευστών έχει νόημα μόνο όταν είναι ενεργό το πεδίο βαρύτητας Εφαρμογές: Δυνάμεις σε επιπλέοντα ή βυθισμένα σώματα, φράγματα, δεξαμενές αποθήκευσης ρευστών κ.τ.λ. 4 Στατική

Διαμόρφωση στατικής ισορροπίας Στα στερεά χρειάζονται και οι διατμητικές τάσεις για την διαμόρφωση στατικής ισορροπίας Στα υγρά η στατική ισορροπία προκύπτει μόνο μέσω κάθετων τάσεων Η κάθετη τάση στην πλάγια επιφάνεια είναι θλιπτική και ίση με αυτήν που ασκείται στις άλλες δύο άξονας x: p n sinθLΔz + p xx LsinθΔz=0 άξονας y: p n cosθLΔz + p yy LcosθΔz=0 → p n = -p xx = - p yy Ελλείψει τοιχώματος δεν ασκούνται τάσεις στην εξωτερική επιφάνεια Το ισοζύγιο δυνάμεων στο τρίγωνο δεν κλείνει χωρίς διατμητικές τάσεις Ισοζύγιο δυνάμεων στο τρίγωνο Α για διδιάστατο πεδίο τάσεων Το τοίχωμα ασκεί στο ρευστό δύναμη ίση και αντίθετη με την πίεση που υφίσταται από το ρευστό 55 Στερεά Υγρά

Δυνάμεις σε Ρευστά σε Καθεστώς Στατικής Ισορροπίας Ισοζύγιο δυνάμεων στο τετράεδρο ΟΑΒΓ για Στατική Ισορροπία σε 3 διαστάσεις Για στατική ισορροπία δεν υπάρχουν αδρανειακοί όροι, δηλαδή όροι που σχετίζονται με την επιτάχυνση των σωματιδίων ρευστού, και συνεπώς στο ισοζύγιο δυνάμεων συμμετέχουν μόνο η βαρύτητα και οι επιφανειακές δυνάμεις στις 4 έδρες του τετραέδρου όπου επιβιώνουν μόνο κάθετες θλιπτικές τάσεις, δηλαδή η πίεση 6 Σχήμα 1: Τετράεδρο ΟΑΒΓ για χρησιμοποιούμενο για στατική ισορροπία σε 3 διαστάσεις

Η πίεση είναι ισοτροπική Η δύναμη λόγω πίεσης σε επιφάνεια ρευστού που ηρεμεί είναι ανεξάρτητη του προσανατολισμού της επιφάνειας Συμβάσεις για τις τάσεις: 7 Στατική

x y z Θετική y επιφάνεια αρνητική y επιφάνεια dy dz dx Σχήμα 2: Ισοζύγιο δυνάμεων σε στοιχειώδη κύβο ρευστού σε ηρεμία Ισοζύγιο δυνάμεων 8 Στατική

Σχήμα 3: (α) Αύξηση της στατικής πίεσης με το βάθος, (β) Γραμμική μεταβολή στατικής πίεσης για ασυμπίεστα ρευστά 9 Στατική

Αρχή του Pascal - Η πίεση σε συνεχώς κατανεμημένο ρευστό που ηρεμεί μεταβάλλεται μόνο με το βάθος του ρευστού και είναι ανεξάρτητη από το σχήμα - Είναι ίδια σε ένα σημείο ανεξαρτήτως διεύθυνσης (ισοτροπία) – Είναι ίδια σε ένα οριζόντιο επίπεδο Η ελεύθερη επιφάνεια υγρού σε στατική ισορροπία είναι οριζόντια διαφορετικά η βαρύτητα θα είχε εφαπτομενική συνιστώσα η οποία θα μετακινούσε το ρευστό Σχήμα 4: Στατική κατανομή πίεσης ανεξαρτήτως σχήματος 10 Στατική

Η αύξηση της πίεσης με το βάθος ισοδυναμεί με την gage πίεση Η αύξηση της πίεσης με το βάθος οφείλεται στην προσθήκη επί πλέον στρωμάτων ρευστού Σχήμα 5: Γραφική απεικόνιση της gage πίεσης Η αύξηση της πίεσης στα δοχεία που περιέχουν υγρά μεταφέρεται αυτούσια σε όλη την μάζα του υγρού Ο λόγος Α 2 /Α 1 ονομάζεται ιδανικό μηχανικό πλεονέκτημα Σχήμα 6: Κατανομή πίεσης σε συγκοινωνούντα δοχεία που περιέχουν υγρό 11

Μονάδες μέτρησης πίεσης σε διάφορα συστήματα μονάδων Στο SI η μονάδα πίεσης είναι το 1 N/m 2 =1 Pa - Είναι πολύ μικρή αφού η μία ατμόσφαιρα ισούται με 1atm=1.01x10 5 Pa - Για αυτό χρησιμοποιούνται τα πολλαπλάσιά της όπως το kPa=10 3 Pa και το MPa=10 6 Pa Στο BG η μονάδα πίεσης είναι το 1 lbf/ft 2 = (1slg · 1 ft/s 2 )/ft 2 =14.6 kg / m/s 2 =47.87 kg/m/s 2 =47.87 Pa ή αλλιώς 1 lbf/ft 2 =(Βάρος μάζας ενός pound)/ft 2 =(1 lb · 9.8 m/s 2 )/ft 2 =(0.45 kg · 9.8 m/s 2 )/ft 2  1 lbf/ft 2 =(0.454 kg · 9.8 m/s 2 )/ m 2 =47.8 Pa 1psi= 1 lbf/in 2 = (0.45 kg · 9.8 m/s 2 )/(ft 2 /12 2 )= (0.45 kg · 9.8 m/s 2 )/( m 2 /12 2 )= Pa 1atm=1.01x10 5 Pa= 1.01x10 5 psi/ → 1atm=14.8 psi (ευρέως χρησιμοποιούμενη μονάδα στην βιομηχανία και καθημερινές εφαρμογές π.χ. πίεση ελαστικών αυτοκινήτων) 12 Στατική

Η πίεση σε ένα σημείο μετράται ως απόλυτη πίεση, P abs Τα πιο πολλά μηχανήματα είναι ρυθμισμένα να δείχνουν μηδέν στην ατμοσφαιρική πίεση Η διαφορά της απόλυτης από την ατμοσφαιρική λέγεται μανομετρική πίεση Όταν P abs >P a δείχνουν την λεγόμενη gage ή υπερπίεση, P gage =P abs -P a Για πιέσεις κάτω από την ατμοσφαιρική δείχνουν την πίεση κενού (vacuum), P vac =P a -P abs Σχήμα 7: Γραφική απεικόνιση της ατμοσφαιρικής πίεσης (P atm ), της απόλυτης πίεσης (P abs ), της υπερπίεσης (P gage ) και της πίεσης κενού (P vac ) 13 Στατική

Πόση πίεση αισθάνεται ο δύτης στα 100 πόδια βάθος; Υπάρχει κίνδυνος κατά την απότομη επαναφορά στην επιφάνεια? Κατανομή Πίεσης στην Θάλασσα Νόμος του Boyle για ισοθερμοκρασιακές μεταβολές της πίεσης Εάν κανείς κρατήσει την αναπνοή του κατά την επάνοδο ο όγκος των πνευμόνων θα τετραπλασιασθεί με αποτέλεσμα την εμβολή και, ενδεχομένως, πνιγμό Σχήμα 8: Γραφική απεικόνιση της πίεσης που αισθάνεται ο δύτης 14

Κατανομή Πίεσης στην Ατμόσφαιρα Με σταθερή θερμοκρασία έχουμε Θεωρώντας τον αέρα ως ιδανικό αέριο Σχήμα 9: Διαγράμματα: (α) θερμοκρασίας και (β) πίεσης συναρτήσει του ύψους στα στρώματα της ατμόσφαιρας (α)(β) 15

Ήδη από υψόμετρο περίπου 5000 m η υπόθεση της ισοθερμοκρασιακής ατμόσφαιρας έχει λάθος κατά περίπου 4% Η σχέση γραμμικής εξάρτησης της πίεσης με το ύψος που ισχύει για τα υγρά, ισχύει για σχετικά μικρό υψομετρικό εύρος στην ατμόσφαιρα (στα 200 μέτρα το λάθος είναι κάτω του 1 %) Εναλλακτικά και για γραμμική μεταβολή της θερμοκρασίας στην τροπόσφαιρα: Αντικαθιστώντας και ολοκληρώνοντας παίρνουμε: 16 Στατική

Μετρητικά Συστήματα της Πίεσης Υψομετρική διαφορά Δz σε ρευστό που ηρεμεί αντιστοιχεί σε Δp/ρg=Δp/γ Το όργανο που λειτουργεί με βάση αυτήν την αρχή λέγεται μανόμετρο Το μανόμετρο αποτελείται από ένα σωλήνα σχήματος U που περιέχει ένα η και παραπάνω ρευστά όπως, αλκοόλη, υδράργυρο, νερό ή λάδι Τα βαριά υγρά, μεγάλο ρ όπως π.χ. ο υδράργυρος, χρησιμοποιούνται όταν πρόκειται να μετρηθούν μεγάλες διαφορές πίεσης Για πολυσυστατικά συστήματα ρευστών –Η διαφορά πίεσης μέσα σε μία στήλη υγρού πάχους h είναι Δp = ρgh –Η πίεση μεγαλώνει προς τα κάτω και μικραίνει προς τα πάνω –Δύο σημεία μέσα σε συνεχές ρευστό με το ίδιο ύψος έχουν την ίδια πίεση –Η πίεση μπορεί να υπολογισθεί προσθαφαιρώντας ρgh για κάθε στήλη (α) (β) Σχήμα 10: Μέτρηση πίεσης: (α) με μανόμετρο και (β) Για πολυσυστατικά συστήματα ρευστών 17 Στατική

Για τον υπολογισμό της πίεσης σε δοχεία που περιέχουν διάφορα υγρά ακολουθούμε δύο προσεγγίσεις (α) Πηγαίνουμε από το (α) προς το (β) προσθαφαιρώντας την απόλυτη τιμή Δp=ρgh αναλόγως της διαφοράς υψομέτρου (β) Πηγαίνουμε από το σημείο (α) προς το σημείο (β) κάνοντας χρήση της γενικής σχέσης p 2 -p 1 =ρg(z 1 -z 2 ) όπου z η κατακόρυφη συντεταγμένη με κατεύθυνση αντίθετη με το άνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας Υγρό 1: νερό Υγρό 2: λάδι Υγρό 3: υδράργυρος Σχήμα 11: Υπολογισμός της πίεσης σε δοχεία που περιέχουν διάφορα υγρά 18 Στατική

Βαρόμετρο Η ατμοσφαιρική πίεση μετράται συνήθως σε δοχεία που ονομάζονται βαρόμετρα εξ’ ου και η ονομασία βαρομετρική πίεση Η πίεση στην κορυφή του αντεστραμμένου σωλήνα P C μπορεί να θεωρηθεί 0 διότι πάνω από το σημείο C υπάρχουν ατμοί υδραργύρου, και είναι γνωστό οτι P v,Hg << P atm. Η μεταβολή της πίεσης με το υψόμετρο έχει επίδραση στην συμπεριφορά κινητήρων αυτοκινήτων και αεροπλάνων, στις σωματικές λειτουργίες, π.χ. αιμορραγία μύτης, καθώς και στο μαγείρεμα λόγω μείωσης θερμοκρασίας βρασμού Σχήμα 12: Υπολογισμός της πίεσης σε βαρόμετρο Στατική 19

Τα μανόμετρα αποτελούν σημαντικά εργαλεία για την μέτρηση της πίεσης σε βαλβίδες, σωληνώσεις, αυλούς εναλλακτών Η πτώση πίεσης μεταξύ των σημείων 1 και 2 προκύπτει αν ξεκινήσουμε από το σημείο 1 και προσθαφαιρέσουμε ρgh μέχρι να φθάσουμε στο 2 Η αρχή του Pascal δεν ισχύει απ’ ευθείας από το 1 ως το 2 διότι υπάρχει κίνηση του ρευστού - Αντίθετα ισχύει διά μέσου του μανομέτρου όπου τα ρευστά βρίσκονται σε στατική ισορροπία Αν το ρευστό του σωλήνα είναι αέριο τότε ρ 2 =ρ>>ρ 1 και συνεπώς p 1 -p 2 =ρgh Πτώση πίεσης λόγω ροής στην σωλήνωση Σχήμα 13: Υπολογισμός της πτώσης πίεσης με μανόμετρο σε σωλήνα με ροή Στατική 20

Στατική 21 Σχήμα 14: Φράγμα Hoover

Παράδειγμα μετατροπής της ενέργειας λόγω υψομετρικής διαφοράς, z, σε κινητική ενέργεια V 2 /2g Θα το δούμε πιο αναλυτικά στο πλαίσιο των ισοζυγίων ενέργειας (εξίσωση Bernoulli) Στατική 22 Σχήμα 15: Φράγμα Hoover

Υδροστατικές Δυνάμεις σε Επίπεδες Επιφάνειες Στις επίπεδες επιφάνειες οι υδροστατικές δυνάμεις δημιουργούν ένα σύστημα παράλληλων δυνάμεων Σε πολλές εφαρμογές πρέπει να υπολογισθεί εκτός από το μέτρο και το κέντρο εφαρμογής της πίεσης, λέγεται κέντρο πίεσης Η ατμοσφαιρική πίεση P atm αγνοείται όταν επιδρά και στις δύο άκρες του τοιχώματος. Σχήμα 16: Κατανομή πίεσης σε επίπεδη επιφάνεια (α) θεωρώντας και (β) μη θεωρώντας την ατμοσφαιρική πίεση Στατική 23

Δύναμη από το υγρό στο τοίχωμα : Η συνολική δύναμη ισούται με την επιφάνεια επί την πίεση στο κέντρο βάρους της επιφάνειας Όταν η επιφάνεια βλέπει την ατμόσφαιρα από την άλλη πλευρά τότε λαμβάνεται υπόψη η gage πίεση στο κέντρο βάρους της επιφάνειας: Στατική 24

Το μέτρο της στατικής δύναμης F R που δρα πάνω σε επίπεδη επιφάνεια μίας βυθισμένης πλάκας σε ομογενές ρευστό ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνειας A επί την πίεση που ασκείται στο κεντροειδές της επιφάνειας, P C Η δύναμη λόγω πίεσης ισούται με την κατακόρυφη συνιστώσα του βάρους του υπερκείμενου ρευστού κατά την κάθετη διεύθυνση πάνω στην πλάκα x, y: επιφανειακές συντεταγμένες επάνω στην πλάκα, z: κάθετη διεύθυνση ως προς την πλάκα Συνισταμένη Δύναμη Σχήμα 17: Υπολογισμός της στατικής δύναμης που δρα πάνω σε επίπεδη επιφάνεια μίας βυθισμένης πλάκας σε ομογενές ρευστό Στατική 25

Δύναμη πάνω στην επιφάνεια από την υπερκείμενη ρευστή μάζα : Μηδενίζεται διότι η αρχή του συστήματος x, y βρίσκεται στο κέντρο βάρους της πλάκας Κέντρο άσκησης της πίεσης Η γραμμή άσκησης της συνισταμένης πίεσης F R =P C A δεν περνά από το κεντροειδές της επιφάνειες. Εν γένει βρίσκεται λίγο κάτω από το κεντροειδές όπου η πίεση είναι μεγαλύτερη Η θέση του κέντρου πίεσης προκύπτει από το ισοζύγιο μεταξύ της ροπής της συνισταμένης δύναμης και του αθροίσματος των ροπών των επί μέρους συνιστωσών της πίεσης I xx,C είναι πινακοποιημένο για διάφορες γεωμετρίες και είναι μία από τις συνιστώσες του τανυστή της ροπής αδρανείας Σχήμα 18: Δύναμη πάνω στην επιφάνεια από την υπερκείμενη ρευστή μάζα Στατική 26

Υπολογισμός κέντρου πίεσης με βάση ισορροπία ροπών Λόγω του σχήματος της επιφάνειας και της διεύθυνσης της συνισταμένης δύναμης λόγω πίεσης, θα δημιουργηθεί ροπή ως προς τους άξονες x, y της επιφάνειας η οποία θα ισούται με το άθροισμα των επί μέρους ροπών Στατική 27

Ανάλογα για τις ροπές που ασκούνται ως προς τον άξονα y Ορισμός ροπής αδρανείας για στερεό σώμα που αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό μαζών και περιστρέφεται με ομοιόμορφη γωνιακή ταχύτητα ω, μέσω της συνολικής στροφορμής του συστήματος μαζών - Παράδειγμα υπολογισμού Τανυστικό γινόμενο Για κατανεμημένο σύστημα στοιχειωδών μαζών έχουμε: Στατική 28

x y b/2 -b/2 L/2 -L/2 Για πλάκα σχήματος ορθογώνιου παραλληλόγραμμου η οποία υφίσταται την ατμοσφαιρική πίεση και από τις δύο πλευρές της έχουμε: ξcξc ξ y hchc ypyp Για κατακόρυφη επιφάνεια η οποία είναι εξ’ ολοκλήρου βυθισμένη στο νερό και της οποίας η κορυφή άπτεται της διεπιφάνειας αέρα-νερού (α) (β) Σχήμα 19: (α) Πλάκα σχήματος ορθογώνιου παραλληλόγραμμου και (β) κατακόρυφη επιφάνεια η οποία είναι εξ’ ολοκλήρου βυθισμένη στο νερό Στατική 29

Παράδειγμα 2.5 από White 6 th edition, σελίδα 80 Υπολογισμός δύναμης λόγω πίεσης F Υπολογισμός κέντρου πίεσης Γ Υπολογισμός βαρύτητας W και του σημείου εφαρμογής της Ο Ζητούνται: Υπολογισμός της απαιτούμενης δύναμης Ρ στο σημείο Α κατά την στιγμή που σηκώνεται η πλάκα Υπολογισμός της αντίδρασης στην άρθρωση Β Σχήμα 20: (α) Σχηματική αναπαράσταση του προβλήματος και (β) διάγραμμα του ελεύθερου σώματος Υπολογισμός δύναμης αντιστήριξης P μέσω ισορροπίας ροπών ως προς τον άξονα y λόγω του ότι όλες οι δυνάμεις είναι ομοεπίπεδες, ο φορέας τους ανήκει στο xz ενώ είναι γνωστά τα σημεία εφαρμογής τους Υπολογισμός της αντίδρασης στην άρθρωση Β(Β x, Β y ) μέσω ισορροπίας δυνάμεων στην x και z κατεύθυνση Στατική 30 (α) (β)

Ισορροπία ροπών ως προς το σημείο Β Ισορροπία Δυνάμεων P B x, B z Το ισοζύγιο ροπών χρειάζεται προσοχή ώστε να προκύψουν οι σωστές κατευθύνσεις. Ακολουθούν δύο εναλλακτικοί τρόποι για τον προσδιορισμό του ισοζυγίου ροπών Κατάστρωση ισοζυγίου ροπών ομοεπίπεδων δυνάμεων ως προς τον άξονα y που διέρχεται από το Β - Αρχικά φέρουμε την κάθετο από το Β προς τον φορέα της δύναμης - Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου της δύναμης ως προς το σημείο Β, δίνεται από το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την απόσταση του Β από το ίχνος της καθέτου, π.χ. Β’ - Το πρόσημο προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου του κοχλία που περιστρέφεται αντίθετα από την φορά των δεικτών του ρολογιού, μεταξύ του κάθετου διανύσματος και του φορέα της δύναμης - Η παραπάνω διαδικασία ισοδυναμεί με τον καθορισμό της θετικής φοράς του άξονα y όπου ανήκει το διάνυσμα όλων των ομοεπίπεδων ροπών Στατική 31

Σχήμα 21: Δυνάμεις που ασκούνται στην βυθισμένη πλάκα Εναλλακτικά πάμε κατ’ ευθείαν από τον ορισμό οπότε έχουμε, λαμβάνοντας υπόψη ότι για την μέτρηση της γωνίας μεταξύ του ανύσματος που ενώνει το ίχνος Β του άξονα y στο επίπεδο με το σημείο εφαρμογής της κάθε δύναμης και του φορέα της δύναμης πηγαίνουμε κατά συγκεκριμένη φορά, π.χ. αντίθετα με την φορά των δεικτών του ρολογιού Στατική 32

Σχήμα 22: Ροπές που ασκούνται στην βυθισμένη πλάκα Στατική 33 Σχήμα 23: Πλάγια όψη και κάτοψη επίπεδης επιφάνειας σε υδροστατική φόρτιση

Υδροστατικές δυνάμεις σε καμπύλες επιφάνειες Ο υπολογισμός της δύναμης λόγω πίεσης σε καμπύλες επιφάνειες είναι πιο δύσκολος γιατί χρειάζεται ολοκλήρωση του ανύσματος τάσης σε επιφάνεια με κάθετο διάνυσμα με μεταβαλλόμενη διεύθυνση Εναλλακτικά, και συνήθως πιο εύκολα, μπορούμε να υπολογίσουμε χωριστά την κάθετη και οριζόντια συνιστώσα της δύναμης για επιφάνειες με καμπυλότητα πάνω στο επίπεδο. Για τρισδιάστατες επιφάνειες χρειάζεται να γίνει απ’ ευθείας ολοκλήρωση του επιφανειακού ολοκληρώματος Σχήμα 24: Απεικόνιση υδροστατικών δυνάμεων σε καμπύλες επιφάνειες A’ B’ Στατική 34

Υπολογισμός της Κάθετης και οριζόντιας Συνιστώσας της Δύναμης Ισοζύγιο δυνάμεων στο χωρίο ABC Η δύναμη από την επιφάνεια AC στο νερό είναι ίση και αντίθετη με την δύναμη από το νερό στην πλάκα Η υδροστατική δύναμη πάνω στην επιφάνεια BC από το υγρό στα δεξιά του χωρίου ABC, οφείλεται στην πίεση και είναι οριζόντια x -διεύθυνση Ισορροπία μεταξύ των υδροστατικών δυνάμεων στην κατακόρυφη προβολή BC και στην καμπύλη επιφάνεια AC : F H =F x y -διεύθυνση Ισορροπία μεταξύ του βάρους του υγρού που περιέχεται στο χωρίο ABC και των υδροστατικών δυνάμεων στην οριζόντια προβολή ΑΒ και στην καμπύλη επιφάνεια AC : F V =F y +W Στατική 35

Ισοζύγιο δυνάμεων στην στήλη ρευστού κάθετα πάνω από το χωρίο ABC Το επίπεδο A’’B’’ βρίσκεται αρκετά μακριά από την διεπιφάνεια αέρα νερού και συνεπώς υφίσταται μηδενική δύναμη λόγω πίεσης, F ∞ =0 Η κατακόρυφη δύναμη πάνω στην επιφάνεια AC ισούται με το συνολικό βάρος του υπερκείμενου ρευστού Σχήμα 25: Ισοζύγιο δυνάμεων στην στήλη ρευστού Στατική 36

Οριζόντια συνιστώσα της δύναμης σε καμπύλη επιφάνεια : F H =F x. Το σημείο εφαρμογής της οριζόντιας δύναμης στην κατακόρυφη προβολή της επιφάνειας δίνει την y συντεταγμένη του κέντρου πίεσης στην καμπύλη επιφάνεια. Κάθετη συνιστώσα της δύναμης σε καμπύλη επιφάνεια: F V =F y +W, όπου W=ρgV το βάρος της υγρής μάζας κάθετα πάνω από την επιφάνεια και F y =P atm A η κατακόρυφη δύναμη λόγω πίεσης πάνω στην οριζόντια προβολή της καμπύλης επιφάνειας – Πρόκειται για το συνολικό βάρος των δύο υπερκείμενων ρευστών πάνω από την καμπύλη επιφάνεια Η x συντεταγμένη του κέντρου πίεσης δίδεται από τον συνδυασμό της x συντεταγμένης του κέντρου πίεσης στην οριζόντια προβολή, κεντροειδές της οριζόντιας επιφάνειας, και του σημείου εφαρμογής του βάρους του υγρού, κεντροειδές του όγκου Μέτρο της δύναμης F=(F H 2 +F V 2 ) 1/2 Κατεύθυνση της δύναμης a = tan -1 (F V /F H ) Σε σχέση με τον υπολογισμό σε προηγούμενη διαφάνεια μπορούμε να πούμε για την κάθετη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται σε μία κεκλιμένη επιφάνεια με προβολή dA p στο οριζόντιο επίπεδο ότι ισούται με τον όγκο του κατακόρυφα υπερκείμενου ρευστού Στατική 37

dA p Στοιχειώδης όγκος dV=hdA p Οριζόντια Προβολή επιφάνειας Όγκος κατακόρυφα υπερκείμενου ρευστού δίνει την κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης λόγω πίεσης dAdA h Κεκλιμένη επίπεδη επιφάνεια dA z p=p 0 +γh p0p0 Όγκος υπερκείμενου ρευστού Σχήμα 26: Δύναμη λόγω στατικής πίεσης σε βυθισμένη επίπεδη επιφάνεια Στατική 38

Εναλλακτικός Υπολογισμός Υδροστατικών Δυνάμεων σε Καμπύλες Επιφάνειες με απ’ ευθείας Ολοκλήρωση Ζητείται ο υπολογισμός της υδροστατικής δύναμης που υφίσταται η καμπύλη επιφάνεια του φράγματος που τέμνει το επίπεδο xz κατά την καμπύλη ΟΑ. Το φράγμα εκτείνεται ομοιόμορφα στην τρίτη διεύθυνση y κατά πλάτος b Το κάθετο διάνυσμα μεταβάλλεται επάνω στην ΟΑ αλλά παραμένει σταθερό κατά την y διεύθυνση Η εξίσωση της καμπύλης ΟΑ στο επίπεδο δίνεται από την παραβολική σχέση z=z 0 (x/x 0 ) 2 Σχήμα 27: Απεικόνιση δυνάμεων που ασκούνται στην επιφάνεια του φράγματος Στατική 39

Επιλέγουμε το αρνητικό πρόσημο ώστε το κάθετο διάνυσμα να δείχνει προς τα έξω σε σχέση με την υδάτινη μάζα που πιέζει την επιφάνεια ΟΑ του φράγματος. Το κάθετο διάνυσμα βρίσκεται εξ’ ολοκλήρου στο επίπεδο xz Εφαπτομενικά διανύσματα Υδροστατική Δύναμη Στατική 40 Το άνυσμα θέσης της επιφάνειας δίνεται από την σχέση

dA Βάρος υγρού W που περιέχεται στο χωρίο ΟΑΒ Δύναμη λόγω ατμοσφαιρικής πίεσης στην οριζόντια προβολή ΑΒ του χωρίου ΟΑΒ Υδροστατική δύναμη στην κατακόρυφη προβολή ΟΒ του χωρίου ΟΑΒ 41

hh Υπολογισμός κέντρου πίεσης σε καμπύλη επιφάνεια Σχήμα 28: Υπολογισμός κέντρου πίεσης από παράδειγμα 2.7 του White Στατική 42

Οι (1) και (2) αποτελούν σύστημα 2 εξισώσεων με αγνώστους τα x cp και y cp Εναλλακτικά προχωρούμε με βάση την (1) Κατακόρυφη συνιστώσα του κέντρου πίεσης σε επίπεδη κατακόρυφη επιφάνεια Οριζόντια συνιστώσα του κέντρου βάρους των υπερκείμενων ρευστών Στατική 43

Η σχέση (4) περιγράφει την ευθεία με εξίσωση, στην οποία ανήκουν τα σημεία C και CP Συνεπώς, και επειδή η ροπή που ασκεί μία δύναμη δεν μεταβάλλεται καθώς αυτή μεταφέρεται πάνω στον φορέα της, μπορεί να αντικατασταθεί η υδροστατική δύναμη που ασκείται στο σημείο CP από την ίδια δύναμη που ασκείται στο σημείο C Για επίπεδες επιφάνειες: Σχήμα 29: Μεταφορά υδροστατικής δύναμης πάνω στον φορέα της για τον υπολογισμό ροπής σε καμπύλη επιφάνεια Στατική 44

Δυνάμεις σε στρωματοποιημένα ρευστά Κέντρο πίεσης κάθε επί μέρους επιφάνειας Εύρεση συνολικής δύναμης μέσω κεντροειδούς κάθε επί μέρους επιφάνειας Συνολικό κέντρο πίεσης μέσω άθροισης επί μέρους ροπών: Σχήμα 30: Πιέσεις και δυνάμεις σε στρωματοποιημένα ρευστά Στατική 45

Άνωση & Ευστάθεια Βυθισμένων Σωμάτων Η άνωση οφείλεται στο ρευστό που εκτοπίζεται από το βυθισμένο σώμα Αρχές του Αρχιμήδη για την Άνωση: 1)Η ανωστική δύναμη που ασκείται σε ένα βυθισμένο σώμα ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει, έχει κατεύθυνση προς τα επάνω και σημείο εφαρμογής το κεντροειδές του εκτοπιζόμενου όγκου 2)Σώμα που επιπλέει εκτοπίζει ποσότητα του περιβάλλοντος ρευστού ίση με το βάρος του σώματος Υπάρχουν τρεις δυνατότητες 1.ρ body <ρ fluid : Επιπλέον σώμα 2.ρ body =ρ fluid : Αιωρούμενο σώμα 3.ρ body >ρ fluid : Βυθισμένο σώμα Συνολική δύναμη λόγω πίεσης σε βυθισμένο σώμα δίνει την άνωση Σχήμα 31: Θέσεις σώματος αναλόγως της σχέσης της πυκνότητάς του (ρ body ) με αυτή του ρευστού (ρ fluid ) 46

Επιφάνεια 3 x y z W1W1 W2W2 F H (2) F H (1) Ισοζύγιο δυνάμεων σε βυθισμένο σώμα -Χωρισμός του σώματος σε δύο μέρη με επίπεδη επιφάνεια έτσι ώστε να μην μένει μέρος του σώματος αριστερά ή δεξιά της τομής της επιφάνειας με το σώμα Ισορροπία δυνάμεων ξεχωριστά στο χωρίο που βρίσκεται μεταξύ του πάνω μέρους του σώματος και της ελεύθερης επιφάνειας του ρευστού καθώς και στο συνολικό χωρίο που βρίσκεται μεταξύ της κάτω επιφάνειας του σώματος και της ελεύθερης επιφάνειας του ρευστού, λαμβάνοντας υπόψη την υδροστατική πίεση και το βάρος του υγρού Συνδυάζοντας έχουμε ότι: F H,1 =F H,2 και F V2, -F V,1 =W 1 +W 2 Η συνολική οριζόντια δύναμη που υφίσταται το σώμα είναι μηδέν ενώ η συνολική κατακόρυφη δύναμη ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει το σώμα W FH,RFH,R FH,LFH,L FaFa Στατική 47 Σχήμα 32: Ισοζύγιο δυνάμεων σε βυθισμένο σώμα

Για σώματα που επιπλέουν το βάρος τους ισούται με την άνωση που προκύπτει από τον εκτοπισμένο όγκο και των δύο ρευστών Όμως όταν το δεύτερο ρευστό είναι ο αέρας, λόγω της πολύ μικρής του πυκνότητας σε σχέση με το νερό και όταν ο εκτοπισμένος όγκος αέρα δεν είναι πολύ μεγάλος, η άνωση που προκαλεί είναι αμελητέα Για τον πάγο ισχύει οτι ρ ice ≈900 kg/m 3 ενώ για το νερό ρ w =1027 kg/m 3. Συνεπώς για παγόβουνο που επιπλέει στην επιφάνεια του νερού έχουμε: Τα αερόστατα είναι εξ’ ολοκλήρου «βυθισμένα» στον αέρα αλλά λόγω του πολύ μεγάλου όγκου τους και της μικρής πυκνότητας του αερίου που περιέχουν σε σχέση με τον αέρα, π.χ. ήλιο, μπορούν και ισορροπούν αν i=1,2 συμβολίζει νερό και αέρα αντίστοιχα και V sub,1 ~V sub,2 =V-V sub,1 τότε αφού ρ 1 >>ρ 2 ισχύει ότι W  ρgV sub,1 Επειδή ρ έρμα >>ρ αέρας -ρ ήλιο για να υπάρχει ισορροπία θα πρέπει V>>V έρμα, εξ’ ου και ο τεράστιος όγκος που έχουν τα αερόστατα Στατική 48

Παραδείγματα των Αρχών του Αρχιμήδη Η χρυσή κορώνα του Ιέρωνα του 2 ου, βασιλέα των Συρακουσών Αρχιμήδης, π.Χ., Ιέρωνας, π.Χ. Ο Ιέρωνας έμαθε ότι ο χρυσοχόος του αντικατέστησε μέρος του χρυσού της κορώνας του με ασήμι και ζήτησε από τον Αρχιμήδη να διερευνήσει το κατά πόσον η κορώνα του είναι από καθαρό χρυσό Ο Αρχιμήδης έπρεπε να επινοήσει ένα μη καταστροφικό κριτήριο για να το διαπιστώσει Ο Αρχιμήδης πήρε ένα κομμάτι καθαρού χρυσού που ζύγιζε το ίδιο με την κορώνα στον αέρα: W Κ =ρ Κ V Κ =W Χ =ρ Χ V Χ Αν η κορώνα είναι από καθαρό χρυσάφι τότε ρ K =ρ Χ και V Κ =V X Στο νερό η άνωση είναι B=ρ H2O V Αν η ζυγαριά χάσει την ισορροπία της μέσα στο νερό τότε V K ≠V Χ  ρ Κ ≠ ρ Χ – Πράγματι έτσι απεδείχθη η νοθεία Στατική 49 Σχήμα 33: O αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, εφευρέτης και αστρο- νόμος Αρχιμήδης

Σχήμα 34: Η ζυγαριά που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης τοποθετημένη (α) έξω και (β) μέσα στο νερό για να διερευνήσει το κατά πόσον η κορώνα είναι από καθαρό χρυσό (α) (β) Στατική 50

Παράδειγμα: Θερμόμετρο του Γαλιλαίου Το θερμόμετρο του Γαλιλαίου είναι ένας γυάλινος κύλινδρος που περιέχει ένα καθαρό υγρό Μέσα στο δοχείο αιωρούνται διάφορα βάρη που είναι σφραγισμένα γυάλινα δοχεία που περιέχουν χρωματισμένο υγρό. Καθώς η θερμοκρασία του υγρού μεταβάλλεται αλλάζει η πυκνότητά του και τα αιωρούμενα βάρη ανεβαίνουν ή κατεβαίνουν προκειμένου να σταθεροποιηθούν στην θέση όπου το υγρό του σωλήνα έχει την ίδια πυκνότητα Εάν τα βάρη έχουν μικρές διαφορές μεταξύ τους τακτοποιούνται ώστε το βαρύτερο να είναι στον πυθμένα και το ελαφρύτερο στην κορυφή δημιουργώντας έτσι ένα ιδιότυπο θερμόμετρο (αν γνωρίζει κανείς την πυκνότητά τους και την εξάρτηση της πυκνότητας του υγρού από την θερμοκρασία) Σχήμα 35: Το Θερμόμετρο του Γαλιλαίου Στατική 51

Παράδειγμα: Χρήση έρματος για την αυξομείωση της άνωσης στα υποβρύχια Τα υποβρύχια χρησιμοποιούν στατικές αλλά και δυναμικές μεθόδους για τον έλεγχο του βάθους κατάδυσης. Ο στατικός έλεγχος κάνει χρήση δεξαμενών έρματος που είναι τοποθετημένες μεταξύ του κυρίως και του εξωτερικού σκάφους. Ο δυναμικός έλεγχος μετακινεί τα επίπεδα της πλώρης και της πρύμνης προκειμένου να δημιουργήσει ανασταλτικές δυνάμεις. Σχήμα 37: Ανάδυση υποβρυχίου με χρήση δεξαμενών έρματος Σχήμα 36: Δεξαμενές έρματος τοποθετημένες σε υποβρύχιο Στατική 52

Εύρεση κέντρου βάρους και κέντρου άνωσης σώματος μέσω ισοζυγίου ροπών ως προς τυχαίο άξονα y Σχήμα 38: Εύρεση κέντρου βάρους και κέντρου άνωσης σώματος Στατική 53

Ευστάθεια Πλωτών Σωμάτων Η περιστροφική ευστάθεια πλωτών σωμάτων εξαρτάται από την σχετική θέση του κέντρου βάρους G και του κέντρου άνωσης B G κάτω από το B  πάντα ευστάθεια G πάνω από το B  αστάθεια υπό συνθήκες G ταυτίζεται με το B  ουδέτερη ευστάθεια Σχήμα 39: Ευστάθεια πλωτού σώματος: (α) ευσταθές, (β) ουδέτερα ευσταθές και (γ) ασταθές υπό συνθήκες Στατική 54

Ακόμα και όταν το Β είναι κάτω από το G μπορεί να υπάρξει ευστάθεια αν δημιουργηθεί η κατάλληλη σταθεροποιητική ροπή με την μετακίνηση του κέντρου άνωσης Σχήμα 40: Ασταθής διάταξη υπό συνθήκες: (α) ευσταθές, (β) ευσταθές και (γ) ασταθές Στατική 55 (α) (β) (γ)

Ευστάθεια Πλωτού Θεωρούμε πλωτό με διατομή που χαρακτηρίζεται από κατακόρυφο άξονα συμμετρίας και η οποία παραμένει περίπου σταθερή κατά τον διαμήκη άξονα Το εν λόγω πλωτό αρχικά είναι σε στατική ισορροπία όπου η άνωση ισούται με το βάρος του - Η ισορροπία αυτή μπορεί να είναι ασταθής διότι το κέντρο άνωσης Β βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους G Για ανατροπή της αρχικής ισορροπίας κατά μικρή γωνία θ υπολογίζεται το νέο κέντρο άνωσης Β’ από το οποίο υψώνουμε κατακόρυφο η οποία τέμνει τον άξονα συμμετρίας της διατομής του πλωτού στο σημείο Μ Η ευστάθεια καθορίζεται από την σχετική θέση των M και G. Εάν το Μ βρίσκεται πάνω από το G επί του άξονα συμμετρίας η άνωση και το βάρος εξασκούν σταθεροποιητική ροπή και το σκάφος είναι ευσταθές. Στην αντίθετη περίπτωση έχουμε αποσταθεροποιητική ροπή και αστάθεια Στατική 56

L το μήκος του σκάφους στην y κατεύθυνση Σχήμα 41: Ευστάθεια πλωτού σώματος Στατική Α Β Γ Δ x0x0 z0z0 a b y0y0 B0B0 G0G0 Η2Η2 Ε Ζ Ο

Μετά την περιστροφή κατά μικρή γωνία θ ορίζουμε σύστημα συντεταγμένων x,z εστραμμένο κατά γωνία θ ως προς το αρχικό x 0, z 0, ενώ η κατεύθυνση y παραμένει η ίδια, y 0 =y Με βάση τον ορισμό που δώσαμε προηγουμένως το κέντρο βάρους G έχει ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων τις ίδιες συντεταγμένες όπως και στο αρχικό, x CG =0, y CG =L/2, z CG =-h, ενώ εξακολουθεί να υπάρχει ισορροπία δυνάμεων Το κέντρο άνωσης όμως έχει αλλάξει και πρέπει να υπολογισθεί στο νέο σύστημα συντεταγμένων με βάση τον βυθισμένο όγκο, έτσι ώστε να εκτιμηθεί η φορά του ζεύγους δυνάμεων που δημιουργείται μεταξύ της άνωσης και της βαρύτητας στην νέα διάταξη του σώματος Στατική 58

0 λόγω συμμετρίας-hV sub όπως στην αρχική κατάσταση Στατική 59

Συνεπώς το ίχνος του Β’ πάνω στον z ταυτίζεται με το κέντρο άνωσης της αρχικής κατάστασης Β Αν υψώσουμε κάθετο προς το οριζόντιο επίπεδο ΖE’ η τομή της με τον άξονα z θα είναι σημείο Μ τέτοιο ώστε η γωνία ΒΜΒ’ να είναι ίδια με την γωνία στροφής του σκάφους θ λόγω καθετότητας των πλευρών τους - Για να υπάρχει εξισορροπητικό ζεύγος ροπών θέλουμε ΒΜ>ΒG Όλες οι ποσότητες που εμπλέκονται στο κριτήριο ευστάθειας υπολογίζονται στην αρχική κατάσταση ισορροπίας - Α waterline είναι η τομή του σκάφους με το οριζόντιο επίπεδο στην αρχική κατάσταση ισορροπίας και Ι 0 =Ι yy είναι η ροπή αδρανείας αυτής της επιφάνειας ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο με διεύθυνση y 0 Η παραπάνω ανάλυση ευστάθειας αφορά στην επιλογή μεταξύ δύο διαφορετικών δυνατών θέσεων στατικής ισορροπίας του σκάφους αναλόγως της γεωμετρίας του και της κατανομής βάρους Στατική 60 Σχήμα 42: Οι δύο διαφορετικές δυνατές θέσεις στατικής ισορροπίας του σκάφους αναλόγως της γεωμετρίας του και της κατανομής βάρους

Εξίσωση Κίνησης σε Μη Αδρανειακά Συστήματα Θεωρούμε αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων X, Y, Z και μη αδρανειακό σύστημα x, y, z το οποίο έχει γραμμική επιτάχυνση d 2 R/dt 2 ως προς το αδρανειακό ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται ως προς αυτό με γωνιακή επιτάχυνση Ω Θέλουμε να υπολογίσουμε την σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης σωματιδίου ως προς το μη αδρανειακό σύστημα και αυτής ως προς το αδρανειακό Σχήμα 43: Αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων X, Y, Z και μη αδρανειακό σύστημα x, y, z Στατική 61

Χρειάζεται η συσχέτιση της χρονικής μεταβολής των μοναδιαίων διανυσμάτων με την γωνιακή ταχύτητα Περιστρεφόμενα μοναδιαία διανύσματα Στατική 62

Κάθε ένα από τα μοναδιαία διανύσματα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα περιστροφής με γωνιακή ταχύτητα Ω ενώ σχηματίζει με αυτόν σταθερή γωνία, π.χ το μοναδιαίο στην x κατεύθυνση σχηματίζει γωνία α Σε χρονικό διάστημα dt το μοναδιαίο διάνυσμα έχει μετακινηθεί κατά σε κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν ο άξονας περιστροφής Ω και το μοναδιαίο και μέτρο ίσο με μήκος τόξου που αντιστοιχεί σε γωνία dθ Η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το μοναδιαίο γύρω από τον άξονα περιστροφής είναι sinα και δίδεται από το πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΟΑΚ Σχήμα 44: Το μοναδιαίο στην x κατεύθυνση διάνυσμα περιστρεφόμενο γύρω από τον άξονα περιστροφής με γωνιακή ταχύτητα Ω 63 Ισχύει για οποιαδήποτε διανυσματική ποσότητα

Επιτάχυνση σωματιδίου όπως καταγράφεται στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Γραμμική επιτάχυνση του μη αδρανειακού συστήματος Επιτάχυνση σωματιδίου όπως καταγράφεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς Κεντρομόλος επιτάχυνση λόγω περιστροφής Γωνιακή επιτάχυνση Επιτάχυνση coriolis λόγω περιστροφής 2 ος Νόμος του Νεύτωνα για Μη Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς : Στατική 64

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις όπου μία μάζα υγρού μπορεί να εκτελέσει κίνηση σαν να ήταν στερεό σώμα όταν το δοχείο που την περιέχει επιταχύνεται με (α) γραμμική ή/και (β) περιστροφική κίνηση Στις παραπάνω περιπτώσεις δεν αναπτύσσονται μέσα στο ρευστό ορθές ή διατμητικές τάσεις πέραν της πίεσης Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα σε διαφορική μορφή μπορεί να δώσει την διαφορική εξίσωση κίνησης για τα σωματίδια του ρευστού που εκτελούν κίνηση στερεού σώματος ως προς μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Γραμμική Επιτάχυνση και Περιστροφή Μάζας Υγρού Σχήμα 45: Κατανομή πίεσης μέσα: (α) σε δοχείο ορθογωνικού σχήματος που επιταχύνεται γραμμικά και (β) σε περιστρεφόμενο κυλινδρικό δοχείο Στατική 65 (α)(β)

Κατανομή Πίεσης σε Δοχείο που Επιταχύνεται Γραμμικά Καρτεσιανές συντεταγμένες Ορίζουμε νέο σύστημα συντεταγμένων με μοναδιαία διανύσματα Σχήμα 46: (α) Βυτιοφόρο φορτηγό μεταφοράς καυσίμου και (β) κατανομή πίεσης μέσα σε δοχείο που επιταχύνεται γραμμικά 66

Η πίεση μεταβάλλεται μόνο κατά την διεύθυνση του μοναδιαίου S ενώ είναι σταθερό κατά την διεύθυνση n Συνεπώς η ελεύθερη επιφάνεια, στην οποία επικρατεί η σταθερή ατμοσφαιρική πίεση P a, είναι επιφάνεια παράλληλη στο διάνυσμα n έτσι ώστε να μην υπάρχουν μεταβολές πίεσης Η πτώση πίεσης είναι μεγαλύτερη σε σχέση με την περίπτωση όπου απουσιάζει η γραμμική επιτάχυνση λόγω της επί πλέον επιτάχυνσης Για την εύρεση της ακριβούς θέσης της διεπιφάνειας χρειάζεται να επιβάλουμε την διατήρηση της συνολικής μάζας Θεωρώντας ότι η διεπιφάνεια περιγράφεται από την σχέση z=(H 0 +Δz max )-xtanθ (με άγνωστο το Δz max ) και ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο έχουμε : Σχήμα 47: “Στατική” ισορροπία σε επιταχυνόμενο ρευστό Στατική

Κατανομή Πίεσης σε Περιστρεφόμενο Κυλινδρικό Δοχείο Το δοχείο περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z Μετά ένα αρχικό μεταβατικό στάδιο το υγρό στο δοχείο περιστρέφεται σαν στερεό σώμα - Συνεπώς η σχετική επιτάχυνση των σωματιδίων του υγρού ως προς τον άξονα περιστροφής θα είναι μηδέν Απουσία γραμμικής επιτάχυνσης και για μηδενική σχετική ταχύτητα των σωματιδίων ρευστού η επιτάχυνση του μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς δίδεται από την κεντρομόλο Κεντρομόλος επιτάχυνση Σχήμα 48: Κατανομή Πίεσης σε Περιστρεφόμενο Κυλινδρικό Δοχείο 68

Η εξίσωση κίνησης ως προς τον άξονα περιστροφής σε κυλινδρικές συντεταγμένες, με αρχή του συστήματος συντεταγμένων την τομή του άξονα περιστροφής με την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού Για τον υπολογισμό των ισοϋψών της πίεσης θέτουμε στην παραπάνω σχέση P=P c Για τον ακριβή υπολογισμό της θέσης της διεπιφάνειας κάνουμε χρήση της διατήρησης της μάζας που περιέχεται στον περιστρεφόμενο κύλινδρο ή του όγκου για ασυμπίεστο υγρό Στατική 69

Τέλος Ενότητας