δηλαδή, οι συναρτήσεις Μ(x,y) και N(x,y) αποτελούνται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x 4 -0,5x 2 y 2 +xy 3 -y 4 4ου βαθμού ως προς x και y g(x,y) = x 2 y x -4 y 3 -23x -2 y+x βαθμού ως προς x και y h(x,y) = 1+xy -1 +x 2 y -2 = x 0 y 0 +xy -1 +x 2 y -2 μηδενικού βαθμού ως προς x και y 1ης τάξης Μια δ.ε. M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 (I) λέγεται ομογενής αν οι συναρτήσεις M(x,y) και Ν(x,y) είναι ομογενείς του ίδιου βαθμού ως προς x και y.

για να επιλύσουμε την δ.ε την ανάγουμε σε μια δ.ε. χωριζόμενων μεταβλητών! Τότε, y=ux ισοδύναμα x=vy άρα, dy=udx+xdu ισοδύναμα dx=vdy+ydv Επομένως, η (Ι) παίρνει την μορφή: A(x)dx + B(u)du = 0 ή P(x)dy + Q(v)dv = 0 και γίνεται χωριζόμενων μεταβλητών !

Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. (xdx+ydy)(x 2 +y 2 ) = x 3 dx x 3 dx+xy 2 dx+x 2 ydy+y 3 dy = x 3 dx xy 2 dx+(x 2 y+y 3 )dy = 0 (I) είναι της μορφής M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Θέτουμε, τότε, x=uy άρα dx=udy+ydu και η (Ι) γίνεται uy 3 (udy+ydu)+(u2y3+y 3 )dy = 0 (u 2 y 3 +u 2 y 3 +y 3 )dy+uy 4 du = 0 y 3 (2u 2 +1)dy+uydu = 0 (II) (2u 2 +1)dy+uydu = 0

άρα, επειδή y  0 και 2u 2 +1  0  y(2u 2 +1)  0 διαιρώ και τα δύο μέλη της (ΙΙ) με το y(2u 2 +1) χωριζόμενων μεταβλητών επομένως, ln|y| +I 1 = c, c  R (III)

I 1 = 1/4 ln|2u 2 +1|+c 1, c 1  R 4ln|y| +ln(2u 2 +1) = 4(c-c 1 ) = c΄, c΄= 4(c-c 1 )  R και συνεπώς η (ΙΙΙ) γίνεται: ln|y| + ¼ ln(2u 2 +1) + c 1 = c, δηλαδή lny 4 + ln(2u 2 +1) = ln[y 4 (2u 2 +1)] = lnc 0, όπου lnc 0 =c΄ άρα, y 4 (2u 2 +1)=c 0 δηλαδή, y 4 [2(x 2 /y 2 )+1] = c 0 και επομένως 2x 2 y 2 + y 4 = c 0 γενική λύση!

Άσκηση: Να βρεθεί μια καμπύλη στο επίπεδο Οxy έτσι ώστε: (i) να περνά από το σημείο Α(0,1) (ii) η εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα τυχαίο σημείο της Μ να τέμνει τον άξονα Οy σε ένα σημείο Ν έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜΝ να είναι ισοσκελές με ΟΜ=ΟΝ.

 υποθέτουμε ότι η καμπύλη (συνάρτηση) που ζητάμε έχει τύπο y=f(x)  υποθέτουμε ότι το τυχαίο σημείο Μ έχει συντεταγμένες x 0 και y 0, δηλαδή Μ(x 0,y 0 ) Επειδή το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές ΟΜ=ΟΝ, άρα (I) (ΟΜ)=(ΟΝ)= Επιπλέον, η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της y=f(x) στο σημείο Μ(x 0,y 0 ) είναι: (II) y = y 0 + (x-x 0 )f΄(x 0 ) Οι συντεταγμένες του σημείου Ν είναι Ν(0,y 1 ) δηλαδή y 1 =(ON) και από την (Ι) έχουμε:

διαφορική εξίσωση 1ης τάξης Επειδή η (ε) περνά από το σημείο Ν, έπεται ότι οι συντε- ταγμένες του θα επαληθεύουν την (Ι), δηλαδή και επειδή οι συντεταγμένες x 0,y 0 είναι άγνωστοι όροι η παραπάνω εξίσωση γράφεται: ομογενής δ.ε. Μ(x,y)dx+N(x,y)dy=0, δηλαδή A(y/x)dx+(-1)dy=0

και επομένως χωριζόμενων μεταβλητών

αντικαθιστώντας u=y/x παίρνουμε άρα, x 2 = c 2 (c 2 -2y) Γενική λύση της δ.ε.

καμπύλη περνά από το σημείο Α(0,1), άρα 0 = c 2 (c 2 -2) δηλαδή, c 2 =0 ή c 2 =2  για c 2 =0  x=0 απορρίπτεται  για c 2 =2  x 2 = 4 -4y  η εξίσωση της καμπύλης

γραφική παράσταση ισοσκελές τρίγωνο καμπύλη y=1-(x 2 /4) εφαπτομένη της καμπύλης

 Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση y=f(t) παριστά- νει ένα μέγεθος που είναι μια συνάρτηση του χρόνου t. π.χ. y=f(t) είναι ένας πληθυσμός από μύκητες- αποικοδομητές σε μια εκτεταμένη δασική κάλυψη. Πως μεταβάλλεται ένας πληθυσμός με την πάροδο του χρόνου; Λογικά αυξάνεται (με ποιο τρόπο;) μοντέλο απεριόριστης μεγέθυνσης μοντέλο περιορισμένης μεγέθυνσης

(1) Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι ανάλογος της παρούσας τιμής του. Νόμος Φυσικής Μεγέθυνσης όπου α είναι η σταθερά μεγέθυνσης (2) δυναμική εξέλιξη του πληθυσμού : ο λόγος του «ρυθμού μεταβολής» προς τον «πληθυσμό» είναι σταθερός Από τον τύπο (Ι) προκύπτουν τα ακόλουθα:

για α=2 έχουμε …102030…100… y(t)…51020…50…  Ο πληθυσμός με την πάροδο του χρόνου αυξάνει απεριόριστα (ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού δεν εξαρτάται από το μέγεθος του πληθυσμού). ΤΤο μοντέλο Απεριόριστης Μεγέθυνσης δεν είναι ρεαλιστικό! Η εξίσωση (Ι) προϋποθέτει ότι δεν υπάρχουν περιβαλλοντικοί περιορισμοί στην αύξηση του πληθυσμού Περιβαλλοντικοί παράγοντες που επηρεάζουν την αύξηση του πληθυσμού Οι μύκητες ζουν σε ένα περιορισμένο περιβάλλον, σε πεπερασμένο χώρο με πεπερασμένη ποσότητα πόρων. Οι διαθέσιμοι πόροι είναι περιο- ρισμένοι, δεν επαρκούν για να υποστηρίξουν την μεγάλη αύξηση, αναπτύσσεται μια ανταγωνιστική αλληλεξάρτηση που θέτει φραγμό στην αύξηση του πληθυσμού.

 Οι προηγούμενοι περιορισμοί επιβάλουν ένα ανώτατο όριο στο μέγεθος του πληθυσμού  όσο ο πληθυσμός πλησιάζει στο ανώτατο αυτό όριο, τόσο ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού μειώνεται Στόχος: στο μοντέλο αυτό ο ρυθμός μεγέθυνσης του πληθυσμού y=y(t), ως προς τον χρόνο t (δηλαδή, dy/dt), εξαρτάται από το μέγεθος του πληθυσμού Μαθηματική διατύπωση: όπου h(y) είναι μια συνάρτηση του μεγέθους του πληθυσμού

Όταν ο πληθυσμός μηδενίζεται η h(y) πρέπει να παραμένει «μηδέν» συνάρτηση μεγέθους του πληθυσμού μαθηματικός τύπος: h(y) = y  f(y) όπου f(y) είναι μια συνάρτηση του y (του πληθυσμού!) π.χ. για y=0, h(0)=0  f(0) = 0 ανεξάρτητα από την τιμή της συνάρτησης f καθώς ο πληθυσμός αυξάνεται, ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού πρέπει να μειώνεται συνάρτηση του y Άρα, η f(y) είναι φθίνουσα συνάρτηση του y, f΄(y)<0

όπου a,b είναι σταθερές και a>0, b>0 b(*) β/α(**) f(y)=b-ay φθίνουσα y 1 -y 2  -ay 1 >-ay 2  b-ay 1 >b-ay 2  f(y 1 )>f(y 2 ) y-πληθυσμός (*) όταν ο πληθυσμός είναι 0, τότε η συνάρτηση του πληθυσμού είναι b (**) όταν ο πληθυσμός γίνεται b/a, τότε η «συνάρτηση πληθυσμού» μηδενίζεται f(y)-συνάρτηση πληθυσμού

h(y) = y  (b-ay) και το μαθηματικό μοντέλο γίνεται: dy/dt = h(y) = y  (b-ay) h(y)=dy/dt=y(b-ay) ζητούμενη συνάρτηση πληθυσμός Ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού max μέγιστος ρυθμός μηδενικός ρυθμός  αρνητικός ρυθμός 

μαθηματική διατύπωση του μοντέλου: Να προσδιοριστεί η συνάρτηση y=y(t) αν γνωρίζουμε ότι: dy/dt = y(b-ay), όπου a,b είναι σταθερές Ισοδύναμα: Νόμος λογιστικής μεγέθυνσης ή εξίσωση των Verhulst-Pearl Ο ρυθμός μεγέθυνσης ενός μεγέθους (π.χ. ενός πληθυσμού) y=y(t) που αποτελεί μια συνάρτηση του χρόνου t, είναι ανάλογος του γινομένου του μεγέθους y επί την διαφορά B-y, όπου Β=b/a με σταθερά αναλογίας a. δηλαδή,

 Ο Ο ρυθμός μεγέθυνσης έχει ανώτατο όριο αύξησης. Πράγματι, για y=0, dy/dt = 0 για 0<y<B, ή τιμή της dy/dx αυξάνεται μέχρι κάποιο μέγιστο όριο και στη συνέχεια μειώνεται μέχρι που y=B=b/a όπου ο ρυθμός μεγέθυνσης γίνε- ται μηδενικός, dy/dt = aB(B-B) = 0.  Ικανοποιούνται όλοι οι περιβαλλοντικοί περιορισμοί !! του τύπου

Να λυθεί η δ.ε. Είναι χωριζόμενων μεταβλητών: dy/dx = f(y) I.2 Επομένως, (I) Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης 1  M(B-y) + Ny 1  MB –My + Ny 1  (N-M)y +MB Άρα, N-M = 0  N=M MB = 1  M = 1/B = N

Επομένως, η (Ι) γίνεται : at + c 1 = (1/B)ln|y| - (1/B)ln|B-y| + c 2, όπου c 1 c 2  R Άρα, at = (1/B)ln|y| - (1/B)ln|B-y| + c, όπου c=c 2 -c 1  R γενική λύση της δ.ε.

τελικά, λογιστική καμπύλη όπου Α=e Bc, c  R