ΧΜ380: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΛΙΚΩΝ 1 Ενότητα 4: κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις και επίπεδα Διδάσκων: Γεώργιος Ν. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια: Πήττας Κωνσταντίνος, Διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΠΑΤΡΑ 2014

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Σκοποί Ενότητας Σκοποί της ενότητας είναι να μπορεί ο φοιτητής να ορίζει τα κρυσταλλογραφικά επίπεδα και τις κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις και να μπορεί να τις ορίζει κάνοντας χρήση των δεικτών Miller. Τέλος θα πρέπει να μπορεί να υπολογίζει τις γραμμικές και επιφανειακές υκνότητες

Περιεχόμενα Κρυσταλλογραφικά επίπεδα Κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις Προσδιορισμός δεικτών Miller κρυσταλλικού επιπέδου Ορισμός πλεγματικών επιπέδων Γραμμικές και Επιφανειακές Πυκνότητες Οδηγίες για τον προσδιορισμό των κρυσταλλικών επιπέδων

Κρυσταλλογραφικές Διευθύνσεις  Όταν αναφερόμαστε σε κρυσταλλικά υλικά τότε είναι απαραίτητο να ορίσουμε κάποιο συγκεκριμένο κρυσταλλογραφικό επίπεδο ή διεύθυνση. Κρυσταλλογραφική διεύθυνση ορίζεται ως η γραµµή ή το διάνυσµα που ορίζεται από δυο σηµεία µέσα στον κρύσταλλο.

Κρυσταλλογραφικά επίπεδα Τα κρυσταλλογραφικά επίπεδα έχουν µεγάλη σηµασία αφού τα µέταλλα παραµορφώνονται κατά µήκος των επιπέδων µε την πυκνότερη διεύθυνση ατόµων. Ο προσδιορισµός των επιπέδων σε µια κρυσταλλογραφική δοµή ορίζεται όπως και οι διευθύνσεις. Ως βάση χρησιµοποιείται η κρυσταλλική κυψελίδα µε το σύστηµα συντεταγµένων τριών αξόνων. Τα κρυσταλλογραφικά επίπεδα χαρακτηρίζονται µε τρεις δείκτες [hkl] γνωστούς ως δείκτες Miller. Όποια επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους είναι ισοδύναμα και έχουν τους ίδιους δείκτες.

Δείκτες Miller Οι δείκτες Miller χρησιμοποιούνται για την περιγραφή του προσανατολισμού ενός κρυσταλλογραφικού επιπέδου ή μιας κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης. Επίσης για τον προσδιορισμό της θέσης ενός ατόμου στον κρύσταλλο. Αναπτύχθηκαν από William Hallowes Miller. Χρησιμοποιούνται για την κατανόηση πολλών φαινόμενων στην επιστήμη των υλικών, όπως πχ. στην εξήγηση σχημάτων μεμονωμένων κρύσταλλων, τη μορφή της μικροδομής ορισμένων υλικών, την ερμηνεία των ακτινογραμμάτων περίθλασης ακτίνων Χ, την κίνηση καταναγκασμών οι μπορούν να καθορίσουν τις μηχανικές ιδιότητες του υλικού κλπ.

Προσδιορισμός δεικτών Miller κρυσταλλικού επιπέδου 1.Προσδιορίζονται τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες x, y, z. Έστω ότι είναι α, β και γ, αντίστοιχα. 2.Υπολογίζονται οι αντίστροφοι των αποτεμνουσών 1/α, 1/β, 1/γ. Εάν προκύπτουν ακέραιοι αριθμοί, καθίστανται πρώτοι μεταξύ τους (διαιρώντας με το Μ.Κ.Δ. τους) και οι ακαίρεοι που προκύπτουν h, k, l είναι οι δείκτες Miller του επιπέδου. Εάν προκύπτουν κλάσματα, μετατρέπονται σε ομώνυμα και επαναλαμβάνεται η αρχική διαδικασία για τους αριθμητές. 3.Οι δείκτες Miller που υπολογίζονται γράφονται (h k l ). Αρνητικοί ακέραιοι αναγράφονται με παύλα από πάνω.

Προσδιορισμός δεικτών Miller κρυσταλλικής διεύθυνσης 1.Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες (προβολές στους 3 άξονες) u, v, w διανύσματος παράλληλου προς τη συγκεκριμένη διεύθυνση, έτσι ώστε η αρχή και το πέρας του να ευρίσκονται πάνω σε έδρες της κυψελίδας. 2.Εάν προκύπτουν ακέραιοι αριθμοί, καθίστανται πρώτοι μεταξύ τους και οι προκύπτοντες ακέραιοι h, k, l είναι οι δείκτες Miller της διεύθυνσης. Εάν προκύπτουν κλάσματα, καθίστανται ομώνυμα και επαναλαμβάνεται η αρχική διαδικασία για τους αριθμητές. 3.Οι δείκτες Miller της ζητούμενης διεύθυνσης γράφονται [h k l ].

Ορισμός Διευθύνσεων και Επίπεδων Κανόνες συμβολισμού Τα επίπεδα και διευθύνσεις ορίζονται από τρεις ακεραίους αριθμούς ή δείκτες Βάση για τον καθορισμό των δεικτών η μοναδιαία κυψελίδα Σύστημα συντεταγμένων x, y και z που βρίσκονται σε μία από τις κορυφές και συμπίπτουν με τις ακμές Οι διευθύνσεις των αξόνων πάντα να ακολουθούν αυτούς του σχήματος (τυπική σύμβαση) για να αποφεύγονται οι παρανοήσεις Θέσεις μέσα στον κρύσταλλο είναι κλασματικοί αριθμοί

Ορισμός κρυσταλλογραφικού επιπέδου/διεύθυνσης Θέσεις ατόμων Ένας κρύσταλλος δημιουργείται από την επανάληψη στον χώρο της μοναδιαίας κυψελίδας Τα άτομα σε κορυφή μοιράζονται και σε άλλες μοναδιαίες κυψελίδες (το μεσαίο άτομο στο σχήμα είναι το (0,1,0) για την αριστερή κυψελίδα και ταυτόχρονα το (0,0,0) για την δεξιά). Μπορεί επομένως να χρησιμοποιηθεί για αρχή αξόνων όποια κορυφή είναι η πλέον κατάλληλη θεωρώντας βέβαια και αρνητικές συντεταγμένες αν αυτό είναι αναγκαίο Η μοναδιαία κυψελίδα έχει επομένως ένα άτομο, το (0,0,0) καθόσον τα (1,0,0), (0,1,0) και (0,0,1) ανήκουν και σε γειτονικά κελιά Σχόλιο: Το BCC έχει δύο άτομα, τα (0,0,0) και (1/2,1/2,1/2). Το FCC έχει 4 άτομα τα (0,0,0), (0,1/2,1/2), (1/2,0,1/2) και (1/2,1/2,0). Με τον τρόπο αυτό αποφεύγουμε να «κόβουμε» τα άτομα σε μισά, όγδοα κλπ.

Ορισμός κρυσταλλογραφικού επιπέδου/διεύθυνσης Κρυσταλλογραφικές Διευθύνσεις Ορισμός ανύσματος έτσι ώστε να περνά από την αρχή των αξόνων Προβολή του ανύσματος στους 3 άξονες X, Y, Z. Υπολογισμός των προβολών βάσει των παραμέτρων πλέγματος a, b και c (a-X axis, b-Y axis, c-Z axis) Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση με κοινό συντελεστή (μέγιστος κοινός διαιρέτης, ομώνυμα κλάσματα, αριθμητές) των προβολών ώστε να προκύψει η μικρότερη τιμή Οι τρεις δείκτες (Miller) γράφονται χωρίς κόμμα ανάμεσα μέσα σε αγκύλες [unw] Σχόλιο: Οι συνήθεις διευθύνσεις είναι [100], [110] και [111] όπως στο σχήμα. Ο υπολογισμός γίνεται αν αφαιρεθεί το σημείο της αρχής από αυτό του τέλους τέλος(1,1,1)-αρχή(0,0,0)=[111] (1,1,0)-(0,0,0)=[110] (1,0,0)-(0,0,0)=[100]

Παράδειγμα δεικτών Miller

Παράδειγμα δεικτών Miller για ορισμό διευθύνσεων Ισοδύναμα σχήματα. Στο δεύτερο μετακινήθηκε η αρχή των αξόνων για να ενταχθεί το διάνυσμα μέσα στον κρύσταλλο

Ορισμός πλεγματικών επιπέδων Τα πλεγματικά επίπεδα ορίζονται από τους δείκτες Miller (hkl). Ορίζονται κατά τρόπον ώστε το πρώτο πλεγματικό επίπεδο από την αρχή των αξόων τέμνει τους άξονες στους x, y, z κρυσταλλογραφικούς άξονες σταa/h, b/k, και c/l, αντίστοιχα Αν ένα επίπεδο είναι παράλληλο προς ένα των κρυσταλλογραφικών αξόνων, η τομή είναι στο ∞ και ο αντίστοιχος δείκτης είναι μηδέν.

Ορισμός κρυσταλλογραφικού επιπέδου/διεύθυνσης Προσανατολισμός επιπέδων με παρόμοιο τρόπο και ορισμός τους από τρεις δείκτες (hkl) τους δείκτες Miller (σε όλα τα πλέγματα είναι τρείς εκτός του εξαγωνικού που είναι τέσσερεις (hkil)). Διαδικασία Προσδιορισμός των σημείων που το επίπεδο τέμνει τους άξονες x,y,z. Εάν το επίπεδο περνά από την αρχή, το σύστημα των αξόνων μετακινείται σε ένα διπλανό κλπ. Υπολογίζονται τα αντίστροφα των αριθμών τομής. Όταν το επίπεδο είναι παράλληλο σε άξονα θεωρούμε το μήκος άπειρο, επομένως το αντίστροφο του είναι 0 Οι αριθμοί πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται με κοινό συντελεστή ώστε να αποκτήσουν την μικρότερη δυνατή ακεραία τιμή

Παραδείγματα ορισμού επιπέδων με δείκτες Miller

(110) (101)(102) (111)

Παραδείγματα ορισμού Κρυσταλλογραφικών Διευθύνσεων

Δείκτες Miller εξαγωνικών μοναδιαίων κελιών Χρησιμοποιούμε σύστημα συντεταγμένων 4 αξόνων (σύστημα Miller-Bravais) διότι μερικές κρυσταλλογραφικά ισοδύναμες διευθύνσεις δεν έχουν την ίδια τριάδα δεικτών Διαδικασία Οι τρείς άξονες (α 1, α 2, α 3 ) βρίσκονται σε ένα επίπεδο, το «βασικό» και σχηματίζουν γωνία 120 ο Ο άξονας C είναι κάθετος στο επίπεδο Έχουμε έτσι 4 προβολές οι οποίες δηλώνονται ως (hkil) Αλλαγή τριών αξόνων σε τέσσερεις Τυπικές διευθύνσεις για 3- και 4- σύστημα αξόνων. Φαίνεται πως η [1210] είναι ισοδύναμη με την [010]

Ορισμός Γραμμικών και Επιφανειακών Πυκνοτήτων Η Γραμμική πυκνότητα είναι ένα μέτρο μάζας ανά μονάδα μήκους Η επιφανειακή πυκνότητα προκύπτει ως η μάζα ανά μονάδα επιφάνειας. Οι έννοιες της γραμμικής και επιφανειακής πυκνότητας είναι ισοδύναμα του συντελεστή ατομικής πλήρωσης σε μία και δύο διαστάσεις αντίστοιχα.

Γραμμικές και Επιφανειακές Πυκνότητες Ισοδύναμες διευθύνσεις έχουν ίδιες γραμμικές ατομικές πυκνότητες (αριθμό σημείων πλέγματος ανά μονάδα μήκους) Ισοδύναμα επίπεδα έχουν ίδιες επιφανειακές ατομικές πυκνότητες Οι παραπάνω έννοιες είναι ισοδύναμες με τον συντελεστή πλήρωσης σε μία ή δύο διαστάσεις Διαδικασία Το διάνυσμα της κατεύθυνσης περνά από τα κέντρα των ατόμων Το μήκος της γραμμής που τέμνεται από αυτά τα άτομα είναι η γραμμική πυκνότητα

Γραμμικές και Επιφανειακές Πυκνότητες Γραμμική πυκνότητα Εξετάζεται η [110] διεύθυνση του FCC. Αρχή (000), Το επόμενο άτομο βρίσκεται στο (1/2,1/2,0) (Η απόσταση μεταξύ τους είναι 1/2√2a o και καλείται επαναλαμβανόμενη απόσταση). Στον Cu a o =0,3615nm και στην [110] είναι δύο οι επαναλαμβανόμενες αποστάσεις (τρία άτομα). Η γραμμική πυκνότητα για √2a o =0,5112 nm είναι:

Γραμμικές και Επιφανειακές Πυκνότητες Επιφανειακή πυκνότητα: Ο αριθμός των ατόμων που τα κέντρα τους βρίσκονται σε ένα επίπεδο προς την μονάδα επιφανείας. Σε ένα απλό κυβικό (SC) σύστημα το a o =0,334nm. H επιφανειακή πυκνότητα στο (020) είναι 0 διότι δεν υπάρχουν κέντρα ατόμων. Στο (010) είναι:

Οδηγίες για τον προσδιορισμό των κρυσταλλικών επιπέδων Βήματα προσδιορισμού δεδομένου επιπέδου 1.Σημειώνουμε τις συντεταγμένες του επιπέδου σε κάθε ένα από τους τρείς άξονες 2.Λαμβάνουμε το αντίστροφο των αριθμών 3.Μειώνουμε τα αντίστροφα στον μικρότερο ακέραιο αριθμό (μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο)

Η τριάδα των αριθμών που προκύπτει μέσα σε παρένθεση (hkl) υποδηλώνει το υπό εξέταση επίπεδο. Αν το επίπεδο περνά από την αρχή των αξόνων, τότε μεταφέρουμε την αρχή σε άλλη γωνία του πλέγματος. Εναλλακτικά μεταφέρουμε το επίπεδο παράλληλα στον εαυτό του έως ότου να είναι διαθέσιμα τα σημεία τομής. Με κάθε ένα από τους δύο ανωτέρω τρόπους μπορεί να έχουμε το υπό εξέταση επίπεδο να τέμνει ένα μοναδιαίο κελί (ζητούμενο για τον υπολογισμό) Σε ένα κυβικό πλέγμα, το επίπεδο (100) είναι ισοδύναμο με τα (010), (001), (-100), (0-10) και (00-1). Το -1 υποδηλώνει το 1 με την άνω παύλα. Τα παραπάνω έξη επίπεδα αποτελούν την οικογένεια {100}. Οι οικογένειες επιπέδων συμβολίζονται με { } Οδηγίες για τον προσδιορισμό των κρυσταλλικών επιπέδων

Βήματα σχεδιασμού επιπέδου με δεδομένα (hkl) 1.Λαμβάνουμε τα αντίστροφα των αριθμών h, k, l και τα τοποθετούμε στους άξονες x, y και z αντίστοιχα. 2.Τα τρία αυτά σημεία προσδιορίζουν το επίπεδο 3.Αν κάποιος από τους δείκτες είναι μηδέν, το επίπεδο είναι παράλληλο στον αντίστοιχο άξονα (τον συναντά στο άπειρο) 4.Για κάθε αρνητικό δείκτη μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων σε άλλο άκρο του αντιστοίχου άξονα του κελιού Οδηγίες για τον προσδιορισμό των κρυσταλλικών επιπέδων

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων Επιστήμη και Τεχνολογία των Υλικών, W.D. Callister

Τέλος ενότητας