ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 1 η : Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ Διάλεξη: Εσωτερικές δυνάμεις του δίσκου – η δοκός και οι εσωτερικές δυνάμεις της δοκού – τα διαγράμματα της δοκού – η μέθοδος των εμβαδών. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Εξωτερικές δυνάμεις και αντιδράσεις σε δίσκο Έστω ο δίσκος του σχήματος που διαθέτει τον απαραίτητο αριθμό κατάλληλα συνδεδεμένων δεσμικών ράβδων ώστε να είναι ισοστατικός και στον οποίο ενεργούν εξωτερικές δυνάμεις και ροπή. Εξωτερικά στο δίσκο είναι όλα γνωστά (αντιδράσεις και εξωτερικές φορτίσεις). Τι συμβαίνει όμως εσωτερικά στο δίσκο? 2

Τι συμβαίνει στο εσωτερικό του δίσκου? Για να διαπιστωθεί τι συμβαίνει στο εσωτερικό του δίσκου θα πρέπει να γίνει σε αυτόν μια τομή (σε τυχαία θέση). Για να μη διαταραχθεί η ισορροπία (σύμφωνα και πάλι με την αρχή της αποδέσμευσης) θα πρέπει να τοποθετηθούν στα άκρα της τομής οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στο δίσκο. 3

Εσωτερικές δυνάμεις ή τάσεις Εσωτερικές δυνάμεις ή τάσεις: πρόκειται για κατανομή δυνάμεων ίσων και αντίθετων μεταξύ τους. Ο προσδιορισμός της συνισταμένης τους αποτελεί αντικείμενο της κλασικής στατικής και μπορεί να γίνει μέσω των εξισώσεων ισορροπίας για ισοστατικούς φορείς. Οι συνισταμένες των εσωτερικών δυνάμεων (μια σε κάθε άκρο της τομής) είναι ίσες και αντίθετες δυνάμεις, με σημείο εφαρμογής στην πραγματικότητα, το ίδιο σημείο του δίσκου. 4

Δοκός – ορισμός Διαχωρισμός δίσκων: δοκοί και δικτυώματα. Δοκός: φορέας του οποίου οι δύο διαστάσεις (πλάτος και ύψος) είναι πολύ μικρότερες από την τρίτη (μήκος). Μια δοκός μπορεί να έχει πολλών ειδών διατομές. Για τη μελέτη της δοκού απεικονίζεται ένα προσομοίωμά της και συγκεκριμένα ο κεντροβαρικός άξονάς της. Επίσης, επισημαίνεται η ίνα αναφοράς της δοκού. 5

Εσωτερικές δυνάμεις δοκού (1) Εφόσον ο υπό μελέτη δίσκος είναι πλέον μια δοκός, μετά από την τομή θα ισχύει: Για να προσδιοριστεί η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων της δοκού, πρέπει να προσδιοριστεί το σημείο εφαρμογής της, το μέτρο και η διεύθυνσή της. Έστω ότι μεταφέρεται η συνισταμένη στο κέντρο βάρους της διατομής της δοκού. Η μεταφορά αυτή συνοδεύεται από την ανάπτυξη μιας ροπής Μ. 6

Εσωτερικές δυνάμεις δοκού (2) Μετά από την ανάλυση της συνισταμένης σε δύο άξονες, προκύπτει: Ν – αξονική δύναμη: θεωρείται θετική όταν «απομακρύνεται» από τη διατομή (δηλ. προκαλεί εφελκυσμό). Q – τέμνουσα δύναμη: η θετική της φορά προσδιορίζεται από την περιστροφή της θετικής Ν σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Μ – ροπή κάμψης: θεωρείται θετική όταν προκαλεί εφελκυσμό στην ίνα αναφοράς. 7

Φορτία διατομής δοκού Τα N, Q, M ονομάζονται φορτία διατομής (συνισταμένες των εσωτερικών δυνάμεων). Αν γίνει τομή στη δοκό σε διαφορετική θέση, η κατάσταση θα αλλάξει και τα αποτελέσματα θα είναι διαφορετικά. Τα Ν, Q, Μ γενικώς μεταβάλλονται κατά μήκος της δοκού. Είναι συναρτήσεις που εξαρτώνται από τη θέσης τομής, δηλ. την απόσταση x από κάποιο σημείο αναφοράς (είναι δηλ. N(x), Q(x), M(x)). 8

Σύμβαση σχεδίασης διαγραμμάτων Ν, Q, Μ Σύμβαση σχεδίασης των διαγραμμάτων (δηλ. απεικόνισης των συναρτήσεων) N(x), Q(x), M(x): Εξαρτάται από τη θέση που έχει τοποθετηθεί η ίνα αναφοράς και πραγματοποιείται σύμφωνα με τα παρακάτω σχήματα: 9

Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ Ν, Q, M? Έστω η αμφιέρειστη δοκός του σχήματος: Έστω, επίσης, ένα απειροστό κομμάτι της δοκού, μήκους dx. Αφού απομονωθεί το στοιχείο αυτό από τη δοκό, εξετάζεται η ισορροπία του. dN, dQ, dM: η μεταβολή των N, Q, M στο μήκος dx. 10

Εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας στη δοκό Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις ισορροπίας προκύπτει: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: η μεταβολή του N στο μήκος dx είναι μηδενική στην περίπτωση που ασκείται μόνο κατακόρυφο εξωτερικό φορτίο στη δοκό. Επίσης: Εξ. (1) 11

Συσχέτιση μεταξύ Q και Μ Εξ. (2) Από Εξ. (1) και (2): Εξ. (3) 12

Υπολογισμός των Q και Μ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Η τέμνουσα δύναμη Q και η ροπή κάμψης Μ είναι μεγέθη αλληλένδετα μεταξύ τους και με το κατανεμημένο φορτίο q(x). Η εύρεση της αξονικής δύναμης Ν αποτελεί ένα ανεξάρτητο πρόβλημα – δε συνδέεται με τον υπολογισμό της τέμνουσας δύναμης και της ροπής κάμψης. Για την περίπτωση που είναι γνωστό το q(x) και ζητούμενα τα Q και M, τότε: Εξ. (4) Εξ. (5) όπου c1 και c2 σταθερές που εξαρτώνται από τις συνοριακές συνθήκες. 13

Εφαρμογή με ζητούμενο τον υπολογισμό των Q και Μ Εάν το φορτίο q(x) είναι σταθερό τότε η εξίσωση του Q(x) είναι μια γραμμικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση 1 ου βαθμού και η εξίσωση του Μ(x) είναι μια συνάρτηση 2 ου βαθμού. Έστω η αμφιέρειστη δοκός του σχήματος, στην οποία ασκείται σταθερό κατανεμημένο φορτίο q. Ζητούμενο είναι ο υπολογισμός των διαγραμμάτων Q και Μ. 14

Εύρεση αντιδράσεων της δοκού Αρχικά, γίνεται μια τομή πολύ κοντά στην αριστερή στήριξη. Από ισορροπία δυνάμεων και Εξ. (4): Από ισορροπία δυνάμεων: Επίσης, ισχύει: 15

Μέθοδος των εμβαδών – διάγραμμα Q Η Q(x) στο σημείο Γ από Εξ. (4) είναι: Το ορισμένο αυτό ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει το εμβαδό του διαγράμματος φόρτισης από το 0 έως το Γ. Έτσι, χαράζεται το διάγραμμα των Q με τη βοήθεια της μεθόδου των εμβαδών. 16

Μέθοδος των εμβαδών – διάγραμμα M Αντίστοιχα, το διάγραμμα των ροπών Μ(x) προκύπτει από τον υπολογισμό των εμβαδών του διαγράμματος Q(x) για τα διάφορα σημεία. Από την Εξ. (5): Το διάγραμμα των ροπών είναι μια παραβολή 2 ου βαθμού που διέρχεται από τις στηρίξεις και εμφανίζει τη μέγιστη τιμή της (βέλος) στο μέσο της δοκού: 17

Διαδικασία χάραξης του διαγράμματος Μ Για τη χάραξη της παραβολής 2 ου βαθμού που αποτελεί το διάγραμμα των ροπών, αρχικά σχεδιάζουμε στο μέσο της δοκού το διπλάσιο του βέλους f. Ακολούθως, ενώνεται το σημείο 2f με τα σημεία των στηρίξεων και σχεδιάζεται ευθεία παράλληλη προς τη δοκό, που διέρχεται από το σημείο f. Ζητούμενη είναι η καμπύλη που έχει εφαπτομένες τις τρεις αυτές ευθείες, όπως φαίνεται και στο σχήμα: 18

Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των εμβαδών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω η αμφιέρειστη δοκός του σχήματος, στην οποία επιβάλλεται μόνο ένα συγκεντρωμένο φορτίο Ρ στο μέσο της. Να σχεδιαστούν τα διαγράμματα Q(x) και M(x) με τη μέθοδο των εμβαδών. 19