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MHD 数値シミュレーションの基 礎 千葉大学・花輪知幸 ニュートン流体力学方程式 (ニュートン)磁気流体力学方程式 相対論的流体力学方程式 相対論的磁気流体力学方程式 一部のスライドは 高橋博之さんからの借用.

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1 MHD 数値シミュレーションの基 礎 千葉大学・花輪知幸 ニュートン流体力学方程式 (ニュートン)磁気流体力学方程式 相対論的流体力学方程式 相対論的磁気流体力学方程式 一部のスライドは 高橋博之さんからの借用

2 保存形式 重力、遠心力、加熱・冷 却

3 相対論的磁気流体力学 ー保存形式ー 原始変数

4 Gauss の法則 (Stokes の定理 )

5 保存量と流束 保存量はセル平均の値

6 評価点を変える Staggered Mesh Constrained Transport は表面で評価 o 長所 o 自然に空間2次精度、磁束の保存 o 短所 o 補間による拡散、モードの分離

7 数値天文学でふつうの解き方 セルの面ごとに流束を計算し、その和により変 化させる (方向別分離) –fractional time step は流行っていない セルの境界とベクトルは垂直 – 円筒座標なら – 航空などではセルを斜めにしても、」ベクトルはデ カルトのまま。 拡散や加熱冷却は、流体の計算と別ステップ 流体は陽解法で時間変化を求める。 ガスは圧縮性

8 セル内の物理量の分布 高階微分は変数としない。 –CIP などでは1階微分も計算 セル幅より短波長の波を考えない – サブグリッドモデルは採用しない 適当な物理量が一定とする – 角速度、温度などが一定とする – セル内に圧力勾配を考える( LeVeque の方 法)

9 課題 原始変数 V から 流束 F を求める – 空間精度 (2次以上) 衝撃波に対する安定性 負の密度、負の圧力の排除 カーバンクル不安定 – 時間精度 (2次以上) 磁気モノポール( div B) の消去 保存量 U から原始変数 V を求める V → F → U 更新 → V

10 数値流束計算で考えること 流束を求める点での物理量を求める – 物理量はセルでの平均値 流束も時間変化する – 時間方向に積分された流束が必要 RRRLLL

11 単純平均は失敗 ー奇妙な数値振動の発生ー

12 方向別分離: 1 次元磁気流体力学方程式 7成分 div B = 0 の 制約がある ために自由 度が減る。

13 (Sod の ) 衝撃波管問題 Riemann の解 ρ P ByBy データは Balsara (1998) セル境界の値は「平均」でない!

14 Godunov type solvers 波の伝播を考慮する Godunov ( 厳密解 ) – Fast×2, Slow ×2, Alfven ×2, Entropy Roe ( 振幅の滑らかな変化を無視) HLLD (Fast と Slow を区別しない) HLLC (Fast, Slow, Alfven を区別しな い ) HLL ( 中間状態をひとつだけ考える) 精密 面倒 簡単 粘性大

15 Riemann 解と特性速度 ρ ξ = t/x

16 特性速度 対角化

17 Roe ULUL U1U1 U2U2 U3U3 U4U4 U5U5 U6U6 URUR 衝撃波の Jump Condition U n と λ n は U R と U L の関数

18 HLL 保存則 ULUL UMUM URUR λ L と λ R の とり方に 多様性

19 特性速度 速い磁気音波 アルフヴェン波 遅い磁気音波 エントロピー波

20 セル境界での特性速度 ULUL URUR Roe 平均 保存量 U は W の自乗で表せる

21 固有モード f A s c s A f

22 固有モード 縦波 f, s 横波 A エントロピー波 c f A s c s A f

23 横波とエントロピー波は区別しや すい

24 縦波 : Fast & Slow Ryu & Jones (1995)

25 特性速度は大きめに評価 速度差は実効的音 速を増やす。 C A' * も平均の磁場 からけいさんされ るより大きい Cargo & Gallice (1998) 一般の状態方程式 Nobuta & TH, Mikami et al.

26 HLL 系では付加条件が必要 波の分解が不十分なので、整合条件だけ では足りない。 付加的な条件が必要 特性速度を大きめにとると、密度・圧力 が正に保たれる (cf. Miyoshi et al.)

27 どこで 特性速度を見積もる か 絶対値が大きいものが良い。 符号が同じなら平均で十分(とくに滑 らかな変化の場合は平均が良い) 符号が変わる場合は、平均より絶対値 を大きめにとる(エントロピーフィッ クス)

28 特性速度と数値粘性

29 数値粘性は必要悪 数値粘性は、波を熱に変える。 – 下げないと熱発生源 – 実効的な分解能を低下させる – 計算量を増加させる 数値粘性をなくすと、余計な波を発生

30 Courant 条件 波の伝播速度による制限 Courant 数 |λ| Δt / Δx < 1 隣の隣に波が伝播しない 多次元では条件をきつくする 磁気力優勢の領域ではきつめに 許される範囲内で Δt は大きめに

31 境界条件 対称境界は容易 (鏡像をつくる) – 無駄な領域(袖)をつくる – 袖の値は、元の領域から対称性により求める。 – 流束の計算よりさきに境界を処理 反射のない境界(消極的な境界)は難し い

32 Godunov 法でも誤差は残る 平均化による誤差 – 混合によるエントロピー増加 セル内を一様と仮定した誤差 – 空間1次精度

33 空間2次精度 線形補間ではうまくゆかない – Godunov の定理 TVD: total variation dimishing – 「波の」単調性 ( 数値振動なし )

34 空間2次精度 ( 高次精度化 ) 変数が階段的に変わるとしたことが原因 変数が滑らかに変化していることを考慮 単純平均はだめ – 元の木阿弥 – 「風上」性が失われる 補間のしかたに工夫が必要 – 面倒な公式が不可避 Godunov の定理 線形補間は ×

35 風上性を考慮して外挿 極大・極小で不自然な振動 単調性の保持 (TVD) total variation diminishing

36 Minmod 補間 穏健な補間 勾配は少なめに

37 どの変数を補間するべきか 原理的には波の振幅 (δw k ) を補間すべき 流体力学では 原始変数を補間している。 保存量の補間は良くない。 温度より、圧力がまし。 磁気流体では、縦波・横波に分けて補間し たほうが良い。 – 大振幅アルフヴェン波のテスト (Fukuda & TH) 角速度を補間すると良い。(対称軸の付 近) 座標値やシフトベクトルは補間しない

38 時間2次精度 時刻とともに流束は変化する。 [t, t+Δt] で積分した値を求める。

39 進んだ時刻での物理量 Δt/2 進んだセル境界での原始変数を推定 –MUSCL-Hancock Δt/2 あるいは Δt 進んだセル中心の解をもとめる。 –Δt 進んだ解を使うほうが衝撃波に強い

40 方向分離の問題 波面の向きによる依存性 斜めの波は2成分に分離 斜めの情報は直接入らない ∇・ B の発生源

41 div B の消去 Hyperbolic Divergence Cleaning Dedner et al., JCP, 175, 645 (2002)

42 古典的な ∇・ B 消去 双極子磁場を付加  流体と一緒に流す  拡散させる

43 GLM 形式 拡散しながら伝 播 付加関数 ψ

44 付加関数の電信方程式 1ステップ弱で隣 にモノポールを移 動。 数ステップで消滅

45 GLM 形式の成分表示と長所 陽解法 Poisson 方程式は解かない 遠方への影響は限定的

46 RMHD 近似リーマン解法の発展 1983 HLL スキーム (Harten & Lax & van Leer ‘83) 2003 HLL スキームを RMHD へ応用 (Gammie et al. ’03) 2005 exact Riemann solver (Bx=0) (Romero et al. ’05) 2006 exact Riemann solver (Bx\=0) (Giacomazzo et al. ’06) 2006 HLLC スキーム (Mignone & Bodo ’06, Honkkila Janhunen ’06) 2009 HLLD スキーム (Mignone et al. ’08) 2010 Roe スキーム (Anton et al. ’10) ideal RMHD のスキームはだいぶ 確立されている

47 保存量 U から原始変数 V へ Balsara ’01 5x5 Matrix Jacobian Komissarov ’99: 3x3 nonlinear eqns.( 密度、圧力、速度の絶対値) del Zanna et al. ’03: 2x2 nonlinear eqns. (a equation?) (圧力、速度の絶対値 ) Mignone & Bodo ’06: a nonlinear equation. を独立変数とした1次元の非線形方程式 この式を Newton-Raphson 法で解く (Mignone & Bodo ’06 の論文には式の間違いが多いので注意 ) γ>100 を超えるにはまだ難しい、、、

48 知っておくと良い知識 危険箇所 カーバンクル不安定 偽の加熱 既知の磁場と摂動 計算コストの削減 – パレトの法則

49 カーバンクル不安定 等速度面 (TH, Mikami, Matsumoto)

50 危険箇所 伝播速度 λ が 0 に近いところ – 特性曲線が集まるところ 衝撃波 – 特性曲線が開くところ 膨張衝撃波の危険 – 定在衝撃波は解きづらい 磁気力が優勢なところ – わずかな磁場の変化が流体に大きな変化をあ たえる。 –force free は計算しづらい

51 偽の加熱 Godunov 型で静水圧平衡を普通に解くと偽 の加熱が発生 ρ v は「数値流束」を 用いると良い。セル中 心の値は良くない。 LeVeque (2003), Mikami et al. (2008)

52 既知の磁場を差し引く 強い双極子磁場をもつ場合 球座標で一様磁場をとく場合 Tanaka

53 計算コストの削減 実効的な分解能の2倍低下を、細かい格 子で補うにと16倍の計算量増加 一般には高次精度のほうが得 コストを決めているのは2割の要素 – パレトの法則 (2:8の法則)


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