Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα

Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα Data Engineering Lab

2 Σχετικά με το μάθημα Ώρες γραφείου: ποτέ Ώρες επικοινωνίας: πάντα
Δικτυακός Τόπος Μαθήματος: Ώρες Μαθήματος: Τρίτη 14:00-16:00 (Αίθουσα Α) Πέμπτη 12:00-14:00 (Αίθουσα Α) Τρόπος Εξέτασης: Περίοδος Ιουνίου-Σεπτεμβρίου ή Απαλλακτικά Θέματα Data Engineering Lab

3 Η απαρχή της Θεωρίας Γράφων
Το Königsberg της Πρωσσίας ιδρύθηκε το 1255 από Τεύτονες ιππότες και ήταν η πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσίας μέχρι το 1945. Σήμερα είναι το Ρωσικό Kaliningrad (μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας στη Βαλτική) Ήταν μεγάλο κέντρο για αιώνες και πατρίδα των Goldbach, Hilbert, Kant και Wagner. Data Engineering Lab

4 Leonhard Euler ( ) Γεννήθηκε στη Βασιλεία και θα γίνοταν πάστορας, όπως ο πατέρας του. Σπούδασε Εβραϊκά και Θεολογία αλλά πήρε και μαθήματα από τον Bernoulli. Το 1727 έπιασε δουλειά στο Ιατρικό τμήμα του Πανεπιστημ. της Α.Πετρούπολης αλλά μετά το θάνατο της Αικατερίνης Ι ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά. Data Engineering Lab

5 Leonhard Euler ( ) Παντρεύτηκε το 1733, είχε 13 παιδιά, ενηλικιώθηκαν τα 5. Το 1741 μετακόμισε στο Βερολίνο και έμεινε 25 χρόνια. Δημοσίευσε >500 βιβλία και εργασίες εν ζωή και 400 μετά θάνατο. Εφηύρε τους συμβολισμούς i, π, e, sin, cos, f(x) και άλλους! Έχασε την όραση του αλλά έγινε παραγωγικότερος. Είπε: “now I have fewer distractions” Data Engineering Lab

6 Οι 7 γέφυρες του Königsberg
Data Engineering Lab

7 Ο γράφος κορυφή ακμή Data Engineering Lab

8 Μη κατευθυνόμενος γράφος
2 3 1 4 Data Engineering Lab

9 Περίπατος και Μονοπάτι
V2 V3 V1 V6 V4 V5 Περίπατος: ακολουθία συνδεδέμενων κορυφών Μονοπάτι: περίπατος χωρίς επανάληψη κορυφών Data Engineering Lab

10 Λύση Euler Συνθήκη για να υπάρχει μονοπάτι που περνά από όλες τις κορυφές: όλες οι κορυφές να έχουν άρτιο βαθμό Μονοκοντυλιά traversability Data Engineering Lab

11 Εύρεση κύκλων σε πολύεδρα
Thomas P. Kirkman William R. Hamilton Hamiltonian κύκλοι σε πλατωνικούς γράφους Data Engineering Lab

12 Δένδρα σε ηλεκτρικά κυκλώματα
Gustav Kirchhoff Data Engineering Lab

13 Απαρίθμηση σε χημικά ισομερή
Arthur Cayley James J. Sylvester George Polya Data Engineering Lab

14 Χρωματισμός χαρτών Francis Guthrie Auguste DeMorgan
Data Engineering Lab

15 Παράδειγμα 4-Χρωματισμού
Handout: can YOU do a 4-colouring?

16 Η Εικασία των 4 χρωμάτων Το 1976, οι Kenneth Appel και Wolfgang Haken ανακοίνωσαν την απόδειξη (με τη βοήθεια υπολογιστή) της Εικασία των 4 χρωμάτων, ένα άλυτο πρόβλημα επί αιώνες. Data Engineering Lab

17 Εφαρμογές γράφων Εφαρμογή Κορυφές Ακμές Ροή Communications Circuits
Telephones exchanges, computers, satellites Cables, fiber optics, microwave relays Voice, video, packets Circuits Gates, registers, processors Wires Current Mechanical Joints Rods, beams, springs Heat, energy Hydraulic Reservoirs, pumping stations, lakes Pipelines Fluid, oil Financial Stocks, currency Transactions Money Transportation Airports, rail yards, street intersections Highways, railbeds, airway routes Freight, vehicles, passengers Data Engineering Lab

18 Κατευθυνόμενος γράφος
2 3 1 4 Data Engineering Lab

19 Συνδεσμικότητα Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία; Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της; Data Engineering Lab

20 Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον;
Λειτουργία δικτύων A B C D A B C D Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον; Βλάβη Data Engineering Lab

21 Ζυγισμένος γράφος (weighted)
2 4 3 1 8 6 9 2 4 3 1 1.2 2.1 0.2 0.5 Data Engineering Lab

22 Συντομότερη διαδρομή Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία; Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος; Data Engineering Lab

23 GPS – Πλοήγηση Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών … Data Engineering Lab

24 Routing in Internet (TCP/IP)
V1 1 4 3 6 2 5 V2 V3 V7 V6 V5 V4 D3=2 D2=1 D7=3 D6=6 D5=7 Data Engineering Lab

25 Γρίφος (3 utilities) ΔΕΗ ΟΤΕ ΕΥΑΘ
Σύνδεσε τα 3 σπίτια με τις 3 παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις Data Engineering Lab

26 Προσπαθήστε… Σπίτι 2 με ΟΤΕ; Data Engineering Lab

27 Επιπεδικότητα Μπορεί ένας γράφος να σχεδιασθεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές; Data Engineering Lab

28 Ωκεανία Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα) Data Engineering Lab

29 Ελάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα
1 2 3 4 5 A B C D E F G 10 6 7 12 9 Data Engineering Lab

30 Λύση 1 2 A B C D E F Data Engineering Lab

31 Σκάκι (πρόβλημα κυριαρχίας)
Πως να τοποθετήσω τις 8 βασίλισσες χωρίς να απειλούνται; Data Engineering Lab

32 Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (Hamiltonian περίπατος)
Data Engineering Lab

33 Χάρτες (χρωματισμός) Πως να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό), ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα; Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο; Η απόδειξη του 4 Data Engineering Lab

34 Ανάλυση συνδέσμων Ποιοι κόμβοι είναι κεντρικοί; Data Engineering Lab

35 Δίκτυο metro (Λονδίνο)
Data Engineering Lab

36 Χάρτης επιστήμης (science map)
Data Engineering Lab

37 Δίκτυα συν-συγγραφέων
Data Engineering Lab

38 Δίκτυα αναφορών (citations)
Data Engineering Lab

39 Κοινωνικά δίκτυα small-world 6 hops Data Engineering Lab

40 Το Φαινόμενο του Μικρού Κόσμου
Ο Stanley Milgram έστειλε ένα σύνολο επιστολών από τις Μεσοδυτικές πολιτείες των ΗΠΑ προς τη Βοστώνη. Κάθε φορά, οι επιστολές μπορούσαν να αποσταλούν μόνο προς γνωστούς αποστολείς. Ο Milgram κράτησε τα ίχνη των επιστολών και βρήκε ότι η μέση τιμή του μήκους των ιχνών ήταν περίπου 6, διατυπώνοντας έτσι την αρχή του «6 degrees of separation." Data Engineering Lab

41 Το Παιχνίδι του Kevin Bacon
Το παιχνίδι συνίσταται στην εύρεση μονοπατιού προς τον Bacon από τυχόν άτομο του Hollywood με <=6 βήματα. Bacon Number # of People 1 1766 2 141840 3 385670 4 93598 5 7304 6 920 7 115 8 61 Connery Number # of people 1 2216 2 204269 3 330591 4 32857 5 2948 6 409 7 46 8 Rod Steiger is the center of the Hollywood universe as of April 29, 2003 (Average Steiger number— Sean is #13 Average Bacon number: 2.947 Average Connery Number: Ο Bacon είναι ο 1222ος πλέον συνδεδεμένος ηθοποιός του Hollywood. Data Engineering Lab

42 Δίκτυο χρέους Data Engineering Lab

43 Δίκτυο επιστημονικής συνεργασίας
Data Engineering Lab

44 Δίκτυο γενετικής αλληλεπίδρασης
Data Engineering Lab

45 Σχέσεις μεταξύ επιχειρήσεων βιοτεχνολογίας των ΗΠΑ
Data Engineering Lab

46 Δίκτυο αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών
Data Engineering Lab

47 Όλο και μεγαλύτεροι γράφοι
νέες κατευθύνσεις στη Θεωρία Γράφων