Σχολικό Έτος: ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: 7o ΓΕ.Λ ΙΛΙΟΥ

Παρουσίαση με θέμα: "Σχολικό Έτος: ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: 7o ΓΕ.Λ ΙΛΙΟΥ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Σχολικό Έτος: 2012-2013 ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: 7o ΓΕ.Λ ΙΛΙΟΥ
ΑΡΙΘΜΗΣΗ: Από τα χαλίκια του τροφοσυλλέκτη έως …

2 Υπεύθυνος Καθηγητής: Θεοδόσης Φίλιππας
A’ Ομάδα Βασίλης Καλογερόπουλος Διονύσης Κατσίκης Πέτρος Κοσκινάς Άρης Κουτολογένης Β’ Ομάδα Γιώργος Κουτσουμάρης Ιλιάνα Κοτρώνη Γκλόρια Μόλση Δήμητρα Παναγοπούλου Γ’ Ομάδα Άγγελος Μιχαλόπουλος Νεκτάριος Μπάλα Ανδρέας Πετράκος Δημήτρης Πρίφτη Δ’ Ομάδα Αντώνης Λένος Νίκος Μαυρομάτης Σπύρος Πετρόπουλος Νίκος Σιδέρης Σπύρος Τζές (Γιώργος Τσίτος)

3 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Χρειαζόμαστε:
Ένα Λεξιλόγιο (ορολογία των Μαθηματικών) για την ακρίβεια της επικοινωνίας. Τέτοιοι όροι είναι: Σύνολο: Μια συλλογή αντικειμένων. Στοιχείο συνόλου: Κάθε αντικείμενο ενός συνόλου. Πληθικός αριθμός συνόλου: Ο αριθμός που προσδιορίζει πόσα αντικείμενα υπάρχουν σε ένα σύνολο.

4 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Τι είναι ένας φυσικός αριθμός ;

5 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Πως ορίζεται η Αρίθμηση;
Δεν είναι αρίθμηση το ένα ,δύο, τρία που λέει ένα μικρό παιδί μιμούμενο τις προτροπές ενός μεγαλύτερου. Αρίθμηση είναι η απάντηση στο ερώτημα: ΠΟΣΑ ΕΙΝΑΙ; Γι’ αυτό, απαιτούνται ΤΡΕΙΣ δραστηριότητες: Να ξέρουμε πόσα είναι Να αγγίζουμε ή να δείχνουμε διαδοχικά τα αντικείμενα Να λέμε διαδοχικά τις αριθμητικές λέξεις. Δηλαδή να ορίζουμε μια 1-1 απεικόνιση ενός υποσυνόλου των Φυσικών Αριθμών στα στοιχεία ενός άλλου συνόλου.

6 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; 1-1 Απεικόνιση
Ένα…………………….. αντίχειρας Δύο ……………………. δείκτης Τρία …………………… μέσος Τέσσερα……… παράμεσος Πέντε…………… μικρός

7 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Τα μέρη του εγκεφάλου που χρησιμοποιούνται για την αρίθμηση περιλαμβάνουν τις περιοχές εκείνες που είναι επιφορτισμένες με: την αφαιρετική ικανότητα (να ξέρουμε πόσα είναι) τις διαδοχικές κινητικές δεξιότητες (να αγγίζουμε ή να δείχνουμε διαδοχικά), και τις γλωσσικές δεξιότητες (να λέμε διαδοχικά τις αριθμητικές λέξεις) Επομένως η αρίθμηση είναι μια δεξιότητα που αποκτιέται ύστερα από τη γλώσσα.

8 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Αρίθμηση χωρίς λέξεις
Οι πρωτόγονες φυλές χρησιμοποιούσαν τη μη γλωσσική αρίθμηση χρησιμοποιώντας δύο μόνο αριθμητικές λέξεις. Ένα-Δύο. Όλα τα άλλα ήταν πολλά. Η φυλή Βέντα έβρισκε τον πληθικό αριθμό ενός συνόλου (π.χ. πόσα ζώα έχω) απεικονίζοντας ένα κλαδί ή χαλίκι για κάθε ένα ζώο. Ο σωρός με τα κλαδιά ή με τα χαλίκια είναι ο πληθικός αριθμός των ζώων. Απαντούσε λοιπόν στην ερώτηση πόσα είναι χωρίς να μπορει να πει τη κατάλληλη αριθμητική λέξη, δηλαδή χωρίς τη χρήση ομιλίας (ΚΑΡΛ ΜΕΝΙΝΓΚΕΡ: Αριθμητικές λέξεις και αριθμητικά σύμβολα:Μια πολιτισμική ιστορία των αριθμών)

9 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Για την απλή αρίθμηση με κλαδιά ο άνθρωπος της φυλής Βέντα θα πρέπει: 1ον: να κατέχει την αφηρημένη έννοια του αριθμού του πλήθους στοιχείων ενός συνόλου 2ον: να σχεδιάζει μια σειρά χειριστικών ενεργειών για να απεικονίσει κάθε κλαδί σε ένα ζώο, χωρίς διακοπή, αφού οποιαδήποτε διακοπή θα δώσει λάθος πληθικό αριθμό.

10 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Οι διάφορες αριθμητικές πράξεις συμβαίνουν στην περιοχή του εγκεφάλου όπου βρίσκεται η ανθρώπινη συνείδηση. Ο ΕΡΙΧ ΧΑΡΘ στο βιβλίο του Παράθυρα του νου υποστηρίζει ότι η ανθρώπινη συνείδηση είναι φαινόμενο ολόκληρου του νευρικού συστήματος το οποίο εκτείνεται πολύ πιο πέρα από την κρανιακή κοιλότητα, πιθανόν ως την ίδια την επιφάνεια του σώματος κι ακόμη παραπέρα.

11 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Χάρτης του Εγκεφάλου

12 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; O ρόλος του εγκεφάλου στην αρίθμηση
Για να προσδιορίσουμε το ρόλο του εγκεφάλου στην αρίθμηση θα επικεντρωθούμε στο νεοφλοιό ο οποίος αποτελεί την έδρα της μνήμης, της μάθησης και των πνευματικών δεξιοτήτων καθώς και το χώρο στον οποίο εδρεύουν σημαντικές λειτουργίες όπως η όραση, η ακοή και η γλώσσα. Θα ήταν ωραία αν μπορούσαμε να δείξουμε ένα μικρό εξόγκωμα του εγκεφάλου και να πούμε «εδώ είναι το σημείο όπου εδρεύει η αριθμητική ικανότητα», δυστυχώς όμως ο εγκέφαλος είναι εξαιρετικά πολύπλοκο όργανο για να συμβεί κάτι τέτοιο. Το δεξί ημισφαίριο φαίνεται να είναι ζωτικής σημασίας όσον αφορά την εκμάθηση της αρίθμησης, αφού το πρώτο βήμα για την αρίθμηση είναι η ανακάλυψη του πλήθους των στοιχείων ενός συνόλου.

13 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Το αριστερό ημισφαίριο συνδέεται επίσης με διαδοχικές λειτουργίες όπως ο σχεδιασμός και η εκτέλεση μίας σειράς δραστηριοτήτων. Κυριαρχεί επίσης στις συμβολικές και στις αφηρημένες διεργασίες και επομένως τις αποδίδουμε συνήθως στις μαθηματικές πράξεις οι οποίες είναι από τη φύση τους συμβολικές αλλά και διαδοχικές. Περιοχή GERSTMAN Σύνδρομο που συνεπάγεται την απώλεια αναγνώρισης των δακτύλων (οπότε και της κίνησής τους), την έλλειψη προσανατολισμού (δεξιά - αριστερά), άρα και την ανικανότητα απλών αριθμητικών υπολογισμών, αφού υπάρχει συσχέτιση αρίθμησης – δακτύλων.

14 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Κάποιοι νευρολόγοι υποστηρίζουν ότι η αρίθμηση και οι υπολογιστικές δεξιότητες εδρεύουν σε μια περιοχή η οποία βρίσκεται στο μπροστινό μέρος του εγκεφάλου μας και ονομάζεται προμετωπιαίος φλοιός. Το προμετωπιαίο βοηθάει στον έλεγχο συναισθημάτων, στη σχέση παρελθόντος – μέλλοντος και στο σχεδιασμό μελλοντικών δραστηριοτήτων. Κι επειδή η αρίθμηση περιλαμβάνει προσχεδιασμένη δραστηριότητα των χεριών, οποιαδήποτε κάκωση αυτής της περιοχής, παρεμποδίζει την εν λόγω δραστηριότητα. Ως τελικό συμπέρασμα, για το που πραγματοποιείται η αρίθμηση στον εγκέφαλο, μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι δεν υπάρχει ένα κέντρο αρίθμησης. Υπάρχουν διαφορετικές περιοχές οι οποίες εμπλέκονται στις δεξιότητες που μας είναι γνωστές ως επίγνωση των αριθμών.

15 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Ηλικία και Αρίθμηση
Η ικανότητα της αρίθμησης γεννιέται στον άνθρωπο, αφού έχει αναπτυχθεί πλήρως ο εγκέφαλός του (έως τον έκτο χρόνο). Τότε υπάρχουν πια οι δύο απαραίτητες προϋποθέσεις: 1η: Ανάπτυξη των κινητικών και λεκτικών δεξιοτήτων. 2η: Εκπαίδευση, δηλαδή κάποιος από τους γονείς μας, μας δείχνει πώς να μετράμε ανάμεσα στα δύο και τέσσερά μας χρόνια.

16 ΠΩΣ ΜΕΤΡΑΜΕ; Το ερώτημα «ΠΟΣΑ ΕΙΝΑΙ» στο οποίο η αρίθμηση και οι αριθμοί στοχεύουν να δώσουν απάντηση είναι ένα ερώτημα θαμμένο στην ίδια την ανθρώπινη φύση μας.

17 ΑΡΧΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
Πότε ξεκίνησε το ανθρώπινο είδος να αριθμεί και πώς; Ο άνθρωπος χρειάστηκε χρόνια για να οδηγηθεί στην αφηρημένη έννοια των αριθμών. Ο Homo Sapiens ( χρόνια πριν) αριθμεί με κλαδιά. Ο Homo Sapiens Sapiens ( χρόνια πριν) χρησιμοποιεί κάποιες αριθμητικές λέξεις. Οι κυνηγοί - τροφοσυλλέκτες ( χρόνια πριν) καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση. Επειδή μοίραζαν την τροφή τους καταλαβαίνουμε ότι αντιλαμβανόντουσαν τη διαίρεση.

18 ΑΡΧΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το π. Χ . Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου. Επίσης κόκαλα της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το π.Χ . φέρει 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε, οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων.

19 ΑΡΧΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Αρίθμηση με το Σώμα
Η αρίθμηση με τα δάχτυλα μπορεί να είναι εξίσου παλαιά με την αρίθμηση με κλαδιά, αφού δεν είναι λεκτική. Η πρόοδος σε σχέση με αυτή των κλαδιών ή χαλικιών είναι ότι εισάγει τη διάταξη στους αριθμούς, αφού όλα τα δάκτυλα δεν είναι ίσα. Από την αρίθμηση με τα δάχτυλα οδηγηθήκαμε στην αρίθμηση με το σώμα. Παράδειγμα ενός συστήματος αρίθμησης με το σώμα στους ιθαγενείς ενός νησιού της Παπούα – Νέας Γουινέας 1 = δεξί μικρό δάχτυλο 12 = μύτη 2 = δεξιός παράμεσος 13 = στόμα 3 = δεξιός μέσος 14 = αριστερό αυτί 4 = δεξιός δείκτης 15 = αριστερός ώμος 5 = δεξιός αντίχειρας 16 = αριστερός αγκώνας 6 = δεξιός καρπός 17 = αριστερός καρπός 7 = δεξιός αγκώνας = αριστερός αντίχειρας 8 = δεξιός ώμος 19 = αριστερός δείκτης 9 = δεξί αυτί 20 = αριστερός μέσος 10 = δεξί μάτι 21 = αριστερός παράμεσος 11 = αριστερό μάτι 22 = αριστερό μικρό δάχτυλο

20 ΑΡΧΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
Στη συνέχεια, οι άνθρωποι αντί να χρησιμοποιούν κλαδιά ή χαλίκια αποφάσισαν να προσδιορίσουν τους αριθμούς με λέξεις όταν εμφανίστηκε για πρώτη φορά η γρήγορη φωνητική ομιλία δηλ. όχι νωρίτερα από χρόνια. Οι πρόγονοι του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης είναι το πενταδικό-δεκαδικό και το πενταδικό- εικοσαδικό. Στο ερώτημα γιατί πέρασαν εκατομμύρια χρόνια για να ανακαλύψει ο πρωτόγονος άνθρωπος τους αριθμούς, αφού είχε άφθονο χρόνο ως «κυνηγός-τροφοσυλλέκτης» να σκεφθεί, η απάντηση είναι ότι ΑΥΤΌ ΤΟ ΚΑΝΕΙ Η ΑΝΑΓΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ και όχι ο ελεύθερος χρόνος.

21 Μπορούν ή δεν μπορούν τα ζώα να μετρήσουν;
Η ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΣΕ ΑΛΛΑ ΕΙΔΗ Ειδικοί στο τομέα της συμπεριφοράς των ζώων καταλήγουν σε αντίθετα αποτελέσματα στο ερώτημα: Μπορούν ή δεν μπορούν τα ζώα να μετρήσουν; Ο έξυπνος Χανς ήταν ένα άλογο που με εντολή του εκπαιδευτή του, όχι μόνο μπορούσε να μετρήσει αλλά να προσθέτει και να αφαιρεί, χτυπώντας σωστά τις οπλές του στο χώμα. Οι ερευνητές ανακάλυψαν ότι το άλογο αντιδρούσε σε ασυνείδητα μηνύματα του εκπαιδευτή του και σταματούσε, όταν αυτός ή οι άνθρωποι γύρω του ήξεραν τη σωστή απάντηση. Αν, όμως, του έκανε μια ερώτηση κάποιος που δεν γνώριζε την απάντηση, ο έξυπνος Χανς, έχανε τις μαθηματικές του ικανότητες.

22 Η ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΣΕ ΑΛΛΑ ΕΙΔΗ Το τελικό συμπέρασμα μετά από μελέτες σε έντομα, πουλιά και θηλαστικά είναι ότι προς το παρόν, δεν έχουμε στοιχεία ότι κάποιο ζώο μετράει, έτσι όπως ορίζουμε Μαθηματικά αυτό τον όρο. Ωστόσο η φύση και το μέγεθος του εγκεφάλου των δελφινιών και των φαλαινών υποδηλώνουν ότι έχουν την ευφυΐα που είναι απαραίτητη για την αρίθμηση.

23 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Η γέννηση των αγροκαλλιεργειών στη Γόνιμη Ημισέληνο
Με την εμφάνιση των αγροκαλλιεργειών γύρω στο π.Χ. στη Γόνιμη Ημισέληνο, αρχίζει σιγά σιγά (περίπου π.Χ. να παράγεται πλεόνασμα τροφών. Οι πρώτες πόλεις εμφανίστηκαν στο κατώτερο τμήμα της Μεσοποταμίας, σε μια περιοχή που σήμερα αποτελεί το νότιο τμήμα του Ιράκ. Οι πόλεις αυτές δημιούργησαν ένα πλεόνασμα ενεργού ανθρώπινου δυναμικού, η εργατική δύναμη του οποίου κατευθύνθηκε προς ειδικευμένα επαγγέλματα και προς την παραγωγή αγαθών.

24 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ
Η ανάγκη μεταφοράς των αγαθών και επαλήθευσης των φορτίων (ήδη το π. Χ. εφευρίσκεται ο τροχός) έκαναν ακόμη μεγαλύτερη την ανάγκη ύπαρξης λογιστών. Πολλοί άνθρωποι, όπως και ιδιοκτήτες αποθηκών και αγροτεμαχίων, άρχιζαν να πιέζουν τους γραμματικούς και τους ιερείς να προσθέτουν να πολλαπλασιάζουν να αφαιρούν και να διαιρούν. Έτσι αναπτύχθηκε μια άρχουσα τάξη της οποίας οι γραμματικοί υπολόγιζαν τους φόρους των ατόμων και των νοικοκυριών. Άρα με την καλλιέργεια της γης εμφανίζεται μια νέα διάσταση στην αρίθμηση, όχι μόνο γιατί πρέπει να μετριούνται τα σιτηρά, αλλά γιατί πρέπει να μετριέται και η γη. Εδραιώθηκε επομένως ο συσχετισμός ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς και τη μέτρηση.

25 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Οι Σουμέριοι εφευρίσκουν τη Γραφή
Η ανάγκη καταγραφής των αριθμών ήταν αυτή που έδωσε την αρχική ώθηση για την ανάπτυξη της γραφής κι ακολούθησε τα παρακάτω τρία στάδια 1ον: Αποτύπωση κουπονιών, ώστε να συμβολίζουν εμπορεύματα (3.500 π. Χ.) 2ον: Αποτύπωση κουπονιών, ώστε να συμβολίζουν αριθμούς και τη χάραξη πικτογραμμάτων ώστε να αναπαριστούν αντικείμενα (3.200 π. Χ.) 3ον: Σφηνοειδής Γραφή.

26 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ
Τα Μαθηματικά των Σουμερίων Κύρια χαρακτηριστικά έχουν βάση το 60 με το 10 να αποτελεί ενδιάμεσο βήμα. εμφανίζονται κλάσματα ,όπως το ½, 1/3 και 5/6. γνωρίζουν τις 4 πράξεις Επιπλέον κόβουν επιταγές, μετρούν τη γη, τα υγρά, υπολογίζουν τόκους από το 2400 π. Χ. περίπου.

27 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Οι αξιόλογοι Βαβυλώνιοι
Περίπου το 2000 π. Χ. οι Αμορίτες (Βαβυλώνιοι) κατακτούν και καταστρέφουν την Ουρ. Δημιουργείται η αυτοκρατορία των Βαβυλωνίων μέχρι το 538 π. Χ., οπότε η Βαβυλώνα πέφτει στον Κύρο Β’ της Περσίας. Οι Βαβυλώνιοι υιοθέτησαν τόσο τη σφηνοειδή γραφή όσο και τα μαθηματικά των Σουμερίων, αλλά τροποποίησαν τα αριθμητικά σύμβολα. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας, μεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα το είχαν ανακαλύψει και οι Βαβυλώνιοι το 1600 π. Χ., Γνώριζαν τις 4 πράξεις και τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών, λύνανε εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν το εμβαδόν των ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλογράμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου (π = 3 αντί π=3,14). Το αριθμητικό τους σύστημα είχε βάση το 60, ήταν μη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς μηδέν.

28 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Οι Αιγύπτιοι
Αναπτύσσουν δύο συστήματα γραφής: Ιερογλυφικά, που μάλλον έχουν επηρεαστεί από την σφηνοειδή γραφή των Σουμερίων και την Ιερατική γραφή για την καθημερινή διοίκηση. Χρησιμοποιούν: σύστημα αριθμών με βάση το 10. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, επαναληπτικό, μη θεσιακό. τα μοναδιαία κλάσματα, για τα οποία διαθέτουν και ιδιαίτερα σύμβολα και λύνουν προβλήματα «ρητορικής άλγεβρας», προβλήματα δηλαδή που η λύση τους διατυπώνεται σε πεζό λόγο, χωρίς τυποποίηση.

29 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΚινέζικοιΑριθμοί
Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το 10. Γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθμούς και το π. Στο σύνολό τους τα μαθηματικά των Κινέζων ήταν ανώτερα από τα μαθηματικά των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, αλλά ήταν λιγότερα πολύπλοκα από τα μαθηματικά των Ελλήνων.

30 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΚΟΣΜΟΥ
Οι Μάγια έχουν αριθμητικό σύστημα εικοσαδικό, ψηφιακό, θεσιακό και με ειδικό σύμβολο για το μηδέν. αναπτύσσουν τα πολύπλοκα μαθηματικά τους για τη θρησκεία Οι Ίνκα χρησιμοποιούν ένα σύστημα θέσης-τιμής που συμπεριλάμβανε και το μηδέν. αναπτύσσουν τα μαθηματικά για τη διοίκηση του τεράστιου πληθυσμού τους.

31 ΑΡΧΑΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ
Η κάθε πόλη-κράτος μπορούσε να χαράξει το δικό της δρόμο. Οι Έλληνες δανείστηκαν το φοινικικό αλφάβητο που αποτελούνταν μόνο από σύμφωνα και προσθέσανε τα φωνήεντα. Χρησιμοποιούσαν νομίσματα. Το 776 π. Χ. διοργανώνονται οι πρώτοι Ολυμπιακοί αγώνες. Τα αριθμητικά συστήματα των Ελλήνων ήταν: 1ο) Το Ιωνικό αλφαβητικό, όπου τα γράμματα διακρίνονται από τους αριθμούς από τον τόνο 2ο) Το Αττικό, ακροφωνικό Ηρωδιανικό σύστημα. Ούτε το Ιωνικό ούτε το Αττικό σύστημα χρησιμοποιήθηκαν για υπολογισμούς. Όπως οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι έτσι και οι Έλληνες στηρίζονταν στη χρήση πινάκων για να κάνουν τους υπολογισμούς τους.

32 ΑΡΧΑΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Η γένεση της φιλοσοφίας, της επιστήμης και των μαθηματικών
Οι Έλληνες όρισαν τις λέξεις φιλοσοφία, μαθηματικά κι επιστήμη κι επομένως έθεσαν τα θεμέλια της διαμόρφωσης του μελλοντικού κόσμου της μάθησης. Είχαν την απαίτηση οι αλήθειες τους να είναι απολύτως σίγουρες και δεν άφηναν περιθώρια για σφάλματα.

33 ΑΡΧΑΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ
Θαλής ο Μιλήσιος ( π.Χ.) Έκανε σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις, και ανακάλυψε την απαγωγική μέθοδο. (Απαγωγή: μέθοδος συλλογισμού κατά την οποία η σκέψη ξεκινά από το γενικό και καταλήγει σε κάποιο μερικό συμπέρασμα). Η απαγωγική μέθοδος του Θαλή παρεξηγημένη από τους μετέπειτα, καθυστέρησε την ανάπτυξη της επιστήμης.

34 ΑΡΧΑΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ
Πυθαγόρας ο Σάμιος ( π.Χ.) Mελέτησε: τους αριθμούς και τις 4 βασικές πράξεις τους που ήταν εργαλείο για τους εμπόρους και τους ιερείς (Λογιστική) τις ιδιότητές των αριθμών και τα προβλήματα που προκύπτουν από τη μελέτη αυτή (σύγχρονη θεωρία αριθμών). Ο Αριστοτέλης σε σχόλιό του για τους Πυθαγορείους στα «Μεταφυσικά» σημειώνει: «Οι αριθμοί είναι σύνολα κουκίδων και καταλαμβάνουν χώρο». Έτσι έχουμε μια συνένωση των αριθμών με τη γεωμετρία, γι’ αυτό έχουν γεωμετρικές και όχι αλγεβρικές αποδείξεις.

35 ΑΡΧΑΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ
Η μεγαλοφυΐα των Ελλήνων είναι ότι γνώριζαν τον γενικό κανόνα, αλλά και μπορούσαν να τον αποδείξουν προσδίδοντας σ’ αυτόν τον κανόνα το κύρος ενός θεωρήματος. π.χ. Πυθαγόρειο θεώρημα. Ο κύριος όγκος των Ελληνικών μαθηματικών παράγεται κατά τους ελληνιστικούς χρόνους από τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη, τον Απολλώνιο και τον Διόφαντο. Όλη η θεωρία των αριθμών προωθήθηκε στην Ανατολή και στους Ινδουιστές.

36 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΙΝΔΙΑ Οι Ινδουιστές, παράλληλα με τη χρήση των αρνητικών αριθμών και του μηδενός προχώρησαν από την πρωτόγονη ρητορική άλγεβρα των Αιγυπτίων σε μια σχεδόν εξ’ ολοκλήρου συμβολική άλγεβρα, φτάνοντας σ’ ένα επίπεδο συμβολικής αφαίρεσης ανώτερο από αυτό του Διόφαντου, του καλύτερου αλγεβριστή των Ελλήνων. Τέσσερις βασικές αρχές του Ινδοαραβικού αριθμητικού συστήματος (πρόδρομου του σημερινού): Είναι δεκαδικό, Αποτελείται από διαφορετικά ψηφία, Η θέση του κάθε ψηφίου έχει διαφορετική αξία. Χρησιμοποιεί το μηδέν.

37 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Η ανθρωπότητα ταλαντεύεται ανάμεσα στο φόβο ενός περιφραγμένου χώρου και στο φόβο της πτώσης σε ένα ατέλειωτο κενό. Το πως αντιδρά το κάθε άτομο στην έννοια του απείρου εξαρτάται περισσότερο από την ψυχολογία του, παρά από κάποιο χαρακτηριστικό του απείρου. Μια από τις μεγαλύτερες προσπάθειες στην ιστορία των μαθηματικών ήταν η οικοδόμηση μιας λογικής που θα πραγματευόταν ικανοποιητικά το άπειρο. Οι Έλληνες ήταν ο πρώτοι που άφησαν πίσω τους ένα αξιόλογο έργο για την έννοια του απείρου.

38 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Μία από τις πρώτες αναφορές για το άπειρο προέρχεται από το κομμάτι ενός χειρογράφου του Φερεκύδη από την Σύρο (7ος-6ος αιώνας π. Χ.) ο οποίος πίστευε ότι η διάσταση του χρόνου είναι άπειρη. Επίσης ο Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος (6ος αιώνας π. Χ) πίστευε το ίδιο. Ο Πλάτωνας και ο Πυθαγόρας πίστευαν ότι το άπειρο ήταν μια υπαρκτή ουσία και όχι μια ιδιότητα κάποιου άλλου υπαρκτού πράγματος. Ο Αριστοτέλης είναι αυτός που παρείχε την πιο περιεκτική ανάλυση του απείρου και δεν αποδεχόταν τις απόψεις του Πλάτωνα και Πυθαγόρα. Ο Αριστοτέλης αναγνώριζε τις διαφορετικές εφαρμογές ενός απείρου – άπειρος χρόνος, άπειρη διαιρετότητα – αλλά απέρριπτε το άπειρο μέγεθος.

39 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Οι Έλληνες βασανίζονταν από το ερώτημα, αν ο χώρος μπορούσε να διαιρείται επ’ άπειρον κάτι που στην συνέχεια τους έκανε να μπερδευτούν σε ό,τι αφορά την κίνηση και τη συνέχεια του χώρου. Η Ελεατική Σχολή που ιδρύθηκε από τον Παρμενίδη είχε αντίθετες απόψεις από τους Πυθαγόρειους και μάλιστα ο Ζήνων ο Ελεάτης μαθητής του Παρμενίδη επέδρασε σημαντικά στα μαθηματικά με το γνωστό επιχείρημα για την διχοτόμηση ή αλλιώς «Το Παράδοξο της Διχοτομίας» που καταλήγει στο συμπέρασμα ότι «η κίνηση είναι αδύνατη» διότι ό,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.

40 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Στα Μαθηματικά, το “άπειρο” χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για τη σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ.: «άπειρος αριθμός στοιχείων») αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το “άπειρο” το συναντάμε στη μελέτη των ορίων, των αριθμών Άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ – απειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στη μη καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Καντόρ.

41 Άραγε ο άνθρωπος θα σταματήσει να θέτει προβλήματα και να αναζητά τη λύση τους; Πόσο μπορούμε να προχωρήσουμε; Σας ευχαριστούμε για την προσοχή σας