Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3.1 Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3.1 Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3.1 Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα της αλγεβρικής της έκφρασης. Η αλγεβρική αναπαράσταση μιας συνάρτησης Boole μπορεί να πάρει πολλές μορφές. Στόχος είναι η παραγωγή απλούστερων μορφών. Οι αλγεβρικοί τρόποι απλοποίησης είναι δύσχρηστοι διότι δεν ακολουθούν συγκεκριμένη μεθοδολογία. Η  μέθοδος του χάρτη  ή χάρτης Καρνώ είναι μια απλή μέθοδος για την ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων Boole. Ο χάρτης Καρνώ είναι ένα διάγραμμα αποτελούμενο από τετράγωνα όπου κάθε τετράγωνο παριστάνει έναν ελαχιστόρο. Μια συνάρτηση Boole αναγνωρίζεται γραφικά στο χάρτη από την περιοχή που καλύπτουν τα τετράγωνα των ελαχιστόρων που περιέχονται στη συνάρτηση. Μπορούν να δημιουργηθούν εναλλακτικές αλγεβρικές παραστάσεις για την ίδια συνάρτηση. Θεωρούμε απλούστερη αυτήν που έχει τον ελάχιστο αριθμό παραγόντων.

2 Χάρτης δυο και τριών μεταβλητών Χάρτης δυο μεταβλητώ ν m0m0 m2m2 m1m1 m3m3 xy x y xyxyxyxy Τρόπος αναπαράστασης συναρτήσεων Boole στο Χάρτη Καρνώ 1 x y 1 x y 1 1 f=xy=m 3 f=x+y=xy+xy+xy=m 1 +m 2 +m 3

3 Χάρτης τριών μεταβλητών Βασική ιδιότητα: οποιαδήποτε δυο γειτονικά τετράγωνα στο χάρτη διαφέρουν κατά μία μόνο μεταβλητή, η οποία εμφανίζεται ως το συμπλήρωμά της στο ένα τετράγωνο και με την πραγματική της τιμή στο άλλο Το άθροισμα δυο ελαχιστόρων σε γειτονικά τετράγωνα μπορεί να απλοποιηθεί σε έναν όρο AND με δυο μόνο παράγοντες π.χ. m 5 +m 7 = xyz +xyz=xz(y+y)=xz m0m0 m4m4 m1m1 m5m5 m3m3 m7m7 m2m2 m6m6 x xyzxyz xyzxyz xyzxyz xy z xyzxyz xyzxyzxyzxyz xyzxyz yz

4 Χάρτης τριών μεταβλητών Βρίσκουμε και προσθέτουμε τους γειτονικούς ελαχιστόρους xyz + xyz= xy(z+ z)= xy Συνεπώς F= xy+xy x Π.χ. απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)=Σ(2,3,4,5) Απάντηση: Δημιουργούμε το χάρτη Karnaugh yz 1 11

5 Χάρτης τριών μεταβλητών Ο αριθμός των γειτονικών τετραγώνων που μπορούν να συνδυαστούν πρέπει πάντα να αντιπροσωπεύει αριθμό που είναι δύναμη του 2 Καθώς μεγαλώνει ο αριθμός των γειτονικών τετραγώνων που συνδυάζονται παίρνουμε γινόμενα με λιγότερους όρους πχ. m 0 +m 2 +m 4 +m 6 =xyz+xyz+xyz+xyz= xz(y+y)+ +xz(y+y)= xz+ xz = z(x+ x) = z x Π.χ. απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)=Σ(3,4,6,7) yz F= yz+xz

6 Χάρτης τριών μεταβλητών Αν μια συνάρτηση δεν εκφράζεται ως άθροισμα ελαχιστόρων, είναι δυνατό να χρησιμοποιήσουμε το χάρτη για να πάρουμε τους ελαχιστόρους της συνάρτησης και μετά να απλοποιήσουμε τη συνάρτηση σε μια έκφραση με ελάχιστο αριθμό όρων Είναι απαραίτητο να εξασφαλίσουμε ότι η αλγεβρική έκφραση είναι σε μορφή αθροίσματος γινομένων. Κάθε όρος γινομένου μπορεί να παρασταθεί στο χάρτη με ένα, δύο ή περισσότερα τετράγωνα x Π.χ. απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)=Σ(0,2,4,5,6) yz 1 11 F= z+xy 1

7 Χάρτης τριών μεταβλητών Α Π.χ. Δίνεται η συνάρτηση F(A,B,C) = A C + A B + AB C + BC α) να εκφραστεί σε άθροισμα ελαχιστόρων β) να ελαχιστοποιηθεί σε άθροισμα γινομένων BC α) F(A,B,C)= Σ(1,2,3,5,7) β) F = C + A B 1

8 3.2 Χάρτης τεσσάρων μεταβλητών m0m0 m4m4 m1m1 m5m5 m3m3 m7m7 m2m2 m6m6 wxwx wxyzwxyz yz m 12 m8m8 m13m13 m9m9 m 15 m 11 m 14 m wxyzwxyz wxyzwxyz wxyzwxyz wxyzwxyz wxyzwxyz wxyzwxyz wxyzwxyz wxy z Η ελαχιστοποίηση συναρτήσεων Boole τεσσάρων μεταβλητών με το χάρτη είναι παρόμοια με αυτή των τριών μεταβλητών

9 Χάρτης τεσσάρων μεταβλητών wxwx yz 01 Γίνονται οι παρακάτω ομαδοποιήσεις m 0 +m 1 +m 4 +m 5 + m 8 +m 9 +m 12 +m 13 = wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+wxyz+ wxyz+ wxyz Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(w,x,y,z)=Σ(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) wxywxywxywxywxy wywywywy y m 0 +m 2 +m 4 +m 6 = wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz= wxz+ wxz = wz m 4 +m 6 +m 12 +m 14 = wxyz+ wxyz+ wxyz+ + wxyz = wxz+ wxz = xz F(x,y,z)= y + wz+ xz

10 Χάρτης τεσσάρων μεταβλητών wxwx yz 01 Γίνονται οι συνδυασμοί m 0 +m 1 +m 8 +m 9 = ΑΒCD+ ABCD+ ABCD+ABCD= ΑΒC+ ABC= BC m 0 +m 2 +m 8 +m 10 = ΑΒCD+ ABCD+ ABCD+ABCD= ΑΒD+ ABD= BD m 0 +m 6 = ΑΒCD+ ABCD= ACD Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(A,B,C,D)= ABC+ BCD+ ABCD+ ABC F (A,B,C,D)= BC+ BD+ ACD

11 Πρώτοι Όροι (Prime Implicants) Η διαδικασία για τον συνδυασμό των τετραγώνων στον χάρτη γίνεται πιο συστηματική με τη χρήση των πρώτων όρων και των ουσιωδών πρώτων όρων Ένας πρώτος όρος είναι ένα γινόμενο παραγόντων που σχηματίζεται συνδυάζοντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό γειτονικών τετραγώνων στο χάρτη Αν ένας ελαχιστόρος σε ένα τετράγωνο καλύπτεται από έναν μόνο πρώτο όρο, αυτός ο πρώτος όρος λέγεται ουσιώδης Γενικά, η απλοποιημένη έκφραση μιας συνάρτησης Boole προκύπτει από το λογικό άθροισμα όλων των ουσιωδών πρώτων όρων και των άλλων πρώτων όρων που μπορεί να χρειάζονται για να καλύψουν κάποιους εναπομείναντες ελαχιστόρους που δεν καλύπτονται από τους ουσιώδεις πρώτους όρους.

12 Πρώτοι Όροι (Prime Implicants) wxwx yz 01 Η απλοποιημένη έκφραση για τη συνάρτηση προκύπτει από το λογικό άθροισμα των ουσιωδών πρώτων όρων και οπιουδήποτε δυο πρώτων όρων οι οποίοι καλύπτουν τους ελαχιστόρους m 3, m 9, και m 11. F = ΒD + BD + CD+ A D = ΒD + BD + CD+ AB = ΒD + BD + BC+ A D = ΒD + BD + BC + AB Να βρεθούν οι πρώτοι όροι της συνάρτησης F(A,B,C,D)= Σ(0,2,3,5,7,8,9,10,11,13,15) wxwx yz Ουσιώδεις πρώτοι όροι ΒD και BD Πρώτοι όροι CD, BC, AD και AB

13 3.3 Χάρτης πέντε μεταβλητών m0m0 m4m4 m1m1 m5m5 m3m3 m7m7 m2m2 m6m6 BC DE m 12 m8m8 m13m13 m9m9 m 15 m 11 m 14 m 10 Οι χάρτες για περισσότερες από τέσσερις μεταβλητές είναι δύσχρηστοι Σε κάθε επιμέρους χάρτης των τεσσάρων μεταβλητών μπορεί να εφαρμοστεί η διαδικασία εύρεσης γειτονικών τετραγώνων όπως ορίστηκε προηγουμένως. Επιπλέον, κάθε τετράγωνο στον Α=0 χάρτη είναι γειτονικό με το αντίστοιχο τετράγωνο του Α=1 χάρτη. DE BC A=0A=1 m 16 m 17 m 19 m 18 m 20 m 21 m 23 m 22 m 28 m 29 m 31 m 30 m 24 m 25 m 27 m

14 Γενικά σε ένα χάρτη n μεταβλητών κάθε 2 k γειτονικά τετράγωνα όπου k=0,1,2,…n, παριστάνουν μια περιοχή που δίνει ένα γινόμενο n-k παραγόντων. Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(A,B,C,D,E)= Σ(0,2,4,6,9,13,21,23,25,29,31) Χάρτης πέντε μεταβλητών BC DE γειτονικά τετράγωνα Α=0Α=1 F = ΑΒE+BD E + ACE DE BC

15 Διαδικασία 1.Σημειώνουμε 0 στα τετράγωνα του χάρτη που αντιστοιχούν σε ελαχιστόρους που δεν περιέχονται στη συνάρτηση F. Τα τετράγωνα αυτά παριστάνουν τη συμπληρωματική της συνάρτηση F´. 2.Συνδυάζουμε τα γειτονικά τετράγωνα και παίρνουμε απλοποιημένη έκφραση για την F´ σε μορφή αθροίσματος γινομένων 3.Το συμπλήρωμα της F´ δίνει την F σε μορφή γινομένων αθροισμάτων Π.χ. Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole α) σε άθροισμα γινομένων β) σε γινόμενο αθροισμάτων F(A,B,C,D)= Σ(0,1,2,5,8,9,10) 3.4 Απλοποίηση γινομένων αθροισμάτων α) συνδυάζουμε τα «1» και έχουμε F = BD+BC+ACD β) συνδυάζουμε τα «0» και έχουμε F = ΑΒ+CD+BD F = (A+B)(C+D)(B+D)

16 Υλοποίηση παραπάνω εκφράσεων σε δύο επίπεδα πυλών

17 Η παραπάνω διαδικασία απλοποίησης ισχύει και όταν η συνάρτηση δίνεται σε μορφή γινομένου μεγιστόρων, αφού τα μηδενικά της συνάρτησης παριστάνουν τους μεγιστόρους Πχ. Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)= Π(0,2,5,7) Ισχύει F(x,y,z)= Σ(1,3,4,6) Απλοποίηση γινομένων αθροισμάτων x yz α) συνδυάζουμε τα «1» και έχουμε F = xz+xz β) συνδυάζουμε τα «0» και έχουμε F = xz+xz  F=(x+z)(x+z)

18 Σε πολλές εφαρμογές μια συνάρτηση Boole μπορεί να μην προσδιορίζεται για ορισμένες μεταβλητές Οι ελαχιστόροι για τους οποίους η συνάρτηση δεν προσδιορίζεται λέγονται «συνθήκες αδιαφορίας» και σημειώνονται με X στο χάρτη Ο συνθήκες αδιαφορίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ένα χάρτη για παραπέρα απλοποίηση της έκφρασης Boole Όταν επιλέγουμε γειτονικά τετράγωνα για να απλοποιήσουμε μια συνάρτηση σε ένα χάρτη, οι αδιάφοροι ελαχιστόροι μπορούν να θεωρηθούν ως 1 ή Συνθήκες αδιαφορίας

19 Απλοποιείστε τη συνάρτηση F(w,x,y,z)= Σ(1,3,7,11,15) με συνθήκες αδιαφορίας d(w,x,y,z)= Σ(1,3,4,6) Συνθήκες αδιαφορίας Και οι δυο εκφράσεις είναι αποδεκτές. Η διαφορά έγκειται στη διαφορετική χρήση των συνθηκών αδιαφορίας

20 Οι βασικές πύλες που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή ψηφιακών κυκλωμάτων είναι η NAND και η NOR - απλούστερος σχεδιασμός (μικρότερος αριθμός τρανζίστορ) - μεγαλύτερη ταχύτητα Έχουν αναπτυχθεί κανόνες για τη μετατροπή από συναρτήσεις Boole που χρησιμοποιούν πράξεις AND, OR και NOT σε ισοδύναμες που έχουν NAND ή NOR 3.6 Υλοποίηση με πύλες NAND και NOR

21 Υλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F = ΑΒ+CD - τρεις τρόποι υλοποίησης Υλοποίηση με πύλες NAND

22 Υλοποιείστε τη συνάρτηση Boole με πύλες NAND F(x,y,z) = Σ(1,2,3,4,5)

23 Κυκλώματα NAND πολλών επιπέδων Για την υλοποίηση συνδυαστικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούνται συχνότερα πύλες NAND και NOR παρά AND και OR καθώς παρουσιάζουν απλούστερη κατασκευή Η πύλη NAND ονομάζεται «οικουμενική» πύλη, καθώς κάθε ψηφιακή κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί με τη χρήση μόνο πυλών NAND Υλοποίηση των NOT, AND και OR με πύλες NAND

24 Υλοποιείστε με πύλες NAND στη συνάρτηση

25

26 Η πύλη NOR είναι «οικουμενική» πύλη, καθώς κάθε ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί με τη χρήση μόνο πυλών NOR Υλοποίηση των NOT, AND και OR με πύλες NOR Υλοποίηση με πύλες NOR

27 Απαιτεί η συναρτήσεις να είναι εκφρασμένες σε γινόμενο αθροισμάτων Υλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F = (Α+Β)(C+D)Ε Υλοποίηση με πύλες NOR Υλοποίηση συνάρτησης Σχήματος 3.23(α) με πύλε NOR

28 Μπορεί να υλοποιηθεί με δυο μορφές AND-NOR και NAND-AND Υλοποίηση AND-OR-INVERTER

29 Μπορεί να υλοποιηθεί με δυο μορφές OR-NAND και NOR-OR Υλοποίηση OR-AND-INVERTER

30 Υλοποίηση της συνάρτησης F(x,y,z) = Σ(0,6) σε διαφορετικές μορφές

31 3.8 Η συνάρτηση XOR Η πράξη XOR συμβολίζεται με  και είναι λογική πράξη που εκτελεί την παρακάτω λογική λειτουργία x  y = xy´+x´y - ισούται με «1» μόνο όταν ένα και μόνο ένα από τα x και y είναι ίσο με «1» Η πράξη XOR συμβολίζεται με  και εκτελεί την παρακάτω λογική λειτουργία x  y = xy +x´y´ - ισούται με «1» για x=y. Οι παρακάτω ταυτότητες ισχύουν για την XOR x  0 = x x  1 = x´ x  x = 0 x  x´= 1 x  y´ = (x  y)´ x´  y = (x  y)´ x  y = y  x (αντιμεταθετική) (x  y)  z = x  (y  z) = x  y  z (προσεταιριστική)

32 Υλοποίηση συνάρτησης XOR

33 Περιττή και Άρτια συνάρτηση

34 Γεννήτρια και ελεγκτής ισοτιμίας Οι συναρτήσεις XOR και XNOR (ισοδυναμίας) είναι πολύ χρήσιμες στα συστήματα που χρειάζονται κώδικες ανίχνευσης και διόρθωσης λαθών. Πίνακας αλήθειας για τη γεννήτρια άρτιας ισοτιμίας Μήνυμα τριών ψηφίων Ψηφίο ισοτιμίας x y z P


Κατέβασμα ppt "3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3.1 Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google