Matrice.

Παρουσίαση με θέμα: "Matrice."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Matrice

2 MATRICE matrica tipa m x n.
Brojevi su elementi matrice ili komponente matrice. i -ti redak j-ti stupac Dijagonala matrice

3 Matrice Ako je m=n kažemo da je A kvadratna matrica reda n .
Ako je m=1 kažemo da je A retčana matrica (ima samo jedan redak), Ako je n=1kažemo da je A stupčana matrica. Retčane i stupčane matrice se još zovu vektori.

4 Matrice Matrice A i B su jednake ako su istog tipa i ako je aij=bij za sve parove indeksa i,j

5 Zbrajanje matrica Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako su matrice A i B istog tipa, tada je matrica C=A+B istog tipa kao i matrice A i B i vrijedi cij=aij+bij Dakle, matrice se zbrajaju član po član. Svojstva zbrajanja su : A+B=B+A   (komutativnost) (A+B)+C=A+(B+C)  (asocijativnost)

6 Množenje matrica sa skalarom
Matrica se množi s nekim skalarom (brojem) tako da se svaki element matrice pomnoži s tim brojem. Drugim riječima, elementi matrice B=λA su bij=λaij Svojstva ove operacije proizlaze direktno iz svojstava množenja brojeva: λ(A+B)=λA+λB (λ+μ)A=λA+ μA λ(μA)=(λμ)A

7 Množenje matrica Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam ona omogućava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. Matrice A i B možemo pomnožiti samo ako su ulančane, odnosno ako A ima onoliko stupaca koliko Bima redaka. Matrica C=A*B ima redaka koliko A i stupaca koliko B. Neka je, dakle, A tipa m x k i B tipa k x n . Tada je matrica C tipa m x n i vrijedi:

8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 2 5 8 3 6 9 * = 1*1+2*2+3*3=14 14 32 50 77 122 194

9 Množenje matrica množenje matrica općenito nije komutativno. vrijedi:
Element (2,3) se izračunava: množenje matrica općenito nije komutativno. vrijedi: (i) (AB)C=A(BC) (asocijativnost), (ii) A(B+C)=AB+AC(distributivnost), (iii) (A+B)C=AC+BC(distributivnost), (iv) λ(AB)=(λ A)B=A(λ B)

10 Nul matrica i jedinična matrica
Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni element s obzirom na zbrajanje Analogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve elemente jednake nuli. Nul-matricu označavamo s O, odnosno Omn kada želimo naglasiti o kojem tipu se radi. Kod množenja brojeva broj je neutralni element s obzirom na množenje, odnosno Analogija kod matrica je jedinična matrica . Ukoliko matrica nije kvadratna, jedinične matrice u odnosu na množenje slijeva i zdesna su različitog reda.

11 Nul matrica i jedinična matrica

12 Transponirana matrica
Transponirana matrica matrice A je matrica AT koja je definirana sa [AT]ij=Aji Ako je A tipa m x n , AT je tima n x m Očito je (AT) T Vrijedi : (A+B)T = AT +BT (μA)T =μAT (AB)T =AT BT Matrica za koju je AT =A je simetrična matrica.

13 Operacije s matricama Promatrati ćemo samo realne matrice, odnosno dvodimenzionalna polja podataka, i vektore, tj. jednodimenzionalna polja podataka. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4

14 Formiranje matrica >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] B =

15 Formiranje matrica Moguće je i automatizirano formiranje vektora
>> x=(0:0.1:1) x = Columns 1 through 7 Columns 8 through 11 >> y=linspace(0,1,11) y = Columns 1 through 7

16 Formiranje matrica Kreiranje matrica čiji su elementi slučajni brojevi
Rand(m,n) – kreira matricu dimenzija m x m čiji su elementi slučajno generirani brojevi između 0 i 1 Rand(m)-kreira kvadratnu matricu dimenzija m x m čiji su elementi slučajno generirani brojevi između 0 i 1 Ukoliko želimo brojeve moramo cijelu matricu pomnožit s 10 A=fix(rand(3)*10) A =

17 Formiranje matrica U MATLABu postoje funkcije kojima se mogu definirati matrice čiji elementi su jednaki jedinici i nuli (nul matrica) >> P=ones(3) P = 1 1 1 >> Q=zeros(3) Q = 0 0 0 >>R=eye(3) R = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

18 Pristupanje dijelu matrice
Pojedini element matrice možemo ispisati definiranjem njegova retka i stupca (npr. element matrice A u prvom retku i drugom stupcu) >> A(1,2) ans = 2 Ukoliko želimo vidjeti prva dva retka matrice A >> A(1:2,:) ans = 1 2 3 4 5 6

19 Pristupanje dijelu matrice
Moguća je korekcija pojedinih elemenata >> r=[ ]; >> A(3,:)=r A = 1 2 3 4 5 6

20 Pristupanje dijelu matrice
Moguća je nadopuna matrice (npr. želimo matricu B proširiti s dodatnim redom jednakim vektoru-retku r) >> B=[B;r] B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

21 Pristupanje dijelu matrice
Ukoliko bi kod matrice A definirali element u drugom redu i šestom stupcu matrica se proširuje na portebnu dimenziju dodavajući na novodefiniranim mjestima nule. >> A(2,6)=1 A =

22 Pristupanje dijelu matrice
Ukoliko dio matrice izjednačimo s praznom matricom [ ] isti dio se briše čime se početna matrica svodi na ostatak: >> A(:,4:5)=[ ] A =

23 Osnovne matematičke operacije s matricama
Operacije skalar - matrica Operacije matrica - matrica Operacije na elementima matrica

24 Operacije skalar - matrica
Matrici možemo dodati i/ili oduzeti skalar pri čemu rezultat zadržava orginalnu dimenziju >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; >> A-1 ans = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 >> 2*A-1 1 3 5 7 9 11

25 Operacije skalar - matrica
Također je definirana operacija potenciranja matrice sa skalarom >> A.^2 ans = Pri tome korišteno je '.^' da označi operaciju potenciranja koja se odnosi na elemente.

26 Operacije matrica - matrica
Transponirana matrica >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> B=A' B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9

27 Operacije matrica - matrica
Za matrice jednake dimenzije moguće je definirati operaciju zbrajanja >> A+B ans = 2 6 10 >> 2*A-B 1 0 -1 6 5 4

28 Operacije matrica - matrica
Ukoliko matrice imaju odgovarajuće dimenzije (ako je broj stupaca prve jednak broju redaka druge) moguće je izvršiti i operaciju množenja >> A*B ans =

29 Operacije matrica - matrica
1 1 2 2 3 3 >> A*C ans = >> D=[1 1 1; 2 2 2] D = 1 1 1 2 2 2 >> D*A ans =

30 Operacije matrica - matrica
Potenciranje koje bi se odnosilo na cijelu matricu je >> A^2 ans = što je zapravo A*A

31 Operacije na elementima matrica
operacije koje se provode po odgovarajućim elementima matrica. Ukoliko su matrice jednakih dimenzija moguće je primjeniti operacije množenja ('.*'), djeljenja ('./' s desne i '.\' s lijeve strane) i potenciranja ('.^') po elementima

32 Operacije na elementima matrica
>> A.*D ans = 1 2 3 >> A./D

33 >> D./A ans = >> A.\D >> A.^D 1.0000 0.5000 0.3333
>> A.\D >> A.^D 1 2 3

34 Neke posebne funkcije Diag(A) – izdvaja glavnu dijagonalu matrice
sum(A) – vraća vektor čiji su elementi sume stupaca matrice A prod(A) - vraća vektor čiji su elementi umnošci elemenata stupaca matrice A det(A) – računa determinatnu matrice inv(A) – računa inverznu matricu matrice A size(A) - daje nam dimenzije matrice