Ρεύματα μαθηματικής σκέψης στον Ελληνικό Πολιτισμό του 6ου και 5ου αιώνα π. Χ. Ν. Καστάνη Η ανάπτυξη του έμμεσου τρόπου σκέψης στις ελληνικές πόλεις,

Παρουσίαση με θέμα: "Ρεύματα μαθηματικής σκέψης στον Ελληνικό Πολιτισμό του 6ου και 5ου αιώνα π. Χ. Ν. Καστάνη Η ανάπτυξη του έμμεσου τρόπου σκέψης στις ελληνικές πόλεις,"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ρεύματα μαθηματικής σκέψης στον Ελληνικό Πολιτισμό του 6ου και 5ου αιώνα π. Χ.
Ν. Καστάνη Η ανάπτυξη του έμμεσου τρόπου σκέψης στις ελληνικές πόλεις, από τα τέλη του 7ου αιώνα π. Χ. , δεν έγινε ισότροπα και ομοιόμορφα στον κόσμο των διανοουμένων. Πρόβαλαν διαφορετικά ρεύματα σκέψης τα οποία αντιπροσώπευαν, συνήθως, διαφορετικές κοινωνικές, πολιτικές και κοσμολογικές αντιλήψεις. Κατά συνέπεια ο έμμεσος τρόπος σκέψης και γενικότερα οι μαθηματικές αντιλήψεις και πρακτικές αναπτύχθηκαν διαφορετικά στα διάφορα ρεύματα σκέψης της εποχής.

2 Αξιοσημείωτες επισημάνσεις
Στις αρχές του 6ου αιώνα δημιουργήθηκαν νέες κοινωνικές και οικονομικές δυνατότητες στη Μίλητο και τη γύρω περιοχή, την Ιωνία. Το δημοκρατικό πολίτευμα υπερίσχυσε του απολυταρχικού καθεστώτος της μοναρχίας και του δεσποτισμού. Το νόμισμα καθιερώθηκε κι έτσι απέκτησε ευημερία μια νέα κοινωνική ομάδα πολιτών , που είχαν χρηματικό πλούτο , σ’ αντίθεση με τους παραδοσιακούς γαιοκτήμονες. Και το αλφάβητο είχε υιοθετηθεί κι έτσι δημιουργήθηκε ένα νέο νοητικό εργαλείο. Ν. Καστάνη

3 Στο πρώτο μισό του 6ου αιώνα ,η ιωνική φυσιοκρατική επανάσταση βρέθηκε αντιμέτωπη με τη δωρική μυστικιστική αντεπανάσταση. Την αντεπανάσταση συγκροτούσαν στοιχεία :θεοκρατικά, αριστοκρατικά και πουριτανικά, που συσπειρώθηκαν γύρω από τον Ελληνισμό της κάτω Ιταλίας και διαμορφώθηκαν σε δύο ρεύματα: τους Πυθαγόρειους και τους Ελεάτες. Τα αντεπαναστατικά αυτά ρεύματα προσπάθησαν να περιθωριοποιήσουν και να ακυρώσουν τον αντικειμενικό τρόπο κατανόησης της πραγματικότητας αντιπαραθέτοντας μια υπερφυσική (υπερεμπειρική) αντίληψη και αναπτύσσοντας μεταφυσικές μεθόδους και δαιμονοκρατικές δοξασίες (σελ .144) Ν. Καστάνη

4 Ο απόηχος αυτών των ρευμάτων στη μαθηματική σκέψη της προσωκρατικής περιόδου
Οι Ίωνες προώθησαν τη γεωμετρική σκέψη. Οι Πυθαγόρειοι έδωσαν έμφαση στην αριθμητική ή στην αριθμολογική σκέψη. Ν. Καστάνη

5 Τα χαρακτηριστικά του ρεύματος της ιωνικής φυσιοκρατίας
Ν. Καστάνη

6 Ο Θαλής (περ. 625-546) , πρωτεργάτης του φυσιοκρατικού ρεύματος
Ο Θαλής διδάσκει τους μαθητές του. Πρόκειται για μια προσωποπαγή παιδεία, δηλ. ένα είδος μαθητείας χωρίς θεσμικό πλαίσιο. Ν. Καστάνη

7 Γεωμετρικές ιδέες που αποδίδονται στον Θαλή
Ν. Καστάνη

8 Έτσι όπως παρουσιάστηκαν οι γεωμετρικές ιδέες του Θαλή φαίνονται μεμονωμένες και αποσπασματικές.
Αυτό οφείλεται στη μονόπλευρη προδιάθεση για να επισημανθεί η μαθηματική συνεισφορά του Θαλή. Πρόκειται για μια μονομερή προσέγγιση, γιατί ο Θαλής ασχολήθηκε, πρώτα και κύρια, με αστρονομικά, κοσμολογικά και κοσμογονικά ζητήματα , στα οποία εισήγαγε και καλλιέργησε ένα είδος Γεωμετρικής Αστρονομίας. Μέσα σ’ αυτό το πλαίσιο διαφαίνεται και το νόημα των γεωμετρικών ιδεών του. Ν. Καστάνη

9 Εικάζεται ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε τις σκιές του γνώμονα [ηλιακό ρολόι] για να προσδιορίσει τα σημεία των ηλιοστασίων στον ορίζοντα, Έτσι του προέκυψαν οι διάφορες συσχετίσεις των τριγώνων με τις γωνίες και με τον κύκλο. Ν. Καστάνη

10 Τα χαρακτηριστικά της νέας γεωμετρικής σκέψης
Τα χαρακτηριστικά της νέας γεωμετρικής σκέψης Η εισαγωγή μιας Γεωμετρίας της γωνίας, όπου η γωνία αποτέλεσε ένα νέο γεωμετρικό αντικείμενο και ένα νέο μέσο χειρισμού γεωμετρικών ζητημάτων. Αξιοσημείωτος είναι ο ρόλος της ισότητας. Διαφαίνονται κάποια ίχνη συμπερασματικού συλλογισμού. Τα γεωμετρικά ζητήματα που εξετάζονται είναι γενικευμένα, δηλ. αντιμετωπίζονται μ’ ένα γενικό τρόπο κι όχι ως συγκεκριμένες περιπτώσεις. Αυτό δείχνει μια θεωρητική προσέγγιση των γεωμετρικών θεμάτων. Όπως φαίνεται, προβάλουν τα πρώτα ίχνη μιας Θεωρητικής Γεωμετρίας, που χαρακτηρίζεται ως ένα γενικό μοντέλο γεωμετρικών συσχετίσεων. Ν. Καστάνη

11 Η ανάπτυξη και διάδοση των νέων ιδεών από τον Αναξίμανδρο (περ
Η ανάπτυξη και διάδοση των νέων ιδεών από τον Αναξίμανδρο (περ ) Ο Αναξίμανδρος ,ως μαθητής του Θαλή, προώθησε το νέο τρόπο σκέψης. Πρότεινε ένα δικό του αστρονομικό μοντέλο: με τη γη ,ως τύμπανο [κοντό και πλατύ κύλινδρο], στο κέντρο του σύμπαντος και τον ήλιο ,τη σελήνη και τα’ αστέρια να περιστρέφονται , κυκλικά, γύρω απ’ αυτή. Ν. Καστάνη

12 Όπως φαίνεται ,το αστρονομικό του μοντέλο κυριαρχείται από κύκλους .
Κατά συνέπεια, αναδεικνύεται η σημασία του κύκλου ως βασική γεωμετρική έννοια. Αξίζει να επισημανθεί ότι η ετυμολογική σημασία του κύκλου στην αρχαία ελληνική γλώσσα, προέρχεται από τον τροχό. Ν. Καστάνη

13 Το ενδιαφέρον για τον κύκλο και τις σχετικές γεωμετρικές έννοιες αναπτύχθηκε και από την ενασχόληση του Αναξίμανδρου με το γνώμονα. Αναφορικά μ’ αυτή την ενασχόλησή του υπάρχουν σχετικές μαρτυρίες. Ν. Καστάνη

14 Η σημασία του γνώμονα στην ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης ,στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό, επισημάνθηκε στη σύγχρονη ιστοριογραφία Ν. Καστάνη

15 Να σημειωθεί , επίσης, ότι η επίδραση του κύκλου στον Αναξίμανδρο φαίνεται και στον «κυκλικό» χάρτη, που παρουσίασε. Αξιοσημείωτο είναι και το γεγονός ότι εισήγαγε την έννοια του απείρου στο κοσμολογικό του μοντέλο. Ν. Καστάνη

16 Η γεωμετρική σκέψη της Ιωνικής παράδοσης και το πολιτισμικό της περιβάλλον
Όπως έχει επισημανθεί , η θέση του Αναξίμανδρου ότι “η γη είναι μετέωρη και δεν κυριαρχείται από τίποτα , εξαιτίας της όμοιας απόστασης απ’ όλα τα σημεία της ουράνιας περιφέρειας” αντικαθρεπτίζει το δημοκρατικό πολίτευμα της πόλης-κράτος. Ν. Καστάνη

17 Η εικόνα της κυκλικής κίνησης στον ουρανό

18 Ο Πυθαγόρας (περ. 580-496) και ο αναπροσανατολισμός της μαθηματικής σκέψης
Ήταν αριστοκρατικής καταγωγής και ποιμενάρχης (μυσταγωγός) της αριστοκρατικής πολιτικής στην Κάτω Ιταλία. Δημιούργησε μια μυστικιστική αδελφότητα με θρησκευτικό, φιλοσοφικό και πολιτικό υπόβαθρο. Ν. Καστάνη

19 Οι μαθηματικές ιδέες των Πυθαγορείων
Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του θεωρούσαν ότι οι αριθμοί ήταν η αρχή των πάντων. Επηρεασμένοι από τις αριθμητικές αναλογίες των μουσικών διαστημάτων έδωσαν έμφαση στις αριθμητικές σχέσεις των πραγμάτων. Έτσι ανάπτυξαν μια μεταφυσική αντίληψη για τον αριθμό και τις αριθμητικές σχέσεις που διαπερνούσε τόσο την κοσμογονία και την αστρονομία, όσο τη μουσική και την ηθική. Γι αυτούς ο αριθμός ήταν η αιτία θεών και δαιμόνων. Αυτή η αριθμολογική θεώρηση του φυσικού κόσμου και της ανθρώπινης συμπεριφοράς δεν άφησε ανεπηρέαστη τη Γεωμετρία, όπου συσχετίζονταν π.χ. το σημείο με τη μονάδα, τη γραμμή με τη δυάδα την επιφάνεια με την τριάδα και το στερεό με την τετράδα. Ν. Καστάνη

20 Η συμβολή τους στην ανάπτυξη των Μαθηματικών
Οι Πυθαγόρειοι ανάπτυξαν, όπως φαίνεται την αριθμολογία τους (που αποδόθηκε ,αργότερα, από νεοπυθαγόρειους ως Θεολογούμενα Αριθμητικής). Στην κατεύθυνση αυτή διέκριναν τους αρτίους από τους περιττούς αριθμούς, τους πρώτους από τους σύνθετους αριθμούς ,τους τέλειους και τους φίλους αριθμούς. Ασχολήθηκαν με κάποιες ιδιότητες αυτών των αριθμών, όπως π.χ. το άθροισμα άρτιων αριθμών είναι άρτιος ή το περιττό άθροισμα περιττών είναι περιττός. Ν. Καστάνη

21 Επίσης ,μελέτησαν κάποιες ιδιότητες των “σχηματικοποιημένων” αριθμών.
Εξέτασαν τους λόγους και τις αναλογίες αριθμών, επηρεασμένοι από τις αναλογίες των μουσικών χορδών. Στο πλαίσιο αυτό εισήγαγαν τρεις αναλογικές ισότητες : την αριθμητική, τη γεωμετρική και την αρμονική. Επίσης ,μελέτησαν κάποιες ιδιότητες των “σχηματικοποιημένων” αριθμών. Ν. Καστάνη

22 Γεωμετρικά θέματα των Πυθαγορείων
Υποστηρίζεται ότι οι Πυθαγόρειοι απόδειξαν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 2 ορθές. Επίσης υποστηρίζεται ότι οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν το θεώρημα του ορθογωνίου τριγώνου, που σήμερα είναι γνωστό ως Πυθαγόρειο θεώρημα. Ασχολήθηκαν με κάποια κανονικά στερεά Διαπίστωσαν την ύπαρξη άρρητων μεγεθών. Ν. Καστάνη

23 Εισήγαγαν τη μέθοδο της
Ασχολήθηκαν με τη χρυσή τομή. Εισήγαγαν τη μέθοδο της παραβολής των χωρίων, που είναι ο μετασχηματισμός ή η κατασκευή ενός σχήματος ισοδύναμο (με το ίδιο εμβαδό) μ’ ένα άλλο το οποίο έχει κάποια δεδομένα στοιχεία. Ν. Καστάνη

24 Η Αρρητότητα στους Πυθαγόρειους
Μια πιθανή εκδοχή για τη διαπίστωση της αρρητότητας δύο μεγεθών είναι η εξής: 1) Να γνώριζαν το ζήτημα του διπλασιασμού του τετραγώνου, που αναφέρεται στο διάλογο του Σωκράτη με το δούλο. 2) Να είδαν ότι ένας κύκλος βρίσκεται μεταξύ του εγγεγραμμένου τετραγώνου του και του περιγεγραμμένου τετραγώνου του, που είναι διπλάσιος του εγγεγραμμένου, δηλ. □ π =2 □ ε ε π

25 4) Στην προσπάθεια να αντιμετωπιστεί το ζήτημα του τετραγωνισμού του κύκλου , ήταν φυσιολογικό να στρεφόταν η προσοχή από τη σχέση □ π =2 □ ε σε μια σχέση των πλευρών. 5) Έτσι είναι πολύ πιθανόν να σκέφτηκαν ότι θα έπρεπε να ίσχυε Π xΠ =2 (Ε xE ) , όπου Ε η πλευρά του τετραγώνου ε και Π η πλευρά του τετραγώνου π. 6) Έστω μ και ν ακέραιοι αριθμοί που αντιστοιχούν στις πλευρές Ε και Π . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι μ και ν είναι μη ανάγωγοι αριθμοί, δηλ . δεν έχουν κοινό διαιρέτη. 7) Τότε από τη σχέση ν xν = 2(μ xμ) συνεπάγεται ότι ο ν πρέπει να είναι άρτιος, άρα ο ν xν πολλαπλάσιο του 4 κι έτσι ο μ πρέπει να είναι άρτιος, που σημαίνει ότι οι μ και ν είναι άρτιοι, μ’ άλλα λόγια έχουν κοινό διαιρέτη. Αντίφαση, που έχει ως συνέπεια να μην υπάρχουν δύο τέτοιοι ακέραιοι αριθμοί.

26 Το αστρονομικό μοντέλο των Πυθαγορείων
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι όλο το σύμπαν είναι διαμορφωμένο με την αρμονία και τον αριθμό. Είχαν ως βασική αρχή την αρμονία των σφαιρών, δηλ. ότι τα ουράνια σώματα κινούνται αρμονικά πάνω σε δέκα διαφορετικές σφαίρες. Κέντρο του σύμπαντος ήταν μια εστία φωτιάς κι όχι η γη ή ο ήλιος. Ν. Καστάνη

27 Τα χαρακτηριστικά της μαθηματικής σκέψης των Πυθαγορείων
Οι Πυθαγόρειοι έδιναν έμφαση στη νοητική θεώρηση κι όχι στην εμπειρική. Για παράδειγμα, ο αριθμός ήταν, γι’ αυτούς, ένα καθαρά νοητικό εργαλείο, που χωρίς αυτό ο κόσμος δεν μπορεί να γίνει αντικείμενο γνώσης. Ανάπτυξαν τη μαθηματική σκέψη όχι με αφετηρία την αντίληψη των αισθήσεων ή την ενόραση. Η εποπτική αντίληψη έπαιζε δευτερεύοντα ρόλο. Ν. Καστάνη

28 Η μαθηματική παιδεία των Πυθαγορείων
Οι Πυθαγόρειοι πρόβαλαν την ελεύθερη παιδεία, δηλ. την διαπαιδαγώγηση για την απόκτηση της καθαρής γνώσης κι όχι , απλά, τη χρήσιμη γνώση. Υπήρχαν δυο κύκλοι μαθητών: οι μαθηματικοί, (που ήταν μυημένοι και μπορούσαν να θέτουν νέα ερωτήματα και να διεισδύουν σε νέα μονοπάτια της σκέψης) και οι ακουσματικοί (που έπρεπε να εγκλιματιστούν στο πνεύμα και τις επιταγές της αδελφότητας, αυτοί έπρεπε απλά να μαθαίνουν και να προσαρμοστούν στον τρόπο ζωής και συμπεριφοράς). Ν. Καστάνη

29 496 π. Χ. : Η Μίλητος καταστρέφεται από τους Πέρσες
Ν. Καστάνη

30 Η Ελεατική Σχολή, με πρωτοπόρο τον Παρμενίδη
Ο Παρμενίδης (π ) ήταν ο πρώτος σημαντικός εκπρόσωπος της φιλοσοφικής σχολής των ελεατών. Προερχόταν από πλούσια και πολιτικά ισχυρή οικογένεια. Ανάπτυξε μια πρώιμη μορφή συλλογισμού, δηλ. ένα πρώιμο είδος λογικού συμπερασμού. Ήταν ο πρώτος που εισηγήθηκε την εις άτοπο απαγωγή, δηλ. έναν έμμεσο τρόπο απόδειξης. Ν. Καστάνη

31 Ζήνωνας ο Ελεάτης (π. 490-415) Μαθητής του Παρμενίδη .
Υποστήριξε τις φιλοσοφικές απόψεις του δασκάλου του ενάντια στο δυϊσμό των Πυθαγορείων και στη μεταβλητότητα και την αλλαγή της Ιωνικής Σχολής. Είναι πολύ γνωστός για τα παράδοξά του. Ν. Καστάνη

32 Δύο παράδοξα του Ζήνωνα
Ο Ζήνωνας ,με τα παράδοξα του ,υπόσκαψε τις έννοιες του συνεχούς και του απείρου. Ν. Καστάνη

33 Γενικά χαρακτηριστικά της Ελεατικής Σχολής
Ανάδειξαν τη θεωρητική φύση των εννοιών, τις “καθαρές έννοιες”, ως το σημαντικότερο συστατικό στην κατανόηση της αλήθειας. Υποβάθμισαν, έτσι τις εμπειρικές (αισθητικές) έννοιες ως ατελείς και παραπλανητικές. Πρόβαλαν τον θεωρητικό τρόπο συλλογισμού, που στηρίζεται σε “καθαρές έννοιες” και σε μια θεωρητική λογική. Υπέθαλψαν την ιδέα της δίτιμης λογικής και την αρχή της μη-αντίφασης στον λογικό συλλογισμό. Εισηγήθηκαν τον έμμεσο τρόπο απόδειξης, αυτόν της “εις άτοπον απαγωγή”. Έθεσαν υπό αμφισβήτηση την ιδέα του συνεχούς και την ιδέα του απείρου, και τον σχετικών διαδικασιών. Ν. Καστάνη

34 Οι Σοφιστές Οι Σοφιστές ήταν δάσκαλοι, κυρίως της Ρητορικής.
Ανάπτυξαν την Ρητορική και κατά συνέπεια συστηματοποίησαν την επιχειρηματολογία Ο Ιππίας, ο Αντιφών και ο Βρύσων ασχολήθηκαν με τα άλυτα προβλήματα των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Ν. Καστάνη

35 Άλυτα προβλήματα Ν. Καστάνη

36 Η σχολή των ατομικών φιλοσόφων: Δημόκριτος (περ. 475-395)
Ο Δημόκριτος ήταν ευκατάστατος, με δημοκρατικές πεποιθήσεις και δραστηριότητες. Σ’ αντίθεση με τους ελεάτες, υποστήριζε την αδιάκοπη κίνηση και μεταβολή των πραγμάτων, λόγω της αιώνιας κίνησης και της πολλαπλότητας της σύμφυσης ή του μεταβολισμού των ατόμων [δηλ. των στοιχειωδών σωματιδίων της ύλης]. Επίσης, δεχόταν την ύπαρξη του κενού. Και η σκέψη του είχε ως βάση την αιτιοκρατία, δηλ. θεωρούσε ότι κάθε φαινόμενο ή γεγονός είχε τις αιτίες του. Ν. Καστάνη

37 Η συμβολή του Δημόκριτου στα Μαθηματικά
Ήταν πολυμαθέστατος και πολυγραφότατος. Μεταξύ των ενδιαφερόντων του ήταν και τα Μαθηματικά. Έγραψε, σύμφωνα με μαρτυρίες, για τη Γεωμετρία, τους Αριθμούς και τις Άρρητες Γραμμές. Διατύπωσε την πρόταση σύμφωνα με την οποία ένας κώνος είναι το ένα τρίτο του κυλίνδρου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Όμοια, μια πυραμίδα είναι το ένα τρίτο του πρίσματος με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Ν. Καστάνη

38 Ν. Καστάνη

39 Στο γύρισμα του 5ου αιώνα π. Χ.
Στο γύρισμα του 5ου αιώνα π. Χ. Ο Φιλόλαος (περ ) ήταν διαπρεπής φιλόσοφος , μεταξύ των πυθαγορείων της δεύτερης γενιάς,μετά τον Πυθαγόρα. Ασχολήθηκε με τη μεταφυσική πλευρά των αριθμών και τις αρμονικές σχέσεις. Επίσης ανάπτυξε τη μέθοδο των υποθέσεων, όπου,με τη μορφή των αιτημάτων και των αρχών, μεθοδεύονταν η ανάπτυξη των φιλοσοφικών ή επιστημονικών θεμάτων. Προώθησε, δηλ. κάποιο είδος πρώιμης αξιωματικής μεθόδου. Ν. Καστάνη

40 Ασχολήθηκε με διάφορα ζητήματα της τεχνολογίας.
Ο Αρχύτας (περ ) ήταν κι αυτός στον κύκλο των πυθαγορείων της δεύτερης γενιάς,μετά τον Πυθαγόρα. Ήταν σημαντικός παράγοντας στην πολιτική ζωή της κάτω Ιταλίας, κυβερνήτης, στρατηγός και επιστήμονας. Ασχολήθηκε με διάφορα ζητήματα της τεχνολογίας. Επίσης έδωσε μια λύση στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου Ν. Καστάνη

41 Έγραψε, πρώτος, βιβλίο για τα Στοιχεία της Γεωμετρίας .
Ο Οινοπίδης από τη Χίο (άκμασε στο δεύτερο μισό του 5ου αιώνα π. Χ.) ασχολήθηκε με την Αστρονομία και κατασκεύασε την κάθετο σε μία ευθεία με γεωμετρικά όργανα. Ο Ιπποκράτης από τη Χίο (άκμασε στο δεύτερο μισό του 5ου αιώνα π. Χ.) ασχολήθηκε με το εμπόριο. Έγραψε, πρώτος, βιβλίο για τα Στοιχεία της Γεωμετρίας . Το όνομα του έμεινε στην Ιστορία με το επίτευγμά του να τετραγωνίσει τους μηνίσκους . Ν. Καστάνη

42 Προ-Πλατωνικά χαρακτηριστικά της μαθηματικής σκέψης
Μέχρι τις αρχές του 4ου αιώνα αναδείχθηκαν κάποια μαθηματικά ενδιαφέροντα και κάποια μαθηματικά προβλήματα. Επίσης διαμορφώθηκαν κάποιοι μαθηματικοί τρόποι σκέψης και κάποια γνωστικά εργαλεία . Ωστόσο, το επιστημολογικό υπόβαθρο ήταν κατακερματισμένο και ανομοιογενές. Αυτό σημαίνει ότι οι διάφορες γνωστικές προσεγγίσεις ήταν ιδεολογικά περιχαρακωμένες. Ν. Καστάνη

43 Ν. Καστάνη