Οι Μαθηματικές Δραστηριότητες και η Θεωρία Δραστηριότητας (Activity Theory) Μέρος Α’ του Ν. Καστάνη.

Παρουσίαση με θέμα: "Οι Μαθηματικές Δραστηριότητες και η Θεωρία Δραστηριότητας (Activity Theory) Μέρος Α’ του Ν. Καστάνη."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Οι Μαθηματικές Δραστηριότητες και η Θεωρία Δραστηριότητας (Activity Theory)
Μέρος Α’ του Ν. Καστάνη

2 Αφορμή Στο άρθρο: Ο μετασχηματισμός της δραστηριότητας σε μαθηματική στα νέα σχολικά εγχειρίδια του Δημοτικού, της Δ. Πόταρη, γίνεται μια νύξη για κάποιο διδακτικό υπόβαθρο των μαθηματικών δραστηριοτήτων.

3 Βιγκότσκι (Vygotsky) ;;;;
Daniels, H. (2001): Βιγκότσκι και Παιδαγωγική Βιγκότσκι (Vygotsky) ;;;;

4 Από τη βιβλιογραφία αυτή, μόνο η δημοσίευση της Πόταρη
κάνει σαφή αναφορά σε διδακτικό υπόβαθρο των δραστηριοτήτων

5 Οι επιλογές, για την ανάπτυξη του θέματος
Η επίδραση του Βιγκότσκι στην Παιδαγωγική και τη Διδακτική, γενικά (και κατ’ επέκταση στη Διδακτική των Μαθηματικών), είναι μεγάλη και πολύ δύσκολο να παρουσιαστεί συνοπτικά, τηλεγραφικά. Εδώ, θα παρουσιαστούν τα εξής ζητήματα: 1. Μια νύξη για τον Βιγκότσκι και την απήχηση του στην Ελληνική Βιβλιογραφία της Παιδαγωγικής. 2. Μια σύντομη αναφορά για την απήχηση του Βιγκότσκι και των προεκτάσεων του στην Ελληνική και Διεθνή Διδακτική των Μαθηματικών. 3. Κάποιες επισημάνσεις στα κύρια χαρακτηριστικά της Θεωρίας Δραστηριότητας (Activity Theory). 4. Το υπόβαθρο της Θεωρίας Δραστηριότητας στη Διδακτική των Μαθηματικών. 5. Η ανάπτυξη των μαθηματικών δραστηριοτήτων από τη σκοπιά της Θεωρίας Δραστηριότητας.

6 Δύο λόγια για τον Βιγκότσκι
Από τη Βικιπαίδεια

7 Ο Βιγκότσκι στην Ελληνική βιβλιογραφία

8

9 Διαφορετικές συμπεριφορές για τον Βιγκότσκι

10 Προκαταρτική επισήμανση
Η απόκλιση αυτή, υποδηλώνει , κατά κανόνα, την ύπαρξη διαφορετικών ιδεολογικών συμπεριφορών και στάσεων. Υπάρχουν συμπεριφορές, φανατικής αντιπάθειας. Φανατικού θαυμασμού. “Φανατικής” αδιαφορίας. Και πραγματικού ενδιαφέροντος ή συγκριτικού ενδιαφέροντος.

11 Τα βασικά χαρακτηριστικά της παιδαγωγικής προσέγγισης του Βιγκότσκι
Η διαπαιδαγώγηση [μέσω της σχολικής εκπαίδευσης] είναι μια θεσμικά οργανωμένη ανέλιξη εκπολιτισμού. Δηλαδή, η συστηματική διαδικασία αφομοίωσης των πολιτισμικών δομών κατανόησης και τρόπων σκέψης, των πολιτισμικών αξιών και των πολιτισμικών μέσων πρακτικής και επικοινωνίας. Οι μαθητές κατασκευάζουν τη γνώση. Και για να είναι η μαθησιακή τους πορεία αποτελεσματική, απαιτείται η ενεργητική συμμετοχή τους. Η νοητική τους ανάπτυξη είναι συνυφασμένη με την κοινωνική και πολιτισμική συγκυρία.

12 Η ανάπτυξη της ατομικής σκέψης έχει τις ρίζες της και αντλεί από τις εμπειρικές δραστηριότητες και τις επικοινωνιακές αλληλοεπιδράσεις στην κοινωνική ζωή. Η γλώσσα παίζει καθοριστικό ρόλο στην διανοητική ανάπτυξη. Οι γλωσσικές σημασίες και τα γλωσσικά σύμβολα αποτελούν τα νοητικά εργαλεία, που παίζουν έναν σημαντικότατο διαμεσολαβητικό ρόλο στην πορεία της μάθησης. Η μετάβαση από τον εμπειρικό στον θεωρητικό (επιστημονικό) τρόπο κατανόησης και σκέψης είναι μέγιστης εκπαιδευτικής σπουδαιότητας.

13 Σχετίζεται ο Βιγκότσκι με τη Διδακτική των Μαθηματικών;
Σελ

14 Σελ. 119

15 Διδακτική των Μαθηματικών
Η ακτινοβολία του Βιγκότσκι σε Αμερικανικό Περιοδικό Διδακτικής των Μαθηματικών Οι Ψυχολογικές Ιδέες του Βιγκότσκι και η Διδακτική των Μαθηματικών

16 Ευρωπαϊκή απήχηση της κληρονομιάς του Βιγκότσκι
Σοβιετικές Έρευνες για τη Διδασκαλία της Άλγεβρας στις Κατώτερες Τάξεις του Δημοτικού Τα Διδακτικά Συστήματα του Davydov/Elkonin από τη μια και του Zankov από την άλλη

17 Διαφορετικές συμπεριφορές για τον Βιγκότσκι στην Ελληνική Διδακτική των Μαθηματικών

18 στην Ψυχολογία της Μάθησης και Διδασκαλίας των Μαθηματικών
Η επιρροή της κληρονομιάς του Βιγκότσκι στη Διδακτική των Μαθηματικών των Η.Π.Α. Σοβιετικές Μελέτες στην Ψυχολογία της Μάθησης και Διδασκαλίας των Μαθηματικών

19 Η Ανάπτυξη της Τύποι Γενίκευσης Σκέψης για το Χώρο στην Εκπαίδευση
στους Μαθητές Τύποι Γενίκευσης στην Εκπαίδευση V. Davydov

20 Αμερικανικές μελέτες γύρω από τη Σοβιετική Διδακτική των Μαθηματικών
Μια Ανάλυση της Διδακτικής των Μαθηματικών στη Σοβιετική Ένωση

21 Jere Confrey

22 Κάποιες επισημάνσεις των ιδεών του Βιγκότσκι στη Διδακτική των Μαθηματικών
Η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης επιτυγχάνεται με την κατασκευή της και την ενεργητική προσπάθεια των μαθητών κι όχι με έτοιμους ορισμούς, θεωρήματα και αποδείξεις, ούτε με παθητική απομνημόνευση. Η καλλιέργεια και η συνειδητοποίηση της μαθηματικής γνώσης προωθείται με κοινωνικο-πολιτισμική επίγνωση, παρά ως ατομοκεντρικό επίτευγμα. Το νόημα, η αξία και η εγκυρότητα κάθε μαθηματικής γνώσης είναι κοινωνικο-πολιτισμικά διαποτισμένα κι όχι εγωπαθή συμπτώματα ή υπερφυσικές ενατενίσεις.

23 Οι έννοιες στα Μαθηματικά αναπτύσσονται από τις αυθόρμητες και άμεσες αντιλήψεις της καθημερινής ζωής στις θεωρητικές και έμμεσες αναπαραστάσεις των μαθηματικών θεωριών. Η μετάβαση από τον εμπειρικό τρόπο σκέψης στον επιστημονικό (δηλ. τον θεωρητικό) πραγματοποιείται με την απόκτηση ικανοτήτων χρήσης και συνειδητοποίησης των νοητικών εργαλείων, δηλαδή των γλωσσικών σημασιών και συμβόλων.

24 Αφορμές για εφαρμογή των ιδεών του Βιγκότσκι στα σχολικά Μαθηματικά
Το ζήτημα της απόδειξης Οι συσχετίσεις των θεωρητικών πλαισίων του Ντίουι και Βιγκότσκι με τη διδασκαλία και μάθηση της απόδειξης στη 10η τάξη Στην ουσία δεν λέει τίποτα. Ωστόσο, δημιουργεί ένα κίνητρο για μια σχετική διείσδυση.

25 Καθημερινή και Μαθηματική Γλώσσα στην
Επιχειρηματολογία και Απόδειξη των Παιδιών

26 Κατανοώντας πως η έννοια των κλασμάτων αναπτύσσεται: μια προσέγγιση από τη σκοπιά των ιδεών του Βιγκότσκι

27 Η διαλεκτική των καθημερινών-επιστημονικών εννοιών του Βιγκότσκι στο σχολείο: μια μελέτη

28 Η θεωρία του Βιγκότσκι για τη διαμόρφωση των εννοιών στη Διδακτική των Μαθηματικών

29 Η χρησιμοποίηση της κοινωνικο-πολιτισμικής θεωρίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών: μια προσέγγιση από τη σκοπιά των ιδεών του Βιγκότσκι

30 Οι Μαθηματικές Δραστηριότητες και η Θεωρία Δραστηριότητας (Activity Theory)
Μέρος Β’ του Ν. Καστάνη

31 Οι επιλογές, για την ανάπτυξη του θέματος
Μέρος Α΄ Μια νύξη για τον Βιγκότσκι και την απήχηση του στην Ελληνική Βιβλιογραφία της Παιδαγωγικής. 2. Μια σύντομη αναφορά για την απήχηση του Βιγκότσκι και των προεκτάσεων του στην Ελληνική και Διεθνή Διδακτική των Μαθηματικών. Μέρος Β΄ 3. Κάποιες επισημάνσεις στα κύρια χαρακτηριστικά της Θεωρίας Δραστηριότητας (Activity Theory). 4. Το υπόβαθρο της Θεωρίας Δραστηριότητας στη Διδακτική των Μαθηματικών. 5. Η ανάπτυξη των μαθηματικών δραστηριοτήτων από τη σκοπιά της Θεωρίας Δραστηριότητας.

32 Τι επισημάνθηκε στο Α΄ μέρος
Η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης επιτυγχάνεται με την κατασκευή της και την ενεργητική προσπάθεια των μαθητών κι όχι με έτοιμους ορισμούς, θεωρήματα και αποδείξεις, ούτε με παθητική απομνημόνευση. Η καλλιέργεια και η συνειδητοποίηση της μαθηματικής γνώσης προωθείται με κοινωνικο-πολιτισμική επίγνωση, παρά ως ατομοκεντρικό επίτευγμα. Οι έννοιες στα Μαθηματικά αναπτύσσονται από τις αυθόρμητες και άμεσες αντιλήψεις της καθημερινής ζωής στις θεωρητικές και έμμεσες αναπαραστάσεις των μαθηματικών θεωριών. Η μετάβαση από τον εμπειρικό τρόπο σκέψης στον επιστημονικό (δηλ. τον θεωρητικό) πραγματοποιείται με την απόκτηση ικανοτήτων χρήσης και συνειδητοποίησης των νοητικών εργαλείων, δηλαδή των γλωσσικών σημασιών και συμβόλων.

33 Η ανάπτυξη των ιδεών του Βιγκότσκι
σελ. 304 Η θέση για τον ενεργητικό (δραστήριο) χαρακτήρα της ανθρώπινης γνώσης είναι… μια γενική μεθοδολογική θέση, πάνω στην οποία πρέπει να στηρίζεται η Διδακτική για τον καθορισμό του περιεχομένου διδασκαλίας. Η γνώση θεωρείται όχι ως μια διαδικασία απλής παρατήρησης, μιας φωτογραφικής απεικόνισης της πραγματικότητας, … αλλά με τη μορφή της πρακτικής ανθρώπινης δραστηριότητας… Στην κατεύθυνση αυτή, η έννοια του “περιεχομένου της επιστήμης” εκφράζει την ενότητα της αντικειμενικής και της υποκειμενικής πλευράς της γνώσης. Έτσι, με την αλλαγή των στόχων και των μέσων της γνωστικής δραστηριότητας των ανθρώπων, αλλάζει και ο συνυφασμένος, μ’ αυτήν, τρόπος κατανόησης της πραγματικότητας. Κραγιέβσκι, Β.: Η Διδακτική ως Θεωρία της Μόρφωσης και της Διδασκαλίας, σελ

34 Τι είναι δραστηριότητα;
Μια ανθρώπινη δραστηριότητα, απλά, έχει να κάνει με μια προσπάθεια για την αντιμετώπιση ή την αξιοποίηση μιας κατάστασης. Π.χ. η προσπάθεια απόκτησης ενός μήλου από ένα ψηλό κλαδί ενός δένδρου ή η προσπάθεια μετακίνησης ενός επίπλου. Προσπάθεια σημαίνει: χρησιμοποίηση φυσικής ενέργειας ή νοητικών δυνάμεων για την εκπλήρωση ενός σκοπού, ενός στόχου. Με άλλα λόγια, δραστηριότητα είναι η ενεργητική συμπεριφορά των ανθρώπων, όταν παρακινούνται να παρέμβουν για την αντιμετώπιση ή το μετασχηματισμό ενός αντικειμένου ή γενικότερα μιας κατάστασης της φυσικής ή της κοινωνικής πραγματικότητας. Μέσα στη δραστηριότητα περιλαμβάνεται: η παρακίνηση, δηλ. το κίνητρο [και το ενδιαφέρον] και ο σκοπός. Η δραστηριότητα δεν είναι μια απλή συμπεριφορά, δηλ. μια αντίδραση σε κάποιο ερέθισμα. Κι αυτό γιατί το κίνητρο και ο σκοπός μιας δραστηριότητας επηρεάζονται, διέπονται, από τις επιλογές του υποκειμένου της δραστηριότητας.

35 Σχηματικά, η δραστηριότητα μπορεί να παρουσιαστεί ως εξής:
Μια ακόμη ιδιαιτερότητα, της θεωρίας αυτής, είναι η ανάδειξη των εργαλείων ως συστατικό στοιχείο της δραστηριότητας. Τα εργαλεία, τα οποία μεσολαβούν μεταξύ του υποκειμένου και του αντικειμένου της δραστηριότητας, παίζουν καθοριστικό ρόλο στις επιλογές, κατά συνέπεια στο σκοπό και το στόχο, της δραστηριότητας, αλλά και στην έκβασή της. Σχηματικά, η δραστηριότητα μπορεί να παρουσιαστεί ως εξής: υποκείμενο ↔ δραστηριότητα ↔ πραγματικότητα Η κάθε δραστηριότητα αναλύεται σε κίνητρο ↔ εργαλεία ↔ πραγματικότητα Όταν ένα κίνητρο αποκρυσταλλωθεί σ’ έναν στόχο, τότε η δραστηριότητα συγκεκριμενοποιείται σε μια δράση. Δράση: στόχος ↔ εργαλεία ↔ πραγματικότητα Μια δράση γίνεται πιο συγκεκριμένη όταν προσαρμοστεί και στις αντίστοιχες συνθήκες, τότε η δράση αυτή γίνεται μια πράξη (operation). Πράξη: συνθήκες ↔ εργαλεία ↔ πραγματικότητα

36 Παράδειγμα Το κυνήγι: ένα κίνητρο είναι η τροφή, εργαλεία μπορεί να
Το κυνήγι: ένα κίνητρο είναι η τροφή, εργαλεία μπορεί να είναι, σε μια πρωτόγονη περίοδο, το ακόντιο, το ρόπαλο και το τόξο. Ο στόχος διαμορφώνεται όταν συγκεκριμενοποιηθεί το θήραμα.

37 Οι συνθήκες μπορεί να είναι περιβαλλοντολογικές,
αλλά και κοινωνικές ή συλλογικές.

38 Υλικά εργαλεία

39 Νοητικά εργαλεία Ήδη ο Βιγκότσκι είχε επισημάνει ότι η γλώσσα είναι ένα σημαντικότατο νοητικό εργαλείο (ή μέσο) δραστηριότητας. Ένα εργαλείο, που δεν αποθηκεύει μόνο πληροφορίες, αλλά οργανώνει κι αναπτύσσει τη σκέψη. Στην αναπτυξιακή δυναμική της γλώσσας, δημιουργούνται οι προϋποθέσεις για τη διαμόρφωση νέων νοητικών στοιχείων, δηλ. θεωρητικών εννοιών, που δεν είναι, απλή, συνέπεια εμπειρικής γενίκευσης. Π.χ. τα κβάντα ή οι αρνητικοί αριθμοί. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η δυναμική της γλώσσας παίζει καταλυτικό ρόλο στη νοητική αναδόμηση της επιστημονικής γνώσης, δηλ. στην αναθεώρηση των επιστημονικών θεωριών. Στις πιο σύγχρονες προσεγγίσεις, δίνεται έμφαση και στις επιστημονικές μεθόδους. Είναι αξιοσημείωτο ότι η υιοθέτηση νέων επιστημονικών μεθόδων προκαλούν, κατά κανόνα, διευρύνσεις ή ανακατατάξεις στους επιστημονικούς κλάδους. Π.χ. η μέθοδος των συντεταγμένων.

40 Κάποιες επισημάνσεις σχετικά με τη μέθοδο των συντεταγμένων
Μέθοδος Συντεταγμένων

41 Λόγος περί της Μεθόδου

42 Διδακτικές συνέπειες Η μάθηση, για να είναι δημιουργική, χρειάζεται την ενεργητική συμμετοχή των μαθητών στα μαθήματα. Αυτό δεν μπορεί να επιτευχθεί με ευχές, ούτε με αυταρχισμό. Προϋποθέτει, πρώτα και κύρια, τη δημιουργική προσπάθεια των εκπαιδευτικών στην κατεύθυνση της διαμόρφωσης, προώθησης και καθοδήγησης των μαθησιακών δραστηριοτήτων. Για το σκοπό αυτό η γνώση δεν αντιμετωπίζεται ως μια συλλογή με ταχτοποιημένες, αυθύπαρκτες, αλήθειες, που παρουσιάζονται με έτοιμους ορισμούς, με προσχηματικά θεωρήματα, με λογικοφανείς αποδείξεις και με εξυπνακίστικες ασκήσεις. Το περιεχόμενο της μάθησης είναι απαραίτητο να συνδέεται, στο μέγιστο βαθμό, με την κοινωνικο-πολιτισμική πραγματικότητα κι όχι να προβάλλεται ως μια ουρανοκατέβατη θεωρητικολογία.

43 Είναι αναγκαία η προώθηση μιας κατασκευαστικής ανάπτυξης, όπου οι μαθητές, με την καθοδήγηση των καθηγητών τους, να παρακινούνται, να προβληματίζονται, να προσανατολίζονται και να διαμορφώνουν τη νέα γνώση, είτε ως προέκταση των γνώσεων τους, είτε ως αναδιοργάνωση κι αλλαγή του τρόπου σκέψης τους. Στην κατεύθυνση αυτή, οι νέοι επιστημονικοί όροι, που προκύπτουν κατά τη διδασκαλία, είναι αναγκαίο να συνειδητοποιηθεί η σημασία και η ιδιαιτερότητα τους, όπως και η αξία του αντίστοιχου συμβολισμού τους. Είναι, δηλαδή, μεγάλης διδακτικής σημασίας η επίγνωση του γλωσσικού εργαλείου. Αυτό προϋποθέτει μια υπέρβαση της κατεστημένης διδακτικής συμπεριφοράς, η οποία απλά επιβάλει τη νέα ορολογία και επιδιώκει τη μηχανιστική εξοικείωση. Η ίδια διδακτική έμφαση πρέπει να δοθεί και στην επίγνωση των μεθοδολογικών εργαλείων, τα οποία στην παραδοσιακή διδασκαλία, απλά, υπονοούνται.

44 Αν και η κοινωνικο-πολιτιστική δικαιολόγηση μπορεί να στηρίξει, σε μεγάλο βαθμό, το γιατί μαθαίνουν οι μαθητές Μαθηματικά και να δώσει κίνητρα, ωστόσο, πολλές φορές, χρειάζεται και η συμπληρωματική δικαιολόγηση της εσωτερικής δυναμικής και σημασίας των Μαθηματικών. Κάποια παραδείγματα από τις κωνικές τομές, με πολιτισμικά ή κοινωνικά κίνητρα στα Μαθηματικά. 1. Μια τοιχογραφία από τα αρχαιολογικά ευρήματα της Βεργίνας

45 Σχετικά με … την κατασκευή της μαθηματικής σημασίας της οπτικής πυραμίδας

46 Διοκλής Περί Πυρείων 2. Καυστικά κάτοπτρα.

47 Για την ανάπτυξη μιας μαθησιακής δραστηριότητας δεν αρκεί το κίνητρο και το ενδιαφέρον. Χρειάζεται και ο προσανατολισμός σε κάτι ζητούμενο, δηλ. ο στόχος. Έτσι για τη δημιουργία μιας μαθησιακής δραστηριότητας, στα Μαθηματικά, είναι αναγκαίο να υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος στόχος, ως επακόλουθο των κινήτρων. Μια μαθησιακή δραστηριότητα, σύμφωνα με τη Θεωρία Δραστηριότητας, είναι μια σκόπιμη [μ’ άλλα λόγια, μια στοχο-προσηλωμένη] δραστηριότητα. Ένα παράδειγμα: οι στόχοι για τα κλάσματα.

48 Τα Κλάσματα στη Ρεαλιστική Διδακτική των Μαθηματικών
Σελ. 127 4.4.2.Ο ρόλος των πλαισίων (contexts) Τα ρεαλιστικά πλαίσια έδειξαν ότι μπορούν να είναι και πηγή για τη διαμόρφωση της έννοιας και πεδίο εφαρμογών.

49 Η δυνατότητα, τώρα, ανάπτυξης της μαθηματικής δραστηριότητας και κατανόησης δεν μπορεί να επιτευχθεί χωρίς την επίγνωση των μαθηματικών εργαλείων. Π.χ. οι διαδικασίες των αριθμητικών πράξεων [όπως του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης] αποτελούν περιπτώσεις της αλγοριθμικής μεθόδου. Η μέθοδος αυτή είναι ένα μαθηματικό εργαλείο και είναι σημαντική η εξήγησή του για τη συνειδητοποίηση των αριθμητικών χειρισμών.

50 Η γεωμετρική καταγωγή της και η γενική σημασία της
Η μέθοδος της αναλογίας Η Μέθοδος της Ανάλυσης Η γεωμετρική καταγωγή της και η γενική σημασία της

51 Αυτός ο καταπληκτικός Συμμετρικός Κόσμος

52 Αν ΣΤ είναι μια ακτίνα φωτός, με Σ(2,1) και Τ(3,3) και
υποθέσουμε ότι οι άξονες Οx και Οy είναι καθρέπτες, να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που θα προκύψει ύστερα από δύο αντανακλάσεις της αρχικής ευθείας (δηλ. της ακτίνας φωτός) στους καθρέπτες των αξόνων.

53 Η ανάπτυξη των μαθηματικών δραστηριοτήτων από τη σκοπιά της Θεωρίας Δραστηριότητας .
Σύμφωνα με τη Θεωρία αυτή, η ανάπτυξη των μαθηματικών δραστηριοτήτων στο σχολείο δίνει έμφαση: 1) Στα κίνητρα που δημιουργούνται από τις κοινωνικές και πολιτισμικές καταστάσεις. 2) Στη διαμόρφωση κάποιων στόχων για την ανάπτυξη των συγκεκριμένων μαθηματικών εννοιών. 3) Στην προώθηση της ενεργητικής συμμετοχής των μαθητών και των εκπαιδευτικών στην κατασκευή των απαιτούμενων νέων γνώσεων. 4) Στη συνειδητοποίηση των υλικών και νοητικών εργαλείων που χρησιμοποιούνται στο λειτουργικό υπόβαθρο των νέων γνώσεων. 5) Στην αξιοποίηση των νέων γνώσεων για τη λύση προβλημάτων της καθημερινής ζωής ή της επιστήμης.

54 Παραδείγματα Τα κλάσματα, στη ζωή, στις επιστήμες, την τέχνη και στην ιστορία. α. Τα κλάσματα στη μαγειρική Cooking Up Fractions

55 γ. Τα κλάσματα στη Φυσική, τη Χημεία και τη Βιολογία
δ. Τα κλάσματα στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό και στον Αραβικό Πολιτισμό ε. Τα μόρια, τα τζακίσματα και τα κλάσματα: τρεις διαφορετικοί όροι στην ιστορία του Ελληνικού Πολιτισμού στ. Από τον λογισμό των κλασμάτων στη δομή των ρητών αριθμών.

56 Το μηδέν στη ζωή, την επιστήμη και στην ιστορία
Υπάρχουν διαφορετικές πολιτισμικές συμπεριφορές για το μηδέν;;; Πως κατανοείται το μηδέν στην καθημερινή ζωή;; Ποια η συμπεριφορά για το μηδέν, στις διάφορες φάσεις του Ελληνικού Πολιτισμού;

57

58 Υλικά μαθηματικά εργαλεία

59 Νοητικά μαθηματικά εργαλεία – μαθηματικές μέθοδοι
Νοητικά μαθηματικά εργαλεία – μαθηματικές μέθοδοι Αναλυτική και συνθετική μέθοδοι Επαγωγική μέθοδος Αποδεικτική μέθοδος Αξιωματική μέθοδος Αλγοριθμικές μέθοδοι Η μέθοδος της εξάντλησης Η μέθοδος της αναλογίας

60

61