Οι Εννοιολογικές Αλλαγές στην Ιστορία τηςΑλγεβρικής Σκέψης Μέρος 1ο Οι Εννοιολογικές Αλλαγές στην Ιστορία της Αλγεβρικής Σκέψης Μέρος 1ο Ν. Καστάνη.

Παρουσίαση με θέμα: "Οι Εννοιολογικές Αλλαγές στην Ιστορία τηςΑλγεβρικής Σκέψης Μέρος 1ο Οι Εννοιολογικές Αλλαγές στην Ιστορία της Αλγεβρικής Σκέψης Μέρος 1ο Ν. Καστάνη."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Οι Εννοιολογικές Αλλαγές στην Ιστορία τηςΑλγεβρικής Σκέψης Μέρος 1ο Οι Εννοιολογικές Αλλαγές στην Ιστορία της Αλγεβρικής Σκέψης Μέρος 1ο Ν. Καστάνη

2 Εισαγωγή: Γιατί Ιστορία της Άλγεβρας; Τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύσσεται ένα μεγάλο ενδιαφέρον για την Ιστορία των Μαθηματικών και την Ιστορία της Άλγεβρας ειδικότερα. Κι αυτό δεν είναι τυχαίο. Πρόβαλε ως επακόλουθο των νέων φιλοσοφικών ρευμάτων στη μαθηματική παιδεία. μη απολυτοκρατικά Τα φιλοσοφικά αυτά ρεύματα χαρακτηρίζονται ως μη απολυτοκρατικά, δηλ. προσδιορίζονται από τη βασική τους θέση ότι η μαθηματική γνώση ανανεώνεται, μετασχηματίζεται, αναδομείται και δεν είναι μια απλή συσσώρευση απόλυτων, αναλλοίωτων μαθηματικών αληθειών.

3 Εισαγωγή: Δύο σχετικές αναφορές

4 Εισαγωγή: Το νέο πνεύμα κατανόησης της Ιστορίας της Άλγεβρας Michael S. Mahoney Princeton University

5 Ιστορίας της Άλγεβρας Διδακτική των Μαθηματικών Η επίδραση του νέου πνεύματος της Ιστορίας της Άλγεβρας στη Διδακτική των Μαθηματικών

6 σχετικά με την Ιστορία της Άλγεβρας Μια αφορμή για έναν αρχικό προβληματισμό σχετικά με την Ιστορία της Άλγεβρας

7 απαρχές της Άλγεβρας Ερωτήματα σχετικά με τις απαρχές της Άλγεβρας Η Άλγεβρα πρωτοεμφανίστηκε με έτοιμες εξισώσεις; Ή υπήρξε ένα προκαταρτικό στάδιο, όπου άρχισαν να εμφανίζονται κάποια πρωτο- αλγεβρικά στοιχεία; Πότε επισημαίνονται τα πρώτα ίχνη αλγεβρικής σκέψης στην ιστορία; Ποιες πρωταρχικές έννοιες αποτέλεσαν το γενετικό υλικό του πρώιμου αλγεβρικού τρόπου επίλυσης κάποιων μαθηματικών προβλημάτων;

8 Πότε επισημαίνονται τα πρώτα ίχνη αλγεβρικής σκέψης στην ιστορία;

9

10

11 Ιστοριογραφική αντιπαράθεση Archive for History of Exact Sciences, Vol. 15, 1975, pp. 67-114

12 Υπάρχειή ερμηνεύτηκαν Υπάρχει βαβυλωνιακή Άλγεβρα; ή κάποια βαβυλωνιακά κείμενα ερμηνεύτηκαν ως αλγεβρικά υποκατάστατα  

13 Γεωμετρική λύση του προηγούμενου προβλήματος δεν Στο βαβυλωνιακό αυτό τεκμήριο πουθενά δεν υπάρχει νύξη ή υπόνοια άγνωστο σχετικά με άγνωστο ή αγνώστους, ούτε διαφαίνεται κάποια χρήση ισοτήτων ισοτήτων. αλγοριθμικός Ο μαθηματικός λόγος του συγκεκριμένου κειμένου είναι αλγοριθμικός, δηλ. χαρακτηρίζεται ως μια διαδοχή υπολογιστικών εντολών και πράξεων.

14 Αιγυπτιακή Άλγεβρα; Όπως στην ιστοριογραφία των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών έτσι και στην ιστοριογραφία των Αιγυπτιακών Μαθηματικών αποδίδονται κάποια αρχαιολογικά τεκμήρια ως αλγεβρικές εκφάνσεις.

15 Ιστοριογραφική απόρριψη της Αιγυπτιακής Άλγεβρας Annette Imhausen Πλήρης απόρριψη των αλγεβρικών εξισώσεων από τα Αιγυπτιακά Μαθημ.

16 Υπάρχει Άλγεβρα στον Ευκλείδη; σελ. 208-209

17 Η πρόταση ΙΙ.11 των Στοιχείων του Ευκλείδη

18 Γιατί δεν είναι Άλγεβρα η πρόταση ΙΙ.11 των Στοιχείων του Ευκλείδη Δεν χρησιμοποιείται άγνωστος. Δεν χρησιμοποιούνται συντομογραφικές αναπαραστάσεις των σχέσεων (δηλ. των ισοτήτων) του ζητούμενου (δηλ. του αγνώστου) με τα δεδομένα. συντακτικού λογισμού Δεν χρησιμοποιούνται αλγεβρικές διαδικασίες επίλυσης ισοτήτων, που είναι ένα είδος συντακτικού λογισμού ο οποίος εφαρμόζεται στις αναπαραστάσεις των ισοτήτων. Π.χ.

19 αλγεβρικής σκέψης Υπάρχουν ίχνη αλγεβρικής σκέψης στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό; σημαντικότατη πηγή της αλγεβρικής σκέψης Τα Αριθμητικά του Διόφαντου θεωρούνται ως μια σημαντικότατη, αν όχι η σημαντικότερη, πηγή της αλγεβρικής σκέψης. παράταιρα Αντιμετωπίζονται όμως ως παράταιρα με το γεωμετρικό πνεύμα του Αρχαίου Ελληνικού Πολιτισμού. υπερβατικά Στην παραδοσιακή ιστοριογραφία συσχετίζονται, υπερβατικά, με τη “βαβυλωνιακή Άλγεβρα” ή με τη "γεωμετρική Άλγεβρα".

20 Το πρόβλημα Ι.1 των Αριθμητικών του Διόφαντου Η εξίσωση: 100=2x+40 Ο άγνωστος

21 Το πρόβλημα ΙΙ.8 των Αριθμητικών του Διόφαντου Εκφώνηση του προβλήματος: Δοσμένος τετράγωνος αριθμός να χωριστεί σε δύο τετράγωνους αριθμούς. Θεωρείται ότι ο αρχικός αριθμός είναι 16. Λαμβάνεται, υποθετικά, ο πρώτος από τους ζητούμενους ως x², τότε ο δεύτερος θα είναι 16- x². Ο 16- x² πρέπει να είναι τετράγωνος. Θεωρείται ότι είναι ο (2x- 4)², οπότε 4x²+16- 16x=16- x², 5x²=16x, x=16 / 5. Και οι ζητούμενοι είναι: 256 / 25 και 144 / 25. Η εξίσωση: 4x²+16- 16x=16- x² Το μείον Το x²

22 Διευκρινίσεις στο πρόβλημα Ι.1 Εκφώνηση του προβλήματος: Δοσμένος αριθμός να χωριστεί σε δύο αριθμούς που η διαφορά τους είναι δοσμένη. Θεωρείται ότι ο αρχικός αριθμός είναι 100 και η διαφορά των δύο ζητούμενων μερών του είναι 40. Λαμβάνεται, υποθετικά, το μικρότερο από τα ζητούμενα μέρη ως x, τότε το μεγαλύτερο θα είναι x+40 και τα δύο μαζί 2x+40, που δίνεται και είναι 100. Οπότε: ίσαι εισίν 100 ίσαι εισίν 2x+40 δηλ. 100=2x+40. Από ομοίων όμοια Από ομοίων όμοια, δηλ. αντικατάσταση δύο όρων του ιδίου τύπου, που βρίσκονται σε διαφορετικά μέλη μιας εξίσωσης, από τη διαφορά τους στο μέλος που βρίσκεται ο μεγαλύτερος.

23 Τα αλγεβρικά σύμβολα και οι αλγεβρικές πράξεις του Διόφαντου Συντομογραφία του Διόφαντου Ορολογία του Διόφαντου Σύγχρονος συμβολισμός λειψις – μονά δες Αριθμός x δύναμις x2x2 κύβος δυναμοδύναμι ς δυναμόκυβος κυβόκυβος 1η αλγεβρική πράξη: αφαιρείν τα όμοια από των ομοίων. 2η αλγεβρική πράξη: προσθείναι τα λείποντα είδη εν αμφοτέροις τοις μέρεσιν.

24 Οι αλγεβρικές πράξεις του Διόφαντου Είναι φανερό, από τα προηγούμενα παραδείγματα, ότι ο Διόφαντος χειρίζεται τις ισότητες. Μεταβαίνει από μια ισότητα σε μια άλλη με τη βοήθεια δύο κανόνων μετασχηματισμού των ισοτήτων: αφαιρείν τα όμοια από των ομοίων 1) αφαιρείν τα όμοια από των ομοίων, προσθείναι τα λείποντα είδη εν αμφοτέροις τοις μέρεσιν 2) προσθείναι τα λείποντα είδη εν αμφοτέροις τοις μέρεσιν.  Ο πρώτος κανόνας σημαίνει: 100=2x+40  60=2x.  Ο δεύτερος κανόνας σημαίνει: 4x²+16-16x=16-x²  4x²+16=16+16x-x²  4x²=16x-x²  5x²=16x. Αυτοί οι κανόνες χρησιμοποιούνται και στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

25 Οι κανόνες μετασχηματισμού ισοτήτων στα Στοιχεία του Ευκλείδη Πρόταση Ι.28

26 Οι χειρισμοί ισοτήτων στα Στοιχεία του Ευκλείδη και γενικότερα στον Ελληνικό Πολιτισμό Πρόταση Ι.35 Οι ισότητες χρησιμοποιήθηκαν από Αρχύτα τον 4ο αιώνα π.Χ. και λίγο αργότερα από τον Πλάτωνα στις απόψεις τους για τα δικαιώματα των πολιτών. Γι’ αυτούς δεν ήταν όλοι οι πολίτες ίσοι. Κάποιοι ήταν πιο ίσοι. Υποστήριζαν ότι για κάποιους πολίτες έπρεπε να ισχύει η αριθμητική ισότητα, για κάποιους άλλους, η γεωμετρική ισότητα και για άλλους, η αρμονική ισότητα. Ο χειρισμός των ισοτήτων ήταν συστατικό στοιχείο και του νεοπαγούς νομισματικού συστήματος του Ελληνικού Πολιτισμού

27 αναλυτικής μεθόδου Η χρήση του άγνωστου ως αιχμή της αναλυτικής μεθόδου στην Αριθμητική Ο άγνωστος χρησιμοποιείται στη επίλυση των αριθμητικών υποθετική ποσότητα προβλημάτων ως μια υποθετική ποσότητα, η οποία συνδέεται με τα δεδομένα σε σχέσεις ισοτήτων. Με τους κανόνες μετασχηματισμού των ισοτήτων προσδιορίζεται η υποθετική ποσότητα. Στην προκειμένη περίπτωση η χρήση του υποθετικού συλλογισμού είναι η αναλυτικής μεθόδου εφαρμογή της αναλυτικής μεθόδου στην Αριθμητική.

28 αναλυτικής μεθόδου Μια ακόμη συσχέτιση της αναλυτικής μεθόδου με την Αριθμητική του Διόφαντου

29 Ο υποθετικός συλλογισμός και η αναλυτική μέθοδος αναδείχθηκαν στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό

30 καρπός Η αλγεβρική σκέψη του Διόφαντου ήταν καρπός της ιδιαιτερότητας του Αρχαίου Ελληνικού Τρόπου Σκέψης Η έννοια της ισότητας και ο λογισμός ισοτήτων εμφανίστηκαν στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό. Η αναλυτική μέθοδος ήταν μια μορφή υποθετικής μεθόδου. Και η υποθετική μέθοδος πρόβαλε από τη Ρητορική των Αρχαίων Ελλήνων. Χωρίς αυτό το υπόβαθρο της μαθηματικής σκέψης δεν μπορούσε να γίνει η υπέρβαση της Αριθμητικής.

31 Το επίπεδο ανάπτυξης της αλγεβρικής σκέψης του Διόφαντου δεν Ο βασικός του σκοπός δεν ήταν η επίλυση γενικών εξισώσεων, αλλά να μετασχηματίσει τα αριθμητικά του προβλήματα σε εξισώσεις από τις οποίες θα προσδιορίζονταν οι λύσεις τους. μια ενδιάμεση τεχνική Η επίλυση των εξισώσεων ήταν γι’ αυτόν ένα βοηθητικό μέσο, μια ενδιάμεση τεχνική, για τη λύση των αριθμητικών προβλημάτων και όχι ιδιαίτερο αντικείμενο μελέτης. δεν Γι’ αυτό δεν συστηματοποίησε τις εξισώσεις και τις διαδικασίες επίλυσής τους σε κατηγορίες

32 Τα Αριθμητικά του Διόφαντου μπορούν να χαρακτηριστούν ως μια μορφή πρωτο-αλγεβρικής σκέψης