ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ
Προσδοκίες που δημιουργεί ο τίτλος του μαθήματος. Συνάντηση 3η 8/4/2017 Μαθηματικές έννοιες και Φυσικές Επιστήμες

2 Λέξεις & φράσεις κλειδιά των προηγούμενων μαθήματων
Άτυπες στρατηγικές μαθητών Αριθμός Αρίθμηση Κατασκευή της προφορικής ακολουθίας των αριθμολέξεων Άμεση εκτίμηση ποσοτήτων Απαρίθμηση & κατασκευή συλλογών ορατών αντικειμένων Αναγνώριση και γραφή των συμβόλων των αριθμών

3 Στόχοι του μαθήματος Η κατανόηση του περιεχομένου των Μαθηματικών που αποτελούν αντικείμενο τυπικής ή άτυπης διδασκαλίας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας. - Το νόημα του αριθμού, το περιεχόμενο της πρώτης αρίθμησης. Η κατανόηση των θεωριών ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών παιδιών προσχολικής ηλικίας. Διατακτικοί αριθμοί Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών Συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων Μελέτη της διδακτικής προσέγγισης και συζήτηση για το σχεδιασμό δραστηριοτήτων.

4 Διατακτικοί αριθμοί (1)
Η διατακτική σημασία του αριθμού εκφράζει τη σχετική θέση ενός αντικειμένου σε μια συλλογή με προκαθορισμένη ιεραρχική δομή και συνδέεται με τις λέξεις πρώτος, δεύτερος, τρίτος κ.λπ. (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 75). Η διατακτική σημασία του αριθμού είναι μια εξίσου σημαντική λειτουργία όπως και η πληθικότητα του αριθμού και είναι επιθυμητό να εξοικειώνονται σταδιακά τα παιδιά με αυτή.

5 Διατακτικοί αριθμοί (2)
Σύμφωνα με ερευνητές η γνώση της σειράς των αριθμολέξεων σχετικά με τη διάταξη καθυστερεί σε σχέση με τη γνώση της σειρά των αριθμολέξεων σε σχέση με την αρίθμηση, καθώς σύμφωνα με τον Barrody η χρήση των διατακτικών ή τακτικών αριθμών (ordinal numbers) απαιτεί την κατανόηση της σχετικής θέσης ενός αντικείμενου σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 75). Για παράδειγμα, η χρήση της αριθμολέξης «πρώτος» εξαρτάται από ποια κατεύθυνση βλέπουν τα παιδιά αυτή τη σειρά.

6 Διατακτικοί αριθμοί (3)
Σε έρευνα που έγινε με παιδιά ηλικίας από 3 ετών και 6 μηνών μέχρι 4 ετών και 10 μηνών ζητήθηκε από αυτά να δείξουν το 2ο, 1ο, 4ο, 10ο, 3ο, 7ο και 14ο άνθρωπο σε μια σειρά 15 ατόμων που βρίσκονταν στη στάση ενός λεωφορείου. Βρέθηκε ότι μισά σχεδόν παιδιά του δείγματος δεν έδωσαν καμιά απάντηση και τα υπόλοιπα απάντησαν σωστά μόνο για το 1ο, 2ο και 4ο αντικείμενο της σειράς (Bruce & Threlfall 2004, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ ).

7 Διατακτικοί αριθμοί (4)
Στην έρευνα διαπιστώθηκε ότι (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 76): τα παιδιά συνήθως έδειχναν συνεχόμενες θέσεις ανεξαρτήτως των τακτικών αριθμών που τους ζητούσαν (consecutive ordinal sequencing), κάποια παιδιά προσπαθούσαν να κάνουν εκτιμήσεις για να εντοπίσουν την σειρά διάταξης, ένα μόνο παιδί στην έρευνα χρησιμοποίησε την αρίθμηση για να απαντήσει στο ερώτημα κάτι που δείχνει ότι μπορεί αρχικά η διάταξη ενός αριθμού να μην συνδέεται από τα παιδιά με την πληθικότητά του.

8 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (1)
Η συγκρότηση της έννοιας του αριθμού, ως έννοιας αφηρημένης και συνεπώς αποδεσμευμένης από αισθητά αντικείμενα, αποτελεί μια σημαντική κατάκτηση της ανθρώπινης νόησης (Ζαχάρος 2007: σελ. 225). Το μικρό παιδί στο αισθησιοκινητικό στάδιο ανάπτυξης (περίπου μέχρι τους δεκαοκτώ πρώτους μήνες) αρχίζει να ξεχωρίζει το ένα, το δύο και τα πολλά αντικείμενα. Η πορεία μάθησης της αρίθμησης από το παιδί αντανακλά την πορεία ανάπτυξης της μέτρησης ως δημιούργημα του ανθρώπινου πολιτισμού.

9 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (2)
Στην πορεία ανάπτυξης των μικρών παιδιών αντιστοιχούν τα πρώτα στάδια της εξέλιξης του ανθρώπινου γένους. Η ανάπτυξη του ατόμου (οντογένεση) αντανακλά και παράλληλα εμπεριέχει την εξέλιξη του είδους (φυλογένεση) (Hughes 1986, στο Ζαχάρος 2007: σελ. 227)

10 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (3) Στην εποχή των Φαραώ (Αίγυπτος)
Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (3) Στην εποχή των Φαραώ (Αίγυπτος) (Ζαχάρος 2007: σελ. 226)

11 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (4)
Ο σχεδιασμός των δραστηριοτήτων για την οικοδόμηση της έννοιας του αριθμού για πολλά χρόνια –και στη χώρα μας- στηρίχτηκε στον ορισμό του αριθμού ως κοινής ιδιότητας ισοδυνάμων συνόλων (δυο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό αν και μόνο αν τα στοιχεία τους μπορούν να αντιστοιχηθούν το ένα με το άλλο) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 76). Η στήριξη της πρώτης αρίθμησης στην ένα προς ένα αντιστοιχία που διατηρήθηκε για πολλά χρόνια στην εκπαιδευτική διαδικασία, αμφισβητήθηκε από πολλούς ερευνητές που θεωρούν ότι η κατανόηση της είναι μεταγενέστερη άλλων όψεων του νοήματος του αριθμού. Στα προγράμματα σχολικών μαθηματικών υπήρχαν δραστηριότητες ομαδοποιήσεων, ταξινομήσεων, διατάξεων και αντιστοιχίσεων, της έννοιας του συνόλου και της ισοδυναμίας συνόλων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 76).

12 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (5)
Ο αριθμός κατά τον Piaget είναι μια σύνθεση δυο ειδών σχέσεων που δημιουργεί το παιδί ανάμεσα στα αντικείμενα. Η πρώτη είναι η διάταξη και η δεύτερη ο ιεραρχικός εγκλεισμός (Kazuko-Kamii & De Clark 1985: σελ. 29).

13 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (6) Η σχέση της διάταξης
Ο μόνος τρόπος με τον οποίο μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι δεν αγνοήσαμε κάποια αντικείμενα ή ότι δε μετρήσαμε το ίδιο αντικείμενο περισσότερες από μια φορές είναι να τα διατάξουμε.

14 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (7) Η σχέση του ιεραρχικού εγκλεισμού
Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (7) Η σχέση του ιεραρχικού εγκλεισμού Ενώ για να καθορίσει το παιδί την ποσότητα της συλλογής των αντικειμένων πρέπει να οικειοποιηθεί τη σχέση του ιεραρχικού εγκλεισμού. (Kazuko-Kamii & De Clark 1985: σελ. 30)

15 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (8)
Νεότερες έρευνες αμφισβήτησαν την οπτική που επικεντρωνόταν στη θεώρηση του αριθμού ως κοινής ιδιότητας ισοδυνάμων συνόλων και επικεντρώθηκαν σε έργα και δραστηριότητες που αναπτύσσουν τις αριθμητικές έννοιες και δίνουν νόημα στον αριθμό (Τζεκάκη 2007: σελ. 205). Γίνεται κατανοητό ότι αποδεκτή πλέον άποψη είναι ότι η ανάπτυξη των πρώτων αριθμητικών εννοιών στηρίζεται, κυρίως στην ικανότητα του παιδιού για αρίθμηση. Και μάλιστα στην πρώτη αρίθμηση, δηλαδή στην κατανόηση του νοήματος που έχει ο αριθμός, στην κατανόηση των σχέσεων των αριθμών της πρώτης δεκάδας (απαρίθμηση, διατακτική σημασία και πληθική σημασία, λειτουργική ανάγνωση και γραφή, …).

16 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (9) Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων
Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (9) Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων Ο Steffe et al. ( , στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 78) , διέκριναν πέντε τύπους αριθμήσιμων μονάδων που τα παιδιά κατασκευάζουν, όταν αριθμούν για να βρουν την πληθικότητα μιας συλλογής: Αντιληπτικές (perceptual) - Τα παιδιά έχουν την ικανότητα να αριθμούν αντικείμενα που γίνονται αντιληπτά με τις αισθήσεις τους (ορατά αντικείμενα, διακριτοί ήχοι, κ.λπ). - Αντιθέτως αντικείμενα που κρύβονται μπροστά τους δεν υπολογίζονται στις μετρήσεις τους.

17 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (10) Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων
Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (10) Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων Αναπαραστατικές (figural) - Στην κατηγορία αυτή τοποθετούνται τα παιδιά που μπορούν με αρίθμηση να απαντήσουν πόσα είναι όλα τα αντικείμενα μιας συλλογής ένα μέρος της οποίας δεν είναι ορατό. - Για παράδειγμα δυο αντικείμενα είναι ορατά για τα παιδία και ένα τρίτο μπροστά τους τοποθετείται κάτω από ένα χαρτομάντιλο. Να σημειωθεί ότι τα παιδιά από την ηλικία των 2 ετών έχουν την ικανότητα να φανταστούν ένα αντικείμενο ακόμη και αν δεν το βλέπουν (object permanence – Steffe 2004, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 79. Κινητικές (motor) Όταν η αρίθμηση αντιληπτικών ή αναπαραστατικών αριθμήσιμων μονάδων συνοδεύονται από κάποιες φυσικές κινήσεις που χρησιμοποιούνται αυθόρμητα από τα παιδιά, οι κινήσεις αυτές μπορεί να θεωρηθούν ως αριθμήσιμες μονάδες και να αποτελέσουν ένα πιο εξελιγμένο είδος αρίθμησης. Για παράδειγμα τα παιδιά χρησιμοποιούν τα δάχτυλα των χεριών τους. - Οι κινητικές μονάδες αρίθμησης δείχνουν ότι τα παιδιά παύουν να επηρεάζονται από τα αντικείμενα στα οποία αναφέρονται οι συλλογές τις οποίες καλούνται να αριθμήσουν.

18 Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (11) Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων
Οικοδόμηση των φυσικών αριθμών (11) Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων Λεκτικές (verbal) - Όταν ο συντονισμός των κινητικών αριθμήσιμων μονάδων και της απαγγελίας των αριθμολέξεων έχει αυτοματοποιηθεί, η απλή απαγγελία μιας αριθμολέξης μπορεί να σημαίνει ταυτόχρονα και την κατασκευή μιας αριθμήσιμης μονάδας. - Οι λεκτικές αριθμήσιμες μονάδες αποτελούν ένα ακόμη βήμα ανεξαρτησίας από την αισθησιο-κινητική δραστηριότητα του παιδιού. Αφηρημένες (abstract) Στο στάδιο αυτό κάθε αριθμολέξη αντιπροσωπεύει και όλες όσες προηγούνται. Για παράδειγμα αν έχουμε κουτιά με 3 και 4 κρυμμένα αντικείμενα τα οποία τα τοποθετήσαμε μέσα σε αυτά μπροστά σε ένα παιδί και το ρωτήσουμε πόσα είναι όλα μαζί, τότε μπορεί να φτάσει στο αποτέλεσμα αριθμώντας «3, 4, 5, 6, 7», κάτι που μας δείχνει ότι ξεκινώντας την αρίθμηση από το 3 δεν έχει ανάγκη να μετρήσει τις μονάδες που φτιάχνουν το συγκεκριμένο αριθμό.

19 Συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων (1)
Η εμπλοκή των παιδιών προσχολικής ηλικίας σε δραστηριότητες σύγκρισης δυο ή περισσότερων συλλογών αντικειμένων (με ένα ή δυο περισσότερα και ένα ή δύο λιγότερα αντικείμενα) θεωρείται σημαντική για την κατανόηση της πληθικής σημασίας του αριθμού και των πράξεων με αριθμούς (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 83). Οι ερευνητές Wagner kai Waltres (1982, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 83) διαπίστωσαν ότι ακόμη και παιδιά ηλικίας 2 ετών μπορούν να διακρίνουν αν δυο ορατές, πολύ μικρές συλλογές αντικειμένων έχουν ή δεν έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.

20 Συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων (2)
Η διαπραγμάτευση αυτών των «προβλημάτων» εμπλέκει τις λέξεις-σχέσεις «περισσότερα», «λιγότερα», «ίδια» ή «τόσα όσα». Όπως σημειώνουν οι Καφούση και Σκουμπουρδή (2008) η ικανότητα αυτή δεν μπορεί σε αυτή την ηλικία να ερμηνευτεί ως κατανόηση της πληθικότητας των στοιχείων της συλλογής, ωστόσο εξασφαλίζει στα παιδιά εμπειρικές βάσεις για τη μετέπειτα σύγκριση δυο ή περισσότερων αριθμών. Στις έρευνες που αφορούν τις συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων θέτονται ερωτήματα της μορφής για παράδειγμα: «Υπάρχουν τόσα καπάκια ώστε κάθε μπουκάλι να έχει ένα καπάκι;». Η γλώσσα της αρίθμησης

21 Για να απαντήσουν δεν χρησιμοποιούν απαραιτήτως αρίθμηση.
Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με τις συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ ): Τα παιδιά στην ηλικία των 3 ετών αναγνωρίζουν ότι δυο συλλογές έχουν το ίδιο πλήθος, αν τα στοιχεία τους αντιστοιχηθούν ένα προς ένα. Επίσης αναγνωρίζουν πως αν προσθέσεις ή αφαιρέσεις αντικείμενα σε μια συλλογή, το πλήθος της συλλογής αυξάνεται ή μειώνεται αντίστοιχα. Παιδιά ηλικίας 3 ½ - 4 ½ ετών μπορούν να συγκρίνουν δυο συλλογές αντικειμένων με διαφορετικά στοιχεία. Για να απαντήσουν δεν χρησιμοποιούν απαραιτήτως αρίθμηση.

22 Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με τις συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ ): Σύμφωνα με τον Baroody (2004) η χρήση της αρίθμησης, σε δραστηριότητες σύγκρισης συλλογών αντικειμένων, επιτρέπει στα παιδιά αρχικά να κατασκευάσουν την αρχή της ίδιας της αριθμολέξης (same number-name principle), δηλαδή οι δυο συλλογές έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων αν εμφανίζεται η ίδια αριθμολέξη και στη συνέχεια την αρχή τα μεγαλύτερης αριθμολέξης (larger-number principle). Διατήρηση Τέλος, η εύρεση του «πόσα περισσότερα» ή «πόσα λιγότερα» αντικείμενα υπάρχουν σε μια συλλογή αντικειμένων σε σχέση με κάποια άλλη αποτελεί μια πιο σύνθετη διαδικασία για τα παιδιά και απαιτεί τα παιδιά να κατανοήσουν ότι αριθμός των αντικειμένων της συλλογής με τα λιγότερα αντικείμενα εμπεριέχεται στον αριθμό της συλλογής με τα περισσότερα..

23 Λέξεις & φράσεις κλειδιά του μαθήματος
Διατακτική σημασία του αριθμού Πληθικότητα αριθμού Ιεραρχικός εγκλεισμός Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων Συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων

24 ΠΡΟΤΑΣΗ Ατομικά Ομαδικά Να αναπτύξουμε δραστηριότητες γι αυτά που «πραγματευόμαστε» στις συναντήσεις. Να δοκιμάσουμε αυτές τις δραστηριότητες στην πράξη. Να γυρίσουμε πίσω και να τις συζητήσουμε. Να τις καταγράψουμε σε εργασία («απλή» εργασία, στην ιστοσελίδα με το όνομά σας).