Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ, ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ Ν. Καστάνη.

Παρουσίαση με θέμα: "Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ, ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ Ν. Καστάνη."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ, ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ Ν. Καστάνη

2 Με την παρουσίαση αυτή θα γίνει μια προσέγγιση στα εξής ζητήματα : Εννοιολογικές Αλλαγές 1. Οι Εννοιολογικές Αλλαγές ως μια νέα επιστημολογική σκοπιά Εννοιολογικών Αλλαγών 2. Παραδείγματα Εννοιολογικών Αλλαγών στα Μαθηματικά Διαλεκτική Φιλοσοφία 3. Η Διαλεκτική Φιλοσοφία και οι Εννοιολογικές Αλλαγές Γιατί όλα αυτά;

3 Οι κυρίαρχες φιλοσοφικές απόψεις στον κόσμο των μαθηματικών

4 Η επιστημολογική στροφή τη δεκαετία του 1960 Μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 1960 επικρατούσε, στη Δύση, ο Λογικός Θετικισμός στην Επιστημολογία και ο Μπιχεβιορισμός στην Ψυχολογία. Τα δύο αυτά πρότυπα αντιμετώπιζαν την επιστημονική γνώση συσσωρευτικά και απολυτοκρατικά (δηλ. ως απόλυτες αλήθειες, ανεξάρτητα από την εκάστοτε συγκυρία και τα θεωρητικά πλαίσια). Στα μέσα της δεκαετίας του 1960 γίνεται μια στροφή προς τον δομισμό (στρουκτουραλισμό) και την ιδέα των επιστημονικών επαναστάσεων. Μια στροφή που οφείλεται στο Sputnik Sock και στη δυναμική των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και της Τεχνητής Νοημοσύνης.

5 Πρωταγωνιστές στην επιστημολογική στροφή του 1960 ήταν: Jean Piaget (1896-1980) Thomas Kuhn (1922-1996 )

6 ριζικές αλλαγές Και ο Piaget και ο Kuhn υποστήριζαν τις ριζικές αλλαγές κατά την ανάπτυξη των επιστημονικών γνώσεων Η επίδραση τους ήταν ισχυρότατη, που ώθησε την ανάδειξη Γνωστικής Επιστημολογίας της Γνωστικής Επιστημολογίας και της Γνωστικής Ψυχολογίας Γνωστική Επανάσταση Σε συνδυασμό με τις εκρηκτικές πιέσεις από την ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και της Ρομποτικής προκλήθηκε, στις αρχές της δεκαετίας του 1970, η Γνωστική Επανάσταση

7 Στο πλαίσιο της Γνωστικής Επιστημολογίας και Ψυχολογίας η προσοχή επικεντρώθηκε στη διαμόρφωση, ανάπτυξη και δόμηση των νοητικών λειτουργιών. Δόθηκε, έτσι, έμφαση στους μετασχηματισμούς των εννοιολογικών δομών και στις γνωστικές αναπαραστάσεις. Μέσα σ’ αυτό το κλίμα ένα βιβλίο, που δημοσιεύτηκε το 1972, προκάλεσε μια νέα ώθηση. Human Understanding Ήταν το βιβλίο Human Understanding του Stephen Toulmin, το οποίο υποστήριξε την ιδέα της εννοιολογικής αλλαγής εννοιολογικής αλλαγής.

8

9 εννοιολογικών αλλαγών Η ιδέα των εννοιολογικών αλλαγών του Toulmin, επιστημονικές επαναστάσεις σε συνδυασμό με τις επιστημονικές επαναστάσεις, γονιμοποίησαν τη Διδακτική των Επιστημονικών Μαθημάτων εννοιολογικών αλλαγών με την ιδέα των εννοιολογικών αλλαγών

10 ριζικών εννοιολογικών αλλαγών Στα Μαθηματικά την ιδέα των ριζικών εννοιολογικών αλλαγών Confrey, Οι Εννοιολογικές Αλλαγές, οι Έννοιες του Αριθμού και η Εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισμό εμφανίστηκε, το 1980, με τη διατριβή της Jere Confrey, που είχε ως θέμα : Οι Εννοιολογικές Αλλαγές, οι Έννοιες του Αριθμού και η Εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισμό

11 Ένα πολύ χαρακτηριστικό απόσπασμα από τη διατριβή αυτή είναι το εξής: “Σύμφωνα με τη δεσπόζουσα άποψη για τα Μαθηματικά, αυτά είναι αδιαφιλονίκητα, απόλυτα, καθολικής αποδοχής και αιώνια… Η μαθηματική αλήθεια απεικονίζεται ως αναμφισβήτητη, προκαθορισμένη (a priori) και ανεξάρτητη από την εμπειρία. εννοιολογικών αλλαγών Σ’ αντιπαράθεση, η προσέγγιση των εννοιολογικών αλλαγών αναγκάζει κάποιον να δει τα Μαθηματικά εξελικτικά, επηρεασμένα από ανταγωνιζόμενες θεωρίες και όχι αναγκαστικά ως μια απόλυτη Αλήθεια.”

12 Αξίζει να αναφερθεί ότι μεγάλη επίδραση στην ανάδειξη των εννοιολογικών αλλαγών εννοιολογικών αλλαγών στα Μαθηματικά έπαιξε και το έργο του Imre Lakatos (1922-1974)

13 Στη δεκαετία του 1980 άρχισε να προωθείται η ιδέα των εννοιολογικών αλλαγών εννοιολογικών αλλαγών στα Μαθηματικά Mathematics Magazine, 56(4), 1983

14 Stud. in Hist. Phil. Sc., 20(1), 1989

15 εννοιολογικών αλλαγών Η διάδοση των εννοιολογικών αλλαγών στα Μαθηματικά είχε ένα μεγάλο εμπόδιο, μέχρι το 1990. επιστημονικών Δεν είχε γίνει γενικά αποδεκτή η ιδέα των επιστημονικών επαναστάσεων επαναστάσεων. Η κατάσταση άλλαξε, από το 1992 και μετά, με τη δημοσίευση του βιβλίου: Revolutions in Mathematics Την ίδια περίοδο ισχυροποιήθηκε και το επιστημολογικό Κονστρουκτιβισμού ρεύμα του Κονστρουκτιβισμού (“κατασκευαστισμού”).

16 Μέσα στο νέο επιστημολογικό πλαίσιο της αποδοχής επιστημονικών επαναστάσεων των επιστημονικών επαναστάσεων και του κονστρουκτιβισμού κονστρουκτιβισμού στα Μαθηματικά δόθηκε μια ισχυρή ώθηση για τη διάδοση και την ανάπτυξη των εννοιολογικών αλλαγών εννοιολογικών αλλαγών στα Μαθηματικά, μετά το 1995

17

18

19 εννοιολογικών αλλαγών Δύο παραδείγματα εννοιολογικών αλλαγών στα Μαθηματικά Η έννοια του αριθμού Η έννοια της έλλειψης

20 Η έννοια του αριθμού Στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό, αριθμός είναι μια συλλογή μονάδων Στην Αναγέννηση και μετά, αριθμός είναι το αποτέλεσμα μιας μέτρησης

21 Με τη Γαλλική Επανάσταση η μαθηματική παιδεία αναβαθμίστηκε σημαντικά και εκσυγχρονίστηκε το περιεχόμενό της. École Polytechnique Gaspard Monge J.-L. Lagrange Στο πλαίσιο αυτό δημιουργήθηκε ένας προβληματισμός για την ανανέωση της έννοιας του αριθμού έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνει τους αρνητικούς αριθμούς.

22 Το σημαντικότερο βήμα στην κατεύθυνση αυτή το έκανε, γύρω στο 1820, ο Γερμανός μαθηματικός Martin Ohm (1792-1872). Σύμφωνα με τον Ohm ο αριθμός προκύπτει έμμεσα ως συνεπακόλουθο των αριθμητικών πράξεων. εννοιολογική αλλαγή δομισμού Αυτή ήταν μια αξιοσημείωτη εννοιολογική αλλαγή, που αντιμετώπιζε τον αριθμό από τη σκοπιά του δομισμού. τι είναι αριθμός; Έτσι σήμερα καλλιεργείται η αντίληψη των συστημάτων αριθμών μ’ αποτέλεσμα στο ερώτημα: τι είναι αριθμός; η απάντηση μοιάζει με σοφιστεία του τύπου: αριθμός είναι ένα στοιχείο ενός συστήματος αριθμών αριθμός είναι ένα στοιχείο ενός συστήματος αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι ορίζονται τα συστήματα αριθμών με βάση τις εσωτερικές ιδιότητές τους κι όχι με τα αντικείμενά τους. Οπότε ο αριθμός μορφοποιείται από την εσωτερική ταυτότητα του συστήματος που ανήκει.

23 Η έννοια της έλλειψης Συνήθως η έλλειψη παρουσιάζεται ως μια κωνική τομή και στη συνέχεια το σχήμα της απ’ όπου προκύπτει η εξίσωσή της

24 Είναι γνωστό ότι ο Απολλώνιος όρισε και χειρίστηκε την έλλειψη ως κωνική τομή. Και το σημαντικότερο, βρήκε εκ των υστέρων τη θέση των εστιών της, στα τελευταία κεφάλαια του σχετικού έργου του. Στην ιστορική πορεία του θέματος μελετούσαν την έλλειψη, κατά κανόνα, ως κωνική τομή και με τη βοήθεια των αξόνων και του κέντρου της.

25 Μετά τον Euler, από τα τέλη του 18 ου αιώνα, όταν επικράτησαν “Αναλυτικά” Μαθηματικά τα “Αναλυτικά” Μαθηματικά, καθιερώνεται η μελέτη της έλλειψης με προκαθορισμένες της εστίες της και με βάση τη γνωστή εξίσωση της. Η αλλαγή αυτή δεν έγινε τυχαία, αλλά προέκυψε από την επικράτηση του αναλυτικού τρόπου σκέψης στη Γεωμετρία και η υποβάθμιση του συνθετικού τρόπου κατανόησης των κωνικών τομών. Αυτή η ιστορική μετεξέλιξη αποτελεί μια εννοιολογική αλλαγή.

26 Διαλεκτική Φιλοσοφίαεννοιολογικές αλλαγές Η Διαλεκτική Φιλοσοφία και οι εννοιολογικές αλλαγές Έχουν σχέση τα Μαθηματικά με τη Διαλεκτική Φιλοσοφία;

27 Διαλεκτική Φιλοσοφίαεννοιολογικές Έχει σχέση η Διαλεκτική Φιλοσοφία με τις εννοιολογικές αλλαγές αλλαγές;

28

29

30 Διαλεκτικής Όλα αυτά δείχνουν ότι το περιβάλλον της Διαλεκτικής Φιλοσοφίας Φιλοσοφίας είναι πολύ οικείο με τις ανελίξεις των εννοιών και των επιστημονικών εννοιών ειδικότερα. εννοιολογικών αλλαγών Είχε προδιαγράψει την ιδέα των εννοιολογικών αλλαγών, πολλά χρόνια πριν την ανάδειξή τους στη νεότερη επιστημολογία της Δύσης. Θα είναι, μάλιστα, ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα μια μελέτη εννοιολογικών αλλαγών του επιπέδου προώθησης των εννοιολογικών αλλαγών Μαρξιστική Φιλοσοφία στη Μαρξιστική Φιλοσοφία. ευχαριστώ για την προσοχή σας

31