ΟOMIΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ»

Παρουσίαση με θέμα: "ΟOMIΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ»"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΟOMIΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ»
LOGICOMIX 2o ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΛ ΑΘΗΝΩΝ

2 Ἰωάννα Ἀλεξοπούλου-Δουκουμὲ

3 Συμβολισμὸς Ἡ προέλευση τοῦ περίφημου ∞, τοῦ «ξαπλωμένου ὀχταριοῦ» ποὺ παριστάνει τὸ ἄπειρο (α στερητικὸ +πέρας), εἶναι γνωστή. Τὸ σύμβολο χρησιμοποιήθηκε γιὰ πρώτη φορὰ τὸ 1655 ἀπὸ τὸν ὀξφορδιανὸ μαθηματικὸ Τζὸν Οὐάλις, ὁ ὁποῖος εἶναι περισσότερο γνωστὸς γιὰ τὶς ὑπηρεσίες ποὺ πρόσφερε ὡς κρυπτογράφος καὶ στὰ δύο στρατόπεδα τοῦ Ἀγγλικοῦ Ἐμφυλίου. Οὐσιαστικά, πρόκειται γιὰ παραλλαγὴ τοῦ ῥωμαϊκοῦ συμβόλου CIƆ ποὺ χρησιμοποιοῦσαν ἐνίοτε οἱ Ῥωμαῖοι ἀντὶ τοῦ Μ, τοῦ γράμματος μὲ τὸ ὁποῖο συμβόλιζαν τὸν (μεγάλο γιὰ αὐτούς) ἀριθμὸ Ἐπειδὴ γραμμένο βιαστικὰ τὸ ∞ ἔμοιαζε μὲ ξαπλωμένο ὀχτάρι, τελικὰ καθιερώθηκε σ’αὐτὴ τὴ μορφή.

4 Παραλλαγὲς τοῦ συμβόλου

5 Ἀριστοτέλης Τὸ ἔδαφος εἶναι ἐπισφαλὲς
«Τὰ περισσότερα πράγματα ποὺ εἶναι ἀδύνατα ἀποῤῥέουν ἀπὸ τὴν ἀποδοχὴ τῆς ὕπαρξης τοῦ ἀπείρου, ἀλλὰ καὶ ἀπὸ τὴν ἀπόῤῥιψή της»

6 Οἱ 5 λόγοι γιὰ τοὺς ὁποίους πίστευε στὴν ὕπαρξη τοῦ ἀπείρου
Τὸ ἀτελεύτητο τοῦ χρόνου Ἡ ἄπειρη διαιρετότητα τῶν μεγεθῶν ποὺ χρησιμοποιοῦνται στὰ μαθηματικὰ Ἡ ἀέναη παρουσία τῆς γέννησης καὶ τῆς φθορᾶς κάθε αἰσθητοῦ ἀντικειμένου Τὸ γεγονὸς ὅτι τὸ πεπερασμένο ὁριοθετεῖται πάντοτε ἀπὸ κάτι καὶ τὸ ὅτι δὲν ἔχει ὅρια Τὸ ἀπεριόριστο τῆς ἀνθρώπινης σκέψης,( τὸ ἀπεριόριστο τῶν ἀριθμῶν ἢ τῶν γεωμετρικῶν μεγεθῶν ἢ ὅσων βρίσκονται πέραν τοῦ οὐρανοῦ)

7 Διάκριση ἀπείρου Ἐν ἐνεργεία ἄπειρο: αὐτὸ ποὺ ὑπάρχει.
Ἐν δυνάμει ἄπειρο: αὐτὸ ποὺ βρίσκεται στὴ διαδικασία τοῦ γίγνεσθαι. Μία ἀκολουθία ποὺ δὲν τελειώνει ποτὲ, μία διαδικασία, ἕνα ἄπειρο ποὺ ποτὲ δὲν ὁλοκληρώνεται μὲ μία διαδικασία καταμέτρησης, ἕνας κατάλογος ποὺ ἐνῶ τείνει στὸ ἄπειρο, στὴν πράξη, παραμένει πάντα πεπερασμένος. Ἀποδεχόταν μοχάχα τὴν ὕπαρξη τοῦ ἐν δυνάμει ἀπείρου. «Τὸ ἄπειρο δὲν ὑπάρχει μὲ τὴ μορφὴ ἑνὸς ἄπειρου στερεοῦ ἢ ἑνὸς ἄπειρου μεγέθους ποὺ γίνεται ἀντιληπτὸ ἀπὸ τὶς αἰσθήσεις… Τὸ ἄπειρο ὑπάρχει δυνητικὰ, τὸ ἄπειρο εἶναι κίνηση…»

8 Ἀναξίμανδρος ὁ Μιλήσιος
Τὸ ἄπειρο εἶναι ἡ ἀρχὴ τοῦ κόσμου, ἡ ἀρχὴ τῶν πάντων, εἶναι αὐτὸ ποὺ κρύβεται πίσω ἀπὸ τὴν ἀπέραντη ποικιλία τῶν πραγμάτων καὶ τὶς διαφορετικές τους ἰδιότητες. Στοιχεῖο: ἀγέννητο, ἄφθαρτο καὶ ἀθάνατο.

9 Πυθαγόρας Ἔβλεπε τὸ ἄπειρο σὰν κάτι τὸ «ἀποκρουστικό», γιατὶ εἶναι ἀκατανόητο, ἀόριστο, χωρὶς τὴν ἁρμονία καὶ τὴν ὀμορφιὰ ποὺ περιέβαλε τὸν κόσμο.

10 Ζήνων Παρμενίδης Ἀπόῤῥιψη ἀπείρου Ἡ κίνηση εἶναι ἀδύνατη
Διατύπωση παραδόξων Κίνησης Ἀχιλλέα καὶ Χελώνας

11 Νίτσε Πρέπει νὰ ἐνεργοῦμε σὰν οἱ πράξεις μας νὰ ἐπαναλαμβάνονται ἐπ’ἄπειρον. Ὁ Νίτσε φαντάστηκε ἕνα κυκλικὸ σύμπαν ποὺ ἐπαναλαμβάνεται ἀέναα στὸν χρόνο καὶ στὸ ὁποῖο ὅλοι μας ξαναγεννιόμαστε καὶ ἐπαναλαμβάνουμε ἐπ’ἄπειρον τὶς ἴδιες πράξεις, μὲ τὰ ἴδια ἀποτελέσματα. Κατὰ τὸν Νίτσε, λοιπόν, μία σκέψη ποὺ ἐνθαῤῥύνει τὶς καλὲς πράξεις εἶναι πὼς ὅ,τι κάνουμε σήμερα πρόκειται νὰ ἐπαναληφθεῖ ἄπειρες φορές. Βέβαια, τὸ ἐπιχείρημα αὐτὸ ἀποδυναμώνεται ἀπὸ τὴ γνώση ὅτι θὰ ξαναγεννηθοῦμε καὶ θὰ προβοῦμε ἄπειρες φορὲς σὲ ὅλες τὶς δυνατὲς πράξεις, ἀνάμεσά τους καὶ στὶς κακὲς ποὺ εἶναι ἀντίθετες σ’αὐτὲς ποὺ ὁ Νίτσε ἤθελε νὰ ἐνθαῤῥύνει.

12 Ἄπειρο καὶ Θεὸς Πίστη σὲ ἕναν πάνσοφο καὶ παντοδύναμο Θεὸ
Θεία Λειτουργία

13 Ἀπὸ τὴν ἀκολουθία τῶν Χριστουγέννων
Ὁ ἀσύλληπτος συλλαμβάνεται, Ὁ ἄχρονος Υἱός, γεννιέται ἐν χρόνω Ὁ ἀχώρητος χωρᾶ στὴ μήτρα, Ὁ ἄσαρκος σαρκώνεται, Ὁ ὑπάρχων (ὁ ὥν) γίνεται ὅ,τι δὲν ἦταν χωρὶς νὰ χάνει τίποτα ἀπὸ τὴ φύση του Τὸ ἄπειρο εἰσχωρεῖ στὸ πεπερασμένο

14 Κατὰ τὸν Μάξιμο τὸν Ὁμολογητή: «Στὴ γέννηση τοῦ Χριστοῦ, τὸ ἄπειρο περιορίζεται, ἐνῶ τὸ πεπερασμένο ἐκτείνεται στὰ μέτρα τοῦ ἀπείρου.

15 «Γιὰ τὴν ὀρθολογιστικὴ σκέψη οἱ ἔννοιες θεότητα καὶ ἐνσάρκωση εἶναι ἀντιφατικές, ἡ μία ἀποκλείει τὴν ἄλλη: Δὲν εἶναι νοητὸ ὁ Θεὸς ποὺ ἀπὸ τὴ φύση του ὀφείλει νὰ εἶναι ἄπειρος, ἀπεριόριστος, παντοδύναμος κλπ. Νὰ ὑπάρξει ὡς περατή, ἀποσπασματικὴ ἀνθρώπινη μονάδα ὑποταγμένη στοὺς περιορισμοὺς τοῦ χώρου καὶ τοῦ χρόνου. Γιὰ αὐτὸ καὶ γιὰ τοὺς Ἕλληνες τῆς ἐποχῆς τοῦ Χριστοῦ τὸ κήρυγμα τῆς ἐνανθρώπισης τοῦ Θεοῦ ἦταν πραγματικὰ «μωρία».» Χρῆστος Γιανναρᾶς

16 Χριστιανικὴ ἀντίληψη:«ὁ Θεὸς εἶναι ἀπὸ τὴ φύση Του ἄπειρος, παντοδύναμος καὶ ἀδέσμευτος ἀπὸ κάθε μορφῆς περιορισμούς». Ἡ μαθηματικὴ ἔρευνα τοῦ ἀπείρου ἔχει ἀποδειχθεῖ ἱστορικὰ τόσο ἐπικίνδυνη γιὰ ὅσους ἀσχολήθηκαν μ’αὐτήν. Ὑπὸ κάποια ἔννοια, μπορεῖ νὰ θεωρηθεῖ ὡς ἀπόπειρα δημιουργίας ἑνὸς ἐπίπλαστου θεοῦ ἢ ὡς προσπάθεια νὰ περιγραφεῖ ὁ Θεὸς μὲ περιοριστικὸ τρόπο, ἐνῶ ἔχει ἑρμηνευτεῖ καὶ ὡς ἔμμεση ἀμφισβήτηση τῆς μοναδικότητάς Του.

17 Ἄπειρο: ἀπειλὴ νὰ ἀφαιρέσει ἀπὸ τὸν Θεὸ τὰ σκῆπτρα τοῦ μοναδικοῦ ἄπειρου ὄντος, νὰ ἐκτοπίσει τὴ Γῆ ἀπὸ τὸν θρόνο της στὸ κέντρο τοῦ σύμπαντος καὶ νὰ καταστρέψει τὴ μοναδικότητα καὶ τὸ ἰδιαίτερο νόημα κάθε συμβάντος στὴν Πλάση. Ὑπονόμευση τῆς κυριαρχίας τοῦ Θεοῦ. Ἐπακόλουθο: Ἱερὰ Ἐξέταση

18 Εὔκολα ἀντιλαμβανόμαστε τὶ σημαίνει κάτι νὰ εἶναι ἄπειρο στὸ χρόνο –νὰ ὑπάρχει αἰώνια, στὸ παρελθὸν καὶ στὸ μέλλον-γιατὶ ὑπάρχουν καὶ σύγχρονες ἀστρονομικὲς θεωρίες ποὺ κάνουν λόγο γιὰ ἕνα σύμπαν μὲ ἄπειρο παρελθόν. Οἱ δυσκολίες ἐμφανίζονται ὅταν προσπαθοῦμε νὰ καταλάβουμε τὶ σημαίνει γιὰ μία θεϊκὴ ὀντότητα νὰ εἶναι ἄπειρη σὲ ἔκταση. Αὐτὴ ἡ παράμετρος τοῦ ἀπείρου ὁρίζεται συνήθως ἀπὸ τοὺς θεολόγους ὡς ἀπουσία περιορισμῶν σὲ συγκεκριμένες ἰδιότητες τοῦ Θείου, ὡς ἀπουσία κάθε εἴδους ὁρίων, ἢ ἁπλῶς ὡς κάτι ποὺ ξεπερνᾶ τὴν ἐμβέλεια τῆς ἀνθρώπινης φαντασίας.

19 «Οὔτε μποροῦμε νὰ ποῦμε (γιὰ τὸν Θεό) πὼς ἀποτελεῖται ἀπὸ μέρη, γιατὶ αὐτὸ ποὺ εἶναι «Ἕνα» εἶναι ἀδιαίρετο και, κατ’ἐπέκταση, ἄπειρο-ἄπειρο, ὄχι μὲ τὴν ἔννοια τῆς ἀπροσμέτρητης ἔκτασης, ἀλλὰ μὲ τὴν ἔννοια ὅτι ἡ ὑπόστασή Του δὲ γνωρίζει διαστάσεις καὶ περιορισμούς, ὁπότε δὲν ἔχει συγκεκριμένη μορφὴ ἢ ὄνομα».

20 Γιὰ τοὺς Χριστιανούς, ὁ Θεὸς εἶναι Ἕνας, μοναδικός, παντοδύναμος καὶ παντογνώστης. Ἐφόσον λοιπὸν αὐτὴ ἡ θεϊκὴ ὀντότητα ἐλέγχει τὰ πάντα, ἀκόμα καὶ τὸν χῶρο καὶ τὸν χρόνο, δὲν εἶναι δυνατὸν ἡ ἴδια νὰ ὑπόκειται σὲ χωρικοὺς καὶ χρονικοὺς περιορισμούς, ὁπότε πρέπει εἴτε νὰ εἶναι αἰώνια εἴτε νὰ εἶναι ἀνώτερη ἀπὸ τὸν χρόνο. Ἔτσι, γιὰ ἄλλη μία φορά, ὁδηγούμαστε στὴν ἔννοια τοῦ ἀπείρου, τὸ ὁποῖο ἐδῶ ἐμφανίζεται ὡς νομοτελειακὴ ἰδιότητα μιᾶς ὁρισμένου τύπου θεϊκῆς ὀντότητας.

21 Ἡ ἄποψη ὅτι τὸ σύμπαν θὰ μποροῦσε νὰ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἄπειρους κόσμους σὰν τὴ γῆ ὁδήγησε στὴν ἀνάδειξη ἑνὸς ἀριθμοῦ ἀπὸ ἐνδιαφέροντα προβλήματα. Ἕνα ἀπὸ αὐτὰ ἀφοροῦσε τὴν κυριαρχία τοῦ Θεοῦ στὸ σύμπαν καὶ τὸ κατὰ πόσον ἡ φύση τοῦ Δημιουργοῦ ἀντανακλᾶται στὴν τάξη ποὺ Αὐτὸς δημιούργησε. Κάποιοι, ἐμμένοντας στὴν κυριολεκτικὴ ἑρμηνεία τῆς Ἁγίας Γραφῆς, ἀπέῤῥιπταν ἐκ τῶν προτέρων καθετὶ ποὺ δὲν ἐπιβεβαιωνόταν ῥητὰ στὰ ἱερὰ κείμενα.

22 Μερικοὶ ὑποστήριζαν ὅτι ὁ Θεὸς θὰ μποροῦσε ἂν ἤθελε νὰ δημιουργήσει ἕνα ἄπειρο σύμπαν, ἀλλὰ δὲν τὸ ἔκανε ἐπειδὴ ἁπλῶς ἐπέλεξε νὰ χρησιμοποιήσει ὅλες Του τὶς δυνάμεις στὴ δημιουργία τοῦ κόσμου. Ἄλλοι, ὡστόσο, ἐπέμεναν πὼς ἡ ἄπειρη δύναμη τοῦ Θεοῦ θὰ ἔπρεπε νὰ εἶναι ἔκδηλη στὰ δημιουργήματά Του καὶ πώς, συνεπῶς, ἦταν παράλογη ἡ ἄποψη ὅτι περιόρισε τὴ δημιουργικότητά Του σὲ ἕνα πεπερασμένο κομμάτι τοῦ δυνάμει ἀπείρου.

23 Φόβος: ἄπειρο ἀκατανόητο ΚΑΙ γιὰ τὸν Θεὸ
Ὁ Ἅγιος Αὐγουστῖνος σὲ κείμενό του μὲ τίτλο «Ἀπάντηση στὴν ὑπόθεση ὅτι ἀκόμα καὶ ἡ γνώση τοῦ Θεοῦ δὲ μπορεῖ νὰ περιλαμβάνει ἀπειρία πραγμάτων», γράφει….

24 Thomas Digges Ἀπειρία σύμπαντος
Παράλληλα, βέβαια, φρόντισε νὰ παρουσιάσει αὐτὴ τὴν ἀπεραντοσύνη τοῦ σύμπαντος ὡς ἀντανάκλαση τοῦ μεγαλείου τοῦ Θεοῦ: «Εὔκολα ἀντιλαμβανόμαστε ὅτι ὁ στοιχειώδης καὶ φθαρτός μας κόσμος εἶναι μόνο ἕνα ἐλάχιστο μέρος τῆς ἐπικράτειας τοῦ Θεοῦ. Ποτὲ ὅμως δὲ θὰ μπορέσουμε νὰ θαυμάσουμε σὲ ὅλο της τὸ μεγαλεῖο τὴν ἀπεραντοσύνη τοῦ κόσμου, αὐτῆς τῆς σταθερῆς ἀστροποίκιλτης σφαίρας ποὺ ἐκτείνεται σφαιρικὰ σὲ ἀπροσμέτρητα ὕψη.»

25 Giordano Bruno Tὸ σύμπαν εἶναι ἄπειρο καὶ περιλαμβάνει ἄπειρα ἄστρα σὰν τὸν Ἥλιο, τὸ καθένα μὲ τὸ δικό του πλανητικὸ σύστημα ποὺ θὰ μποροῦσε νὰ φιλοξενεῖ ἄλλα νοήμονα ὄντα: «Ὁ Θεὸς δὲ δοξάζεται μόνο σὲ ἕναν, ἀλλὰ σὲ ἀμέτρητους ἥλιους. Δὲν λατρεύεται μόνο στὴ Γῆ, ἀλλὰ σὲ χιλιάδες, ἄπειρους κόσμους. Ἔτσι ἡ παντοδυναμία του ἐνισχύεται καὶ γίνεται ἀκόμη πιὸ φανερὸ τὸ μεγαλεῖο τῆς βασιλείας Του». Ἱερὰ ἐξέταση

26 Ἄνσελμος Ὀντολογικὲς ἀποδείξεις
«Ἂν ὁ Θεὸς εἶναι τὸ μέγιστο ὂν ποὺ μποροῦμε νὰ συλλάβουμε, τότε πρέπει νὰ ὑπάρχει ἐνεργεία καὶ ὄχι ἁπλῶς δυνάμει, διότι διαφορετικὰ θὰ μπορούσαμε νὰ συλλάβουμε ἕνα ἀκόμη τελειότερο ὄν: ἕνα ὂν μὲ τὸ ἐπιπρόσθετο γνώρισμα τῆς ἐνεργεία ὑπόστασης».

27 Cantor Ἀπόλυτο ἄπειρο: συλλαμβάνεται μόνο ἀπὸ τὸν Θεό.
Φυσικὸ ἄπειρο: ἐμφανίζεται στὸ φυσικὸ σύμπαν. Μαθηματικὸ ἄπειρο: συλλαμβάνεται ὁ ἀνθρώπινος νοῦς.

28 Cantor Ὁ Cantor, ἰδίως, ἔνοιωσε ὅτι ἡ δουλειά του εἶχε θεολογικὴ ἀξία. Αύτὸς εἶναι εἰσηγμένος ὅπως γράφει τὸ 1896, «Ἀπὸ ἐμένα θὰ προσφερθεῖ γιὰ πρώτη φορὰ στὴν χριστιανικὴ φιλοσοφία ἡ πραγματικὴ θεωρία τοῦ ἀπείρου»." Ἦρθε σὲ ἐπαφὴ μὲ ἐπιφανεῖς θεολόγους μὲ σκοπὸ νὰ εἶναι στὴν ὑπηρεσία αὐτῶν σὲ αὐτὴν τὴν ὑπόθεση.

29 «Ἡ ἔννοια τοῦ ἀριθμοῦ, ἄπειρου ἢ πεπερασμένου, ἐνσταλάχθηκε στὸν ἀνθρώπινο νοῦ ἀπ’τὸν Θεὸ ὡς ἔκφραση τῆς τελειότητάς Του». Cantor

30 Immanuel Kant «Θὰ ἦταν λοιπόν, παράλογο νὰ ὑποθέτουμε πὼς ὁ Θεὸς ἀξιοποίησε ἕνα ἀπειροελάχιστο μόνο μέρος τῆς δύναμῆς Του καὶ πὼς ἡ ἄπειρη αὐτὴ δύναμη- ἀπὸ τὴν ὁποία θὰ μποροῦσε δυνητικὰ νὰ προκύψει μία ἀπειρία φύσεων καὶ κόσμων- ἔμεινε ἀχρησιμοποίητη, ἐγκλωβισμένη αἰώνια σὲ μία κατάσταση μη-ἄσκηςῆς της. Δὲ θὰ ἦταν πιὸ λογικό, ἂν ὄχι ἀναπόφευκτο, τὸ συμπέρασμα ὅτι ἡ ἀπροσμέτρητη δύναμη τοῦ Θεοῦ πρέπει νὰ ἀντανακλᾶται καὶ στὸ σύστημα τῆς δημιουργίας Του;… Ἡ αἰωνιότητα τοῦ χρόνου δὲν ἀρκεῖ γιὰ νὰ συμπεριλάβει ὅλες τὶς ἐκδηλώσεις τοῦ Ὑπέρτατου Ὄντος, παρὰ μόνο ἂν συνδυαστεῖ μὲ τὴν ἀπεραντοσύνη τοῦ χώρο».

31 ?Ἅγιος Αὐγουστῖνος Ἂν στὸ σύμπαν ὑπάρχουν κὶ ἄλλοι κόσμοι ποὺ νὰ χρειάστηκαν τὴν ἐπέμβαση ἑνὸς σωτήρα, τότε ἡ ἐνσάρκωση πρέπει νὰ συνέβη καὶ ἐκεῖ. Θεωρώντας ὅμως ἀδύνατο κάτι τέτοιο («μία φορὰ πέθανε ὁ Χριστὸς γιὰ τοὺς ἁμαρτωλούς…»), ὁ Αὐγουστίνος συμπέρανε πὼς ἡ ὕπαρξη τέτοιων πολιτισμῶν εἶναι ἁπλῶς ἀδύνατη, κάτι ποὺ συνεπάγεται ὅτι τὸ σύμπαν δὲν εἶναι ἄπειρο.

32 Thomas Paine Ἀκολουθώντας τὸ ἴδιο σκεπτικὸ μὲ τὸν Ἅγιο Αὐγουστῖνο κατέληξε στὸ ἀκριβῶς ἀντίθετο συμπέρασμα. Ὅντας πεπεισμένος γιὰ τὴν ὕπαρξη ἐξωγήινων καὶ θεωρώντας ὅτι, σύμφωνα μὲ τὸ χριστιανικὸ δόγμα, πρέπει κὶ αὐτοὶ κάποια στιγμὴ νὰ λυτρώθηκαν χάρη στὴν ἐνσάρκωση τοῦ Θεοῦ, ὁ Πέιν συμπέρανε ὅτι ἡ Ἐνσάρκωση δὲ συνέβη οὔτε σ’αὐτοὺς τοὺς ἄλλους κόσμους, ἀλλὰ οὔτε καὶ στὸ δικό μας.

33 Blaise Pascal «Ξέρουμε ὅτι τὸ ἄπειρο ὑπάρχει, ὅμως ἀγνοοῦμε τὴν φύση του»

34

35 Nicholas of Cusa Tὸ ἄπειρο εἶναι ἐκεῖ ὅπου τὰ ἀντίθετα συμφιλιώνονται. Γιὰ νὰ τὸ δείξει αὐτὸ σημείωσε ὅτι ἡ «εὐθεῖα» καὶ ἡ «καμπύλη» εἶναι ἀντίθετες, ὅμως σὲ ἕναν κύκλο ἄπειρης ἀκτίνας ἡ καμπυλωτὴ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίνεται εὐθεῖα. Παρομοίως, στὴ θεολογία, ἔχουμε νὰ συμφιλιώσουμε ἀντίθετες ἔννοιες ὅπως τοῦ ὑπερβατικοῦ καὶ τοῦ immanent φυσικοῦ (χοϊκοῦ), καὶ ἔτσι κάνουμε στὸν Θεό

36 Ὁ Cusa ἐπίσης ἐξύμνησε τὸν ῥόλο τῶν μαθηματικῶν συμβόλων

37 Ἀπὸ τὴν ἄλλη πλευρά, ἡ ἀπειρότητα εἶναι μόνο ἕνα ἀπὸ τὰ γνωρίσματα τοῦ Θεοῦ. Μία ὑπερβολικὴ ἔμφαση σὲ αὐτὸ εἶναι ἐπικίνδυνη ἀπὸ τὴ στιγμὴ ποὺ ἴσως ὁδηγεῖ στὸ κακὸ μιᾶς «ἀποφατικῆς» θρησκείας, ἡ ὁποία ὁδηγεῖ ἀποκλειστικὰ στὴν ἀπομάκρυνση τοῦ Θεοῦ.

38

39 Βιβλιογραφία καὶ διαδικτυογραφία:
Ἄπειρο Τὰ μαθηματικὰ τῆς ἀθανασίας, John D. Barrow, 2007, Ἀθήνα Ἀναζητώντας τὸ ἄπειρο, N.Ya. Vilenkin, 2007, Ἀθήνα Ἀλφαβητάρι τῆς πίστης, Χρῆστος Γιανναρᾶς, 1983, Ἀθήνα

40 ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ ΑΠΕΙΡΟΣΥΝΟΛΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ ΑΠΕΙΡΟΣΥΝΟΛΑ Χριστίνα Μαλανδράκη Β3 Γιαννης Ανδριόπουλος Β1

41 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Ανάγκη για θεμελίωση των μαθηματικών που πηγάζει από την ανάλυση. Το σύνολο αποκτά κυρίαρχη θέση σε αυτή την προσπάθεια θεμελίωσης. «Ένα σύνολο είναι μία συλλογή καθορισμένων, διακεκριμένων αντικειμένων που τα αντιλαμβανόμαστε ως μία ολότητα».

42 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΥΝΟΛΑ Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία. Δύο σύνολα είναι ισοδύναμα όταν έχουν ακριβώς τον ίδιο αριθμό στοιχείων.

43 «Ο πληθάριθμος ενός συνόλου είναι αυτό που απομένει στο πνεύμα μας όταν αφαιρέσουμε όλα τα ποιοτικά χαρακτηριστικά των στοιχείων και τη διάταξη τους».

44 Ο πληθάριθμος ενός δυναμοσυνόλου ενός βασικού συνόλου είναι ίσος με 2ⁿ

45 ΑΠΕΙΡΟΣΥΝΟΛΑ Δύο σύνολα είναι ισοδύναμα μεταξύ τους, όταν ορίζεται μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία («1-1» και «επί» συνάρτηση) μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων. A B a b c 1 2 3

46 Το μέρος ισούται με το όλο

47 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει το μικρότερο άπειρο πληθάριθμο Κάθε σύνολο με τέτοιο πληθάριθμο ονομάζεται αριθμήσιμο

48 Θεώρημα: οι ακέραιοι είναι αριθμήσιμοι
Κάθε σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι δυνατόν να καταγραφούν σε μορφή καταλόγου είναι αριθμήσιμο Για να ορίσουμε μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ φυσικών και ακεραίων αντιστοιχούμε ως εξής: Ν Ζ

49 Θεώρημα: οι θετικοί ρητοί είναι αριθμήσιμοι

50 Θεώρημα: το συνεχές είναι μη αριθμήσιμο
Έστω ότι το διάστημα (0,1) είναι αριθμήσιμο. Τότε είναι δυνατόν να καταγραφούν όλοι οι αριθμοί σε μορφή καταλόγου. Άρα: θεωρούμε τώρα τον δεκαδικό με yi =1 αν xii ≠1 και yi =2 αν xii =1

51 Κάθε ισοδύναμο σύνολο έχει πληθάριθμο τον πληθάριθμο του συνεχούς
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ο πληθάριθμος των πραγματικών αριθμών είναι ο μεγαλύτερος άπειρος πληθάριθμος και συμβολίζεται με Κάθε ισοδύναμο σύνολο έχει πληθάριθμο τον πληθάριθμο του συνεχούς

52 ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεώρημα: Q’ R Q

53 “Je le vois, mais je ne crois pas!”
Το ευθύγραμμο τμήμα (0,1) έχει τόσα στοιχεία όσα και το τετράγωνο με πλευρά 1. “Je le vois, mais je ne crois pas!”

54 ΚΑΜΠΥΛΕΣ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ, ΧΩΡΟΣ

55 Η υπόθεση του συνεχούς Η υπόθεση αυτή δηλώνει πως δεν υπάρχει σύνολο με πληθάριθμο μεγαλύτερο του αριθμήσιμου και μικρότερο του πληθαρίθμου του συνεχούς. Ο David Hilbert το 1900 έθεσε την υπόθεση του συνεχούς ως το πρώτο από τα 21 γνωστά προβήματα του. Χάρη στον Kurt Gödel και τον Paul Cohen αποδείχθηκε πως δεν είναι δυνατόν η παραπάνω πρόταση να αποδειχθεί ή να διαψευσθεί με τα υπάρχοντα αξιώματα.

56 Σύνολο Cantor Το σύνολο είναι τέλειο, πουθενά πυκνό και έχει την πληθικότητα του συνεχούς

57 Κλιμακωτή συνάρτηση Cantor
F(x)= ½ για το διαστημα ( 1/3 , 2/3 ) F(x)= ¼ και ¾ για τα διαστηματα (1/9,2/9) και (7/9,8/9) . Η συνάρτηση διατηρεί τη συνέχεια της και είναι μονότονη.

58 Ανδριόπουλος Γιάννης Μαλανδράκη Χριστίνα
απειρο Ανδριόπουλος Γιάννης Μαλανδράκη Χριστίνα

59 Το απειρο Η έννοια του απείρου έχει τις απαρχές τις ήδη στην αρχαιότητα. Το “άπειρο” ανέκαθεν προξενούσε και προξενεί αρκετές δυσκολίες και προβλήματα στον καθορισμό του όπως και στην κατανόησή του. Με την έννοια “άπειρο” εννοούμε συνήθως κάτι το οποίο αντίκειται στο πεπερασμένο, κάτι χωρίς πέρας, κάτι έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα, κάτι το οποίο δεν επιδέχεται περαιτέρω αύξηση. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες, πολλές από τις οποίες συνεχίζονται μέχρι σήμερα. Επίσης το άπειρο αποτέλεσε βασικό αντικείμενο μελέτης του εβραϊκής καταγωγής Γερμανού μαθηματικού ,George Cantor.

60 Georg Cantor Είναι γνωστός ως ο δημιουργός της Θεωρίας Συνόλων, η οποία έγινε η θεμελιώδης θεωρία στα Μαθηματικά. Ο Cantor καθιέρωσε τη σημασία της 1-1 αντιστοιχίας ανάμεσα στα σύνολα. Όρισε το άπειρο και τα καλά ορισμένα σύνολα και απέδειξε ότι οι Πραγματικοί αριθμοί είναι υπεραριθμήσιμοι από τους Φυσικούς Αριθμούς. Στην πραγματικότητα το Θεώρημα του Cantor υποδεικνύει την ύπαρξη του απείρου (που άλλοτε είναι μετρήσιμο και άλλοτε υπεραριθμήσιμο). Όρισε το πλήθος και τους πληθικούς αριθμούς και τους Διατακτικούς. Η δουλειά του Cantor έχει μεγάλο Φιλοσοφικό ενδιαφέρον, το οποίο το γνώριζε και ο ίδιος καλά.

61 ΥΠΕΡΒΑΤIΚΟΙ Πραγματικοί Αριθμοί (R) Αλγεβρικοί Φυσικοί Ακέραιοι
Ρητοί Ακέραιοι Φυσικοί Ρητοί Ακέραιοι Φυσικοί Αλγεβρικοί Πραγματικοί Αριθμοί (R)

62 To 1844, ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Liouville,
(1809 – 1882), δημιούργησε τον πρώτο αριθμό που αποδεδειγμένα ήταν υπερβατικός. Άθροισμα όρων..

63 απέδειξε ότι το e είναι υπερβατικός αριθμός.
Το 1883, ο Charles Hermite, (1822 – 1901), απέδειξε ότι το e είναι υπερβατικός αριθμός. eiπ=1 (ταυτοτητα Οιλερ) Μεσω αυτου του τυπου απεδειξε ο Λιντεμαν το 1882 οτι ο π ειναι υπερβατικος αριθμος, δηλαδη δεν αποτελει λυση καμιας αλγεβρικης εξισωσης. Βασιστηκε ο Λιντεμαν στην αποδειξη που ειχε δημοσιευσει πιο πριν ο Ερμιτ ο,τι ο e ειναι υπερβατικος. Αν ο π ηταν αλγεβρικος, τοτε μεσω του τυπου του Euler, ο e θα ειχε ιδιοτητες που δεν ταιριαζουν σε υπερβατικο αριθμο.

64 Το 1882, ο Carl Louis Ferdinand von Lindemann, (1852 – 1939), απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός. Αυτό απάντησε οριστικά στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αποδεικνύοντας ότι είναι αδύνατον να γίνει. eiπ=1 (ταυτοτητα Οιλερ) Μεσω αυτου του τυπου απεδειξε ο Λιντεμαν το 1882 οτι ο π ειναι υπερβατικος αριθμος, δηλαδη δεν αποτελει λυση καμιας αλγεβρικης εξισωσης. Βασιστηκε ο Λιντεμαν στην αποδειξη που ειχε δημοσιευσει πιο πριν ο Ερμιτ ο,τι ο e ειναι υπερβατικος. Αν ο π ηταν αλγεβρικος, τοτε μεσω του τυπου του Euler, ο e θα ειχε ιδιοτητες που δεν ταιριαζουν σε υπερβατικο αριθμο.

65 Αλγεβρικοί Υπερβατικοί
Ονομάζονται οι αριθμοί που είναι ρίζες μη μηδενικών πολυωνύμων με συντελεστές από το Q (ρητούς ) Υπερβατικοί Ονομάζονται οι πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί

66 Ζ Ν Q Μετρώ όλα τα πράγματα και τα βάζω σε μία σειρά
Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση μx+ν=0 Λύνω και την εξίσωση x+ν=0 Ζ Ν Q

67 Οι πιο γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί
O e είναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός του Euler ή σταθερά του Νapier. Είναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά.    Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι: e ≈

68 Τα πρώτα δεκαδικά ψηφία του π είναι:
O π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Τα πρώτα δεκαδικά ψηφία του π είναι: Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ. Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π ≈ 3,14.

69 AΛΛΟΙ ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
α : αλγεβρικός b : αλγεβρικός και άρρητος ln q , q : ρητός

70 Το άθροισμα ενός υπερβατικού και ενός αλγεβρικού αριθμού είναι υπερβατικός

71 Για τους παρακάτω αριθμούς δεν μπορούμε να αποφανθούμε !!

72 Ευχαριστούμε πολύ!