Prof. dr. sc. Pavao Marović

Παρουσίαση με θέμα: "Prof. dr. sc. Pavao Marović"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Prof. dr. sc. Pavao Marović
Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, nastavak 5 i 6. 5. Uzdužna sila

2 5. LINIJSKE KONSTRUKCIJE – DJELOVANJE UZDUŽNE SILE
Sila usmjerena u smjeru normale (izlazi iz poprečnog presjeka) → vlačna sila → vlačno naprezanje → rastezanje - produljenje Sila usmjerena suprotna od smjera normale (ulazi u poprečni presjek) → tlačna sila → tlačno naprezanje → stlačivanje - skraćenje Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 5. Uzdužna sila

3 L0 – početna dužina štapa A – površina poprečnog presjeka
γ = 0 (zanemarujemo vlast. težinu) L0 A 1) Statička analiza N Zadaća: Pronaći zakon raspodjele naprezanja po površini poprečnog presjeka. dA dN=σxx·dA Σx=0 → F-N=0 → F=N F F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

4 2) Geometrijska analiza
Uzdužna sila je konstantna duž osi štapa (imamo 1-D stanje naprezanja), a zahvaljujući pretpostavci o ravnim presjecima, deformacije u svim točkama presjeka su jednake. F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

5 4) Rješavanje sustava jednadžbi
3) Fizikalna analiza Pošto se naš štap nalazi u 1-D stanju naprezanja, to ćemo za fizikalnu jednadžbu uzeti Hooke-ov zakon za 1-D: 4) Rješavanje sustava jednadžbi Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

6 Iz prethodnoga slijedi:
σxx F Iz prethodnoga slijedi: (naprezanje je jednoliko raspodijeljeno po površini poprečnog presjeka) σxx (raspodjela normalnih naprezanja uzduž uzdužne osi štapa) 2. oblik Hooke-ovog zakona – izraz za produljenje štapa uslijed djelovanja uzdužne sile E·A – krutost štapa na rastezanje/pritisak Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

7 a) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa
5) Kontrole O matematičkoj kontroli nećemo govoriti pretpostavljajući da smo sve računske operacije izveli korektno i točno. a) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa b) Kontrola krutosti štapa Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

8 Troznačnost jednadžbe naprezanja
1) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa 2) Dimenzioniranje (određivanje potrebne površine popr.pr.) 3) Nosivost (određivanje sile koju štap može preuzeti) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

9 5.1 – Utjecaj vlastite težine
γ ≠ 0 (imamo vlastitu težinu) 1) Statička analiza N dA dN=σxx·dA x Gx Σx=0 → Gx = N = A·x·γ Gx=A·x·γ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

10 Najveće naprezanje će biti na mjestu uklještenja:
Vidimo da se uzdužna sila i naprezanje uzduž štapa mijenjaju po linearnom zakonu. Najveće naprezanje će biti na mjestu uklještenja: N σxx Dopuštena dužina štapa Kritična dužina štapa Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

11 2) Geometrijska analiza
Kako smo vidjeli, naprezanje se mijenja duž osi štapa, pa prema tome duž osi nemamo homogeno stanje naprezanja. Zato promatramo diferencijalni dio štapa (dx). L0 A dx Δdx x Produljenje štapa uslijed vlastite težine jednako je produljenju koje bi nastalo kada bi na kraju štapa djelovala sila G/2 Gx=A·x·γ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

12 5.2 – Zajedničko djelovanje sile i vlast. težine
γ ≠ 0 Primijenit ćemo princip superpozicije. Stanje naprezanja bit će jednako zbroju stanja naprezanja od sile i vlastite težine. F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

13 σmax = σdop Komentar: Štapovi s konstantnom površinom poprečnog presjeka duž osi su neracionalni jer imamo veliki dio materijala koji je neiskorišten. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

14 5.3 – Štap jednake čvrstoće
L0 Ax F γ ≠ 0 A0 σxx Ideja: Napraviti štap kojemu će u svakom poprečnom presjeku biti naprezanje u potpunosti iskorišteno (svugdje je σdop). Problem: komplicirana i skupa izrada. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

15 5.4 – Sastavljeni štap σxx Ln An L3 A3 L2 A2 L1 A1 γ ≠ 0 F
Ideja: Napraviti štap što jednostavniji za izradu ali sa što većom iskoristivosti naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

16 Otpornost materijala I
5. Uzdužna sila

17 5.5 – Plan pomaka Plan pomaka je grafička konstrukcija kojom utvrđujemo analitičku ovisnost (vezu) između pomaka točaka i deformacije štapova. (slika 9.12, str. 139) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

18 Izračunamo deformacije: C2 C1
Statička analiza A B C 1 2 S1 (1) E1,A1,L1 S2 (2) E2,A2,L2 1 2 C F Σx=0 S1·sin1-S2·sin2=0 Σy=0 S1·cos1+S2·cos2=F (δC= δCH +δCV ) F ΔL2 ΔL1 → S1 i S2 δC Izračunamo deformacije: C2 C1 C’ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

19 ΔL2= ΔL1·cos(1+2 )+s1 ·sin(1+2 ) 90-(1+2)
F ΔL1 ΔL2 C1 C2 C’ δC (pomak smo izrazili pomoću deformacija) 90-(1+2) δCV 1 δCH s1=C’C1 ΔL2= ΔL1·cos(1+2 )+s1 ·sin(1+2 ) 90-(1+2) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

20 5.6 – Statički neodređeni sustavi
To su takvi sustavi kod kojih sile u pojedinim elementima sustava ne mogu biti određene samo pomoću jednadžbi ravnoteže već je potrebno promatrati i deformacije elemenata sustava. Razlika između broja statičkih nepoznatih veličina i jednadžbi ravnoteže daje nam stupanj statičke neodređenosti sustava. Da bi smo mogli odrediti sile u pojedinim elementima sustava potrebno je postaviti dopunske jednadžbe deformacija elemenata sustava. Broj dopunskih jednadžbi deformacija jednak je stupnju statičke neodređenosti sustava. Postupak proračuna je slijedeći (slično kao u 4.8 uz dopune): Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

21 Statička strana zadaće: za prerezane elemente sustava, koji sadržavaju nepoznate sile, postavimo jednadžbe ravnoteže te utvrđujemo stupanj statičke neodređenosti; Geometrijska strana zadaće: utvrđujemo vezu između deformacija pojedinih elemenata sustava temeljem uvjeta kompatibilnosti deformacija (koristimo plan pomaka). Postavljamo onoliko dodatnih geometrijskih jednadžbi koliko je puta sustav statički neodređen; Fizikalna strana zadaće: Pomoću Hooke-ovog zakona, deformacije pojedinih elemenata sustava izražavamo unutarnjim silama u pojedinim elementima sustava (+ temperatura); Rješavamo postavljeni sustav jednadžbi iz čega slijede veličine unutarnjih sila u pojedinim elementima sustava (dobivamo veze između opterećenja i deformacija kao i opterećenja i naprezanja); Provodimo odgovarajuće kontrole: (1) matematička (ispravno rješavanje); (2) fizikalna (dobivene deformacije i naprezanja su u granicama dozvoljenih). Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

22 Primjer: Fč F E=∞ Fa L Če F Al Σy=0 → Fa + Fč = F 2 – 1 = 1x F
1) Statička analiza Zadan je okrugli aluminijski štap (a) koji se nalazi unutar čelične cijevi (č). Fč F E=∞ Al Če L Fa F Σy=0 → Fa + Fč = F F 2 – 1 = 1x Trebamo odrediti naprezanja u cijevi i u štapu. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

23 F Δa = Δč Δa Δč L Če Al 2) Geometrijska analiza
Kako je sila centrična, to će ploče i dalje ostati međusobno paralelne. Uvjet deformacije: Al Če L F Δa = Δč Δa Δč 3) Fizikalna analiza Imamo 1-D stanje naprezanja, te deformacije sustava izražavamo unutarnjim silama, tj. Hooke-ovim zakonom: Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

24 Fa + Fč = F Δa = Δč 4) Rješavanje sustava jednadžbi Komentari:
Dobro je izvršiti kontrolu dobivenog izraza prema dimenzijama veličina. E·A – krutost elementa Što je veća krutost elementa, materijal na sebe preuzima veće opterećenje (sila Fč je veća što je nazivnik manji). Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

25 Primjer: Apsolutno kruta greda pridržana s dva štapa. a1
1 2 1) Statička analiza 4 nepoz.lež.reak. – 3 jedn.rav. = 1x stat.neodređen E=∞ A B C D E F S1 S2 AV AH (1) E1,A1,L1 S1 F Primjenjujemo metodu presjeka S2 (2) E2,A2,L2 ΣM(A)=0 S2·sin2·a2+S1·sin1·a1=F·L Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

26 E=∞ A B C D E F a1 a2 L 1 2 S1 S2 ΔL2 ΔL1 2 1 B’ C’
Pošto je sustav 1x statički neodređen to je potrebno postaviti 1 dodatnu jednadžbu – geometrijska jednadžba. E=∞ A B C D E F a1 a2 L 1 2 S1 S2 2) Geometrijska analiza Uvjet deformacije - ??? Sličnost trokuta ACC’=ABB’ ΔL2 ΔL1 2 1 B’ C’ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

27 metoda sila, jer smo zadani sustav rješavali po silama.
Geometrijska jednadžba – veza između deformacija 3) Fizikalne jednadžbe (Hooke-ov zakon za 1-D) 4) Rješavanje sustava jednadžbi (jednadžbe 3 grupe ubaciti ćemo u jednadžbu 2 grupe) Ovo je bila metoda sila, jer smo zadani sustav rješavali po silama. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

28 Zadani sustav možemo rješavati i po pomacima – metoda pomaka.
(i) Ei,Ai,Li,i,Si (i) x y i Fx Fy A u v ΔLi A’ → u, v Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

29 5.7 – Temperaturna naprezanja
Promatramo slobodno, homogeno i izotropno tijelo koje zagrijavamo. U svakoj točki i u svim smjerovima relativna deformacija (εt ) je konstantna: εt = t · Δt t – temperaturni koeficijent linearnog rastezanja Δt – promjena temperature t čelik = 125·10-7 /º C t bakar = 167·10-7 /º C t aluminij = 255·10-7 /º C Temperaturna naprezanja se javljaju kada su deformacije podvrgnute nekim ograničenjima. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

30 Kod statički određenih sustava nemamo temperaturnih naprezanja jer deformacije (deformiranje) nije ograničeno. Kod statički neodređenih sustava deformacije su podvrgnute određenim ograničenjima tako da se sada pojavljuju temperaturna naprezanja (ovo se događa bilo da se zagrijavaju pojedinih elementi ili čak i da se cijeli sustav jednoliko zagrijava). +Δt Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

31 1) Statička analiza S1 = S2 = S
ΔLt = L1 - L → ΔLt = t · Δt · L 1) Statička analiza S1 = S2 = S 2) Geometrijska analiza ΔLt - ΔLS = 0 → ΔLt = ΔLS 3) Fizikalna analiza ΔLt = t · Δt · L i ΔLS = S·L / E·A 4) Rješenje S = t·Δt·E·A i σxx = S / A = t·Δt·E Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

32 Primjer: 3 štapa spojena u 1 točki a zagrijava se samo srednji štap.
1) Statička analiza A B C D ΣV=0 → S2 + 2 · S1 · cos = 0 (2) E2,A2,L2 S2 = - 2 · S1 · cos +Δt (1) E1,A1,L1 2 – 1 = 1x S1 S2 2) Geometrijska analiza  ΔL1 = ΔL2 · cos 3) Fizikalna analiza ΔL1 = S1·L1 / E1·A1 ΔL2 = (S2·L2 / E2·A2) + t·Δt·L2 ΔL1  ΔL2 4) Rješenje Pitanje: koja je sila vlačna a koja tlačna? Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

33 5.8 – Montažna (početna) naprezanja
U sustavu se mogu pojaviti unutarnje sile iako nemamo nikakvih vanjskih djelovanja. Do toga dolazi zbog netočnosti pri izvedbi elemenata sustava. Kako se te unutarnje sile javljaju pri montaži elemenata sustava odnosno prije nego li na sustav počnu djelovati neki vanjski utjecaji, to se naprezanja uslijed tih unutarnjih sila nazivaju montažna naprezanja odnosno početna naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

34 Primjer: 3 štapa spojena u 1 točki pri čemu je srednji štap izveden nešto kraći.
1) Statička analiza A B C D ΣV=0 → S2 - 2 · S1 · cos = 0 (2) E2,A2,L2 S2 = 2 · S1 · cos (1) E1,A1,L1 2 – 1 = 1x S1 S2 2) Geometrijska analiza  δ = ΔL2 + (ΔL1 / cos) ΔL2 δ 3) Fizikalna analiza ΔL1 ΔL1 = S1·L1 / E1·A1 ΔL2 = S2·L2 / E2·A2 Komentar 1.: Sila S2 je vlačna, a sila S1 je tlačna! ? 4) Rješenje Komentar 2.: Greška δ može biti slučajna, ali i namjerna! Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

35 5.9 – Potencijalna energija pri rastezanju/pritisku
Pod djelovanjem sile F štap se deformira. Pri tome sila F vrši rad na putu ΔL. Dok smo u elastičnom području, taj vanjski rad se pretvara u potencijalnu energiju, a ako smo u plastičnom području onda se samo dio vanjskog rada pretvara u potencijalnu energiju dok se ostatak troši na deformiranje odnosno na zagrijavanje štapa. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

36 Nas zanima situacija u elastičnom području.
Koliko je prirasla potencijalna energija? ΔL F ΔL F A B dW=F1·dλ dF F1 λ (površina trokuta 0AB) dλ Slijedi: U=W (u elastičnom području, potencijalna energija je jednaka radu vanjskih sila) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

37 Kako je po Hooke-ovom zakonu:
slijedi da je potencijalna energija jednaka: Vidimo da je potencijalna energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od F ili ΔL. To je površina ispod F-ΔL dijagrama. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

38 To je površina ispod σ - ε dijagrama.
Ako potencijalnu energiju podijelimo s volumenom tijela dobit ćemo jediničnu ili specifičnu potencijalnu energiju: Kako je po Hooke-ovom zakonu σ = ε · E odnosno ε = σ / E slijedi da je specifična potencijalna energija jednaka: Vidimo da je specifična potencijalna energija deformiranja uvijek pozitivna, u>0, jer je kvadratna funkcija od σ ili ε. To je površina ispod σ - ε dijagrama. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

39 5.10 – Udarno opterećenje štapa
Masa štapa i zadržača je zanemariva prema masi tereta (G). L A E=∞ L A E=∞ G Između štapa i tereta nema trenja → sve se pretvara u energiju (nema gubitka energije, sustav je zatvoren). h G δst < δDIN δst G δDIN Rad vanjskih sila (W) jednak je potencijalnoj energiji (U). G Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

40 Unutarnja potencijalna energija ili potencijalna energija deformiranja
Rad vanjskih sila Unutarnja potencijalna energija ili potencijalna energija deformiranja Rad vanjskih sila jednak je unutarnjoj potencijalnoj energiji odnosno potencijalnoj energiji deformiranja pri čemu je te dobivamo jednadžbu Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

41 (kvadratna jedn. po δdin )
Opće rješenje je: Fizikalno jedino moguće rješenje je: odnosno: pri čemu je: dinamički koeficijent Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

42 Koliki je dinamički koeficijent?
Kod pada tereta s neke visine postoji veza između visine padanja h i brzine padanja v: Uvrstimo li to u izraz za δDIN s prethodne stranice, dobivamo: Pri čemu dinamički koeficijent možemo izraziti kao: Za slučaj da je visina padanja h=0 i brzina padanja v=0 dobivamo da je dinamički koeficijent kDIN = 2 Pošto je visina padanja h>0 i brzina padanja v>0 to je dinamički koeficijent: Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

43 Kolika su naprezanja u štapu kad na njega djeluje naglo opterećenje?
pri čemu je σst: Dinamičko opterećenje koje djeluje na donjem presjeku štapa je: Vidimo da je dinamičko opterećenje uvijek nepovoljnije od statičkog opterećenja. Zaključak: Između statičkog i dinamičkog djelovanja postoji bitna razlika. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

44 (Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 9.12, str. 172-180)
5.11 – Gipke žice (lančanica) (Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 9.12, str ) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

45 5.12 – Membransko stanje naprezanja
Primjeri membrana su: rezervoari, cisterne, kotlovi, mjehur od sapunice, itd. Prema tome za membranu možemo kazati: (1) debljina membrane znatno je manja od ostalih dimenzija; (2) membrana je gipka; (3) membrana ne može preuzeti moment savijanja nego samo normalna naprezanja koja su jednoliko raspodijeljena po debljini stjenke membrane u smjeru okomitom na poprečni presjek. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

46 Promatrajmo diferencijalni element membrane:
Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

47 ΣV=0 dφ1 2 ρ1 t O1 p σxx·t·ds2 Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

48 Za male kutove imamo da je:
Kako je: Laplace-ova jednadžba membranskog stanja naprezanja Dobivamo: Uz Laplace-ovu jednadžbu membranskog stanja naprezanja potrebno je postaviti još jednu dodatnu jednadžbu – ona ovisi o problemu kojeg rješavamo. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

49 Primjer: Kotao pod unutarnjim pritiskom (Slika 10.3, str. 184).
ρ2 = ∞ R R2·π·p = σ2·2·R·π·t Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

50 Primjer: Kotao pod unutarnjim pritiskom između krutih površina (Slika 10.6, str. 188).
ρ2 = ∞ t D=2·R Za postaviti drugu jednadžbu, moramo promatrati deformacije kotla u uzdužnom smjeru (2) Pitanje: ε2=? → Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

51 Pitanje: Kolika je relativna deformacija opsega?
Ako su nam zadane komponente naprezanja može se tražiti da odredimo koliki je radijus kotla. Pitanje: Kolika je relativna deformacija opsega? → Ovo nam je jako važno kad imamo problem cijevi. t D=2·R ρ1 = R ρ2 = ∞ Iz ovog možemo doći do cijevi jedinične dužine, a to je: prsten. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

52 5.13 – Koncentracija naprezanja
Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

53 Koncentracija naprezanja je pojava nejednolike raspodjele normalnih naprezanja u presjecima nagle promjene veličine i oblika poprečnog presjeka iako djeluje centrična uzdužna sila. (Slika 9.35, str. 169) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

54 σxx σxy Zaključak: Iako je vanjsko djelovanje jednoosno, na mjestu oslabljenja poprečnog presjeka javlja se višeosno stanje naprezanja, te ono uzrokuje pojavu koncentracije naprezanja. σyy σyx (šupljina) F (Ovo bi bilo kad bi imali jednoliku raspodjelu naprezanja u oslabljenom poprečnom presjeku) k – koeficijent koncentracije naprezanja An Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

55 Kod statičkog djelovanja vanjskog opterećenja, do granice proporcionalnosti (σP) karakter koncentracije naprezanja je jednak za sve materijale. Plastični materijali – kad maksimalno naprezanje dosegne granicu tečenja dolazi do tečenja materijala na mjestu maksimalnih naprezanja. Daljnji porast opterećenja štapa preuzimaju vlakna u poprečnom presjeku koja su napregnuta ispod granice tečenja, tako da se raspodjela naprezanja sve više približava jednolikoj – u trenutku loma izgubljen je karakter koncentracije naprezanja. Krti materijali – kad maksimalno naprezanje dosegne čvrstoću materijala, na mjestu maksimalnih naprezanja javljaju se pukotine koje uzrokuju još veću koncentraciju naprezanja, što pak dovodi do širenja pukotina i naglog loma štapa – u trenutku loma sačuvan je karakter koncentracije naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

56 Temeljem prethodno iznesenog, pri statičkom djelovanju vanjskog opterećenja, utjecaj koncentracije naprezanja kod plastičnih materijala može se zanemariti, dok se kod krtih materijala uvijek mora uzeti u obzir. Kod dinamičkog djelovanja vanjskog opterećenja, plastični materijali se ponašaju kao krti kod statičkog djelovanja, dok uporabu krtih materijala treba izbjegavati. Veličina koncentracije naprezanja može se smanjiti tako da se na neki način ublaži promjena oblika poprečnog presjeka. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

57 Dokaz čvrstoće kod koncentracije naprezanja
1) Krti materijal Uslijed koncentracije naprezanja kod krtih materijala moramo raditi sa smanjenim dopuštenim naprezanjem. 2) Plastični materijal Kod plastičnog materijala zanemarujemo koncentraciju naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila

58 6. DJELOVANJE POPREČNE SILE – SMICANJE (ODREZ)
Za podsjetiti se: n Opća jednadžba transformacija: σyy Za naše zadano stanje imamo: σxx  σxx σyy Otpornost materijala I 6. Posmik 5. Uzdužna sila

59 σii = σ (za i=i) - normalna napr. σij = τ (za i≠j) - posmična napr.
Promatrajmo specijalni slučaj: σxx=-σyy=σ σyy σxx Kolika su naprezanja σnn i σnt pod kutem =45º ? τ τ τ τ σnn = 0 σnt = -σ Uvodimo oznake: σii = σ (za i=i) - normalna napr. σij = τ (za i≠j) - posmična napr. Čisti posmik: σ = 0, τ ≠ 0 Kakva će biti deformacija? Otpornost materijala I 6. Posmik

60 Da bi odgovorili na pitanje, promatrati ćemo promjenu volumena:
Vidimo da je došlo do promjene kutova između stranica, te se možemo zapitati da li dolazi do promjene dužina stranica. Da bi odgovorili na pitanje, promatrati ćemo promjenu volumena: U našem slučaju imamo da je: σzz = 0 i σxx = -σyy = σ te konačno dobivamo: Zaključak: (1) Kod čistog posmika na stranicama elementa djeluju samo posmična (tangencijalna) naprezanja; (2) Kod čistog posmika relativna promjena volumena je jednaka nuli odnosno nemamo promjena dužina stranica već imamo samo promjenu pravih kutova (4) koji postaju tupi (2) odnosno oštri (2). Otpornost materijala I 6. Posmik

61 Uslijed tangencijalnih naprezanja došlo je do smicanja. c’ τ
b c d d’ Δs – apsolutno smicanje τ τ β β – kut smicanja ili relativno smicanje i služi kao mjera deformacije β τ tgβ ≈ β = Δs / a Po definiciji uzimamo da je: β = 2 · εxy Kako Hooke-ov zakon za posmik glasi: β = τ / G ( ε = σ / E ) Dobivamo da je relativna posmična deformacija: εxy = τ / 2 · G Otpornost materijala I 6. Posmik G – modul posmika

62 6.1 – Veza između aps. posmika i sile posmika
Promatrati ćemo jedan kratki štap: Δs = a · β F Δs A Kako je naprezanje: a Dobivamo da je veličina apsolutnog posmika jednaka: β drugi oblik Hooke-ovog zakona za posmik G·A – posmična krutost Otpornost materijala I 6. Posmik

63 6.2 – Potencijalna energija pri čistom posmiku
Nas zanima situacija u elastičnom području. Δs F A rad vanjskih sila (u elastičnom području, pot. energija je jednaka radu vanjskih sila) Potencijalna energija Specifična pot. energija Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od F ili Δs. To je površina ispod F-Δs dijagrama. Otpornost materijala I 6. Posmik

64 6.3 – Veza E-G-ν E (modul elastičnosti), G (modul posmika) i ν (Poison-ov koeficijent) su tri konstante kojima se opisuje mehaničko ponašanje nekog homogenog i izotropnog materijala. Pitanje: da li su one međusobno zavisne veličine? Promatrati ćemo diferencijalni element opterećen samo posmičnim naprezanjima, te ćemo na njemu odrediti relativnu deformaciju dijagonale na dva načina: (1) iz deformacija uslijed posmika; (2) iz deformacija u ravninskom stanju naprezanja. Otpornost materijala I 6. Posmik

65 Δs π/4-β/2 τ d Δd = Δs · cos(π/4-β/2) d1 d Δd ≈ Δs · cosπ/4 σ2 Δd a τ
σ1 σ2 Δd τ π/4-β/2 π/4 β/2 b za α=45º σ1=-σ2=τ Otpornost materijala I 6. Posmik

66 6.4 – Hooke-ov zakon za opće stanje naprezanja
Djelovanje normalnih i tangencijalnih deformacija je međusobno nezavisno. U prostoru (3-D): Otpornost materijala I 6. Posmik

67 ili obrnuto: Otpornost materijala I 6. Posmik

68 Prethodne jednadžbe možemo izraziti u matričnom obliku:
{σ} {ε} [D] vektor naprezanja matrica elastičnosti vektor deformacija Ukratko: {σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku (Uoči sličnost s izrazom σ = E · ε , Hooke-ov zakon za 1-D) Otpornost materijala I 6. Posmik

69 Ukratko: {σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku
U ravnini (2-D): Odnosno matrično: Ukratko: {σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku (Uoči sličnost s izrazom σ = E · ε , Hooke-ov zakon za 1-D) Otpornost materijala I 6. Posmik

70 6.5 – Odrez Odrez je poseban slučaj čistog posmika.
Promatrajmo jedan kratki štap. Moment savijanja zanemarujemo. F τ Duž crtkane linije se javljaju posmična naprezanja, τ, a kad ona pređu kritičnu vrijednost, dolazi do odreza štapa. τ F Otpornost materijala I 6. Posmik

71 τ·dA T F Ovo smo dobili uz pretpostavku da je raspodjela tangencijalnih naprezanja po površini poprečnog presjeka od poprečne sile jednolika. Stvarna raspodjela je nejednolika. Stvarni dijagram τsr Izraz za posmična (tangencijalna) naprezanja od poprečne sile: Računski dijagram Otpornost materijala I 6. Posmik

72 Troznačnost jednadžbe naprezanja
1) Kontrola naprezanja 2) Dimenzioniranje (određivanje potrebne površine popr.pr.) 3) Nosivost (određivanje poprečne sile koju štap može preuzeti) Otpornost materijala I 6. Posmik

73 6.6 – Spojevi i spojna sredstva
Primjer 1: Spoj dvije motke sa svornjakom. Odrezne ravnine 2·t1 > t t t1 F F d F F Otpornost materijala I 6. Posmik

74 Da ne dođe do odreza duž odreznih ravnina kontroliramo naprezanja odnosno imamo uvjet:
Na tijelo svornjaka djeluje i bočni površinski pritisak. Prema tome, moramo izvršiti i kontrolu tzv. obodnog pritiska ili gnječenja. Stvarna raspodjela bočnog pritiska koja je nepoznata d Zamjenska, računska, raspodjela bočnog pritiska Otpornost materijala I 6. Posmik

75 Ovo su jednorezne zakovice.
Primjer 2: Spoj (na preklop) dva lima sa zakovicama. F t F n Računska raspodjela nosivosti zakovica F n Stvarna raspodjela nosivosti zakovica Da bi se osigurala ova pretpostavka uvedena su tzv. konstruktivna pravila o broju i rasporedu zakovica u nekom spoju. Kontrola odreza: Ovo su jednorezne zakovice. Kontrola obodnog pritiska: Otpornost materijala I 6. Posmik

76 Ovo su sada dvorezne zakovice.
Nedostatak jednoreznih zakovica je što sile F ne leže na istom pravcu, pa ako su limovi debeli ili je sila F vrlo velika, na mjestu spoja dolazi do zaokretanja odnosno krivljenja limova. Primjer 3: Spoj (s vezicama) dva lima sa zakovicama. 2·t1 > t t1 t F F n Ovo su sada dvorezne zakovice. Kontrola odreza: Kontrola obodnog pritiska: Otpornost materijala I 6. Posmik

77 Primjer 4: Zavareni spoj dva lima.
L=L’-10 mm t Var F F L’ a - jačina vara a Kontrola odreza: a = t · cos 45º t a = 0,7 · t Otpornost materijala I 6. Posmik

78 Primjer 5: Drveni spoj (spoj drvenog kosnika i drvene grede).
FH = F · cosα F Kontrola odreza: x α FH y y FV Kontrola gnječenja: (Napomena: u ovom slučaju je i odrez i gnječenje u smjeru pružanja vlakanaca) b Otpornost materijala I 6. Posmik

79 Nastavak slijedi u idućem file-u.
Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.