PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA AFINOST KROŽNIC GEOMETRIJSKEGA TELESA

Παρουσίαση με θέμα: "PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA AFINOST KROŽNIC GEOMETRIJSKEGA TELESA"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA AFINOST KROŽNIC GEOMETRIJSKEGA TELESA
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ARHITEKTURO PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA IN AFINOST KROŽNIC GEOMETRIJSKEGA TELESA OPISNA GEOMETRIJA Luca Jereb doc.dr. Domen Kušar

2 PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA
Kolineacija v ravnini je bijektivno preslikavanje ravnine, ki preslika točko v točko, premico v premico, pri tem pa ohranja incidenco točke in premice: Če se točka T1, ki leži na premici p1 preslika v točko T2, mora tudi točka T2 ležati na preslikavi premice p1, torej na premici p2. Kolineacija ravnine je torej transformacija ravnine, ki ohranja kolinearnost točk. PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA Kolineacijo v ravnini, v kateri obstaja točno ena fiksna premica o, pri kateri se vse točke preslikajo same vase in točno ena fiksna točka S, ki NE LEŽI na premici o in se preslikava sama vase, imenujemo perspektivna kolineacija. Fiksna premica se imenuje os perspektivne kolineacije, fiksna točka pa središče perspektivne kolineacije. PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA

3 S o C1 A1 B1 A2 B2 C2 PRESLIKAVA TRIKOTNIKA S PERSPEKTIVNO KOLINEACIJO

4 PRESLIKAVA ŠTIRIKOTNIKA S PERSPEKTIVNO KOLINEACIJO
X2 X1 B2 C2 A2 D2 A1 Perspektivno kolinearna slika pravokotnika NI pravokotnik in paralelograma NI paralelogram, saj preslikava ne ohranja vzporednosti! B1 D1 C1 PRESLIKAVA ŠTIRIKOTNIKA S PERSPEKTIVNO KOLINEACIJO

5 PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA . AFINOST
Afinost je perspektivna kolineacija, kjer je os o v končnosti, središče S pa v neskončnosti. Žarki afinosti so vzporedne premice, g∞ je žarek vsake afinosti. Afinost v ravnini je nedvoumno določena z osjo in parom povezanih točk: X2 o X1 Afinost ohranja vzporednost in razmerja. PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA . AFINOST

6 PRESLIKAVA TRIKOTNIKA S POMOČJO AFINOSTI
C2 B2 o X2 B1 A2 C1 A1 X1 Pari afino povezanih stranic se sekajo na osi afinosti! PRESLIKAVA TRIKOTNIKA S POMOČJO AFINOSTI

7 C Konstruiranje elipse e1 kot afine slike krožnice k v afiniteto (imamo os ter S in S1). Premera elipse sta konjugirana (to pomeni, da sta tangenti v skrajnih točkah enega od premerov vzporedna drugemu premeru, v skrajnih točkah drugega premera pa sta tangenti vzporedni prvemu premeru), če sta pri afini preslikavi krožnice v elipso nastala kot afina slika med seboj pravokotnih premerov krožnice! Torej se par pravokotnih premerov krožnice preslika v par konjugiranih premerov elipse. S A B D o D1 A1 B1 S1 C1 KROŽNICE

8 C S A B Simetrala dolžine SS1, pravokotno na SS1,na sredini. D o G D1 A1 B1 S1 C1 Velika in mala os elipse se konstruirata s pomočjo Talesovega izreka: Kot, ki ima vrh na krožnici, kraka pa potekata skozi diametralni točki krožnice, je pravi kot. KONSTRUKCIJA ELIPSE KOT AFINE SLIKE KROŽNICE. določanje velike in male osi

9 S T1 o T2 S1 PRESLIKAVA KROŽNICE Z ORTOGONALNO AFINITETO

10 KONSTRUKCIJA TOČK ELIPSE S POMOČJO AFINOSTI
Elipsa je podana z veliko in malo osjo a in b. p1=p2 V afiniteti med dano elipso in krožnico k1 je os incidenčna z a, žarki pa so vzporedni z b. V afiniteti med dano elipso in krožnico k2 pa je os incidenčna z b, žarki pa so vzporedni z a. T1 b p T2 T S a Skozi središče S potegnemo poljubno premico p. To premico lahko afino preslikamo v premico p1, kjer ta premica seka krožnici k1 in k2 dobimo točki T1 in T2. Ti dve točki nato afino preslikamo nazaj na premico p, dobimo točko T, ki leži na naši elipsi. Točka T je sečišče dveh žarkov dveh afinitet. k2 k1 KONSTRUKCIJA TOČK ELIPSE S POMOČJO AFINOSTI

11 AB je skupni premer elipse in krožnice, torej je AB afinitetna os.
Premer CD se preslika v premer C1D1 krožnice. Premica med D in D1 je afinitetni žarek. D1 R1 D R Skonstruiramo točko T (tako tudi kasneje točko R) na elipsi, ko je njena afina slika T1 ϵ k1 (R1 ϵ k1), kar pomeni, da T1 in R1 ležita na krožnici: A B S T C T1 1) s pomočjo para preslikanih točk D-D1 2) upoštevajoč dejstvo, da se vzporedne premice preslikajo v vzporedne premice (R-R1) t C1 Tangenta t elipse v točki T je afina slika tangente t1 krožnice z dotikališčem v T1. t1 Veliko in malo os skonstruiramo s pomočjo Rytzove konstrukcije. Pozor: Kjer je krožnica opisana z malim premerom elipse moramo biti pozorni na pravokotnost med CD, ki je afinitetna os in A1B1, ki je v tem primeru premer krožnice. Afinitetna žarka sta v tem primeru A-A1 in B-B1, ki sta vzporedna. AFINOST MED ELIPSO PODANO S PAROM KONJUGIRANIH PREMEROV IN KROŽNICO OPISANO Z VEČJIM PREMEROM

12 VIRI IN LITERATURA Milan Mitrović: Projektivna Geometrija, Ljubljana 2009, DMFA založništvo, prevedel Robert Bakula Oton Sajovic: Opisna Geometrija, skripta. Ljubljana 1951, Državna založba Slovenije