Geometrija v ravnini – 2 Trikotnik Podrobna razlaga

Παρουσίαση με θέμα: "Geometrija v ravnini – 2 Trikotnik Podrobna razlaga"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Geometrija v ravnini – 2 Trikotnik Podrobna razlaga
Tatjana Hernaus april 2008

2 Trikotnik Koti v trikotniku Skladni trikotniki Vrste trikotnikov
Notranji in zunanji koti Skladni trikotniki Izreki o skladnih trikotnikih Vrste trikotnikov Enakostranični, enakokraki, raznostranični Pravokotni, ostrokotni, topokotni Daljice v trikotniku Višine, težiščnice, simetrale stranic, kotne simetrale Značilne točke v trikotniku Eulerjeva premica Načrtovanje trikotnikov

3 Pravilno označen trikotnik
C Oglišča si sledijo v nasprotni smeri od urinih kazalcev. γ Ta smer je v matematiki pozitivna smer. b Stranica a leži nasproti oglišču A (in tako naprej). a C α + A β Kot α leži ob oglišču A (in tako naprej). c A B B Kote označujemo z grškimi črkami: Ni pomembno, katera stranica je vodoravna (osnovnica). α – alfa β – beta γ – gamma

4 Koti v trikotniku – 1 Izrek 1: Vsota notranjih kotov v trikotniku meri 1800. Def.: Zunanji kot je suplementaren notranjemu kotu. Dokaz je zelo preprost: Skozi oglišče C narišimo vzporednico stranici c. Pojavita se izmenična kota α in β. Skupaj z γ sestavljajo iztegnjeni kot. C p || c α β γ’ γ b To velja za vse kote: a α’ α β β’ A c B

5 Koti v trikotniku – 2 Izrek 2: Vsota zunanjih kotov meri 3600.
Tudi ta dokaz je čisto preprost: Pri oglišču A imamo dva kota, α in α’, njuna vsota meri 1800. Za zunanje kote nam torej ostane še 5400 – 1800, to pa je 3600. Enako je pri oglišču B in pri oglišču C. S tem je izrek dokazan. C Vsota vseh notranjih in zunanjih kotov torej meri 3 krat po 1800, to je 5400. γ γ’ b Vsota notranjih kotov meri 1800, to smo že dokazali. a α’ α β β’ A c B

6 Koti v trikotniku – 3 Izrek 3: Vsota dveh notranjih kotov je enaka nasprotnemu zunanjemu kotu. To velja za vse kote: Dokaz: Spet narišimo vzporednico stranici c skozi oglišče C in označimo izmenična kota α in β. Kot α je enak svojemu sovršnemu kotu. C α α Vidimo, da kota α in β sestavljata ravno zunanji kot γ’. p || c β γ γ’ Enako bi lahko sklepali za kote ob ogliščih A in B. b a Če poznamo dva trikotnikova kota, lahko določimo vse druge (notranje in zunanje) kote. β α A c B

7 Koti v trikotniku – primer 1
Dana sta dva kota v trikotniku. Določi velikost neznanih notranjih in zunanjih kotov! Preizkus: Rezultate napišemo pod podatke in jih poudarimo. Urejenost je v matematiki zelo pomembna!!!!

8 Koti v trikotniku – primer 2
Dana sta dva kota v trikotniku. Določi velikost neznanih notranjih in zunanjih kotov! Sposodili smo si eno stopinjo za minute in eno minuto za sekunde.

9 Skladni trikotniki C γ Def.: Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh podatkih (lahko bi en trikotnik popolnoma prekrili z drugim). Izreki o skladnih trikotnikih: Izrek 1: Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh stranicah. Izrek 2: Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu med njima. Izrek 3: Trikotnika sta skladna, če se ujemata v eni stranici in dveh kotih. Izrek 4: Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu nasproti daljše stranice. b a β α B c A a, b, c a, β, c α, b, γ a, b, α (a > b) a, b, β (a < b)

10 Vrste trikotnikov V ENAKOSTRANIČNEM trikotniku so vse stranice skladne (enako dolge). ENAKOKRAKI trikotnik ima dve skladni stranici. RAZNOSTRANIČNI trikotnik ima različno dolge stranice. V PRAVOKOTNEM trikotniku en notranji kot meri 900. OSTROKOTNI trikotnik ima same ostre notranje kote. V TOPOKOTNEM trikotniku je en notranji kot top.

11 Enakostranični trikotnik
V enakostraničnem trikotniku so vse stranice enako dolge. Vsi notranji koti so enaki. Vsak meri 600. Enakostranični trikotnik je natančno določen z enim samim podatkom (dolžnino stranice). a = b = c α = β = γ C γ 600 b a α = 600 β = 600 c A B

12 Enakokraki trikotnik C V enakokrakem trikotniku sta dve stranici enako dolgi. Imenujemo ju KRAKA. Tretjo stranico imenujemo OSNOVNICA. Kota ob osnovnici sta enaka. γ a = b b a α β c a = b => α = β A B Seveda sta lahko tudi b in c enaki, tedaj je osnovnica a in je β = γ. Ali pa je a = c in α = γ.

13 Raznostranični trikotnik
V raznostraničnem trikotniku so stranice različno dolge. Koti so različni. Izrek: Nasproti krajši stranici leži manjši kot in obratno. C γ b a α β a < b => α < β A c B Če se kot poveča, se nasprotna stranica podaljša (drugi dve lahko ostaneta enaki). a Tole ni dokaz, je samo ideja, kako bi lahko dokazali ta izrek. a α

14 Pravokotni trikotnik Pravi kot je pri oglišču C, (razen če ni posebej zapisano drugače). V pravokotnem trikotniku je en notranji kot pravi kot. Zakaj samo en? Ker je vsota vseh treh kotov Če bi bila dva kota prava, tretjega sploh ne bi bilo. Druga dva kota sta komplementarna. Ker en kot meri 900, vsi skupaj pa 1800, mora biti vsota drugih dveh ravno 900. Stranici ob pravem kotu sta KATETI. Nasproti pravemu kotu leži HIPOTENUZA. Hipotenuza je daljša od katet. γ = 900 α + β = 900 C a b α β A c B

15 Ostrokotni in topokotni trikotnik
C γ V ostrokotnem trikotniku so vsi notranji koti ostri. V topokotnem trikotniku je en notranji kot top. Zakaj samo en? Vsota dveh topih kotov meri več kot 1800, to je preveč za trikotnik. b a α β c A B C γ b a α β A c B

16 Daljice v trikotniku Višine Težiščnice Simetrale stranic
Višinska točka Težiščnice Težišče Simetrale stranic Središče očrtane krožnice Simetrale notranjih kotov Središče včrtane krožnice Znamenite točke v trikotniku Eulerjeva premica

17 Višina v trikotniku A Def.: VIŠINA je pravokotnica iz oglišča na nasprotno stranico trikotnika. Trikotnik ima tri višine. Označimo jih va (višina na stranico a), vb (višina na b) in vc (višina na c). Višino navadno obravnavamo kot daljico. Rečemo npr. va = 4 cm. Lahko pa gledamo višino kot premico. Tej premici včasih namesto višina rečemo nosilka višine. Pomembna je v topokotnih trikotnikih. c va b vc vb C a B vc c C PAZI! Višina ne razpolavlja stranice (ne nujno)!

18 Težiščnica v trikotniku
Def.: TEŽIŠČNICA je daljica, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice. Trikotnik ima tri težiščnice. Označimo jih ta, tb in tc. Težiščnice lahko obravnavamo kot daljice ali kot premice. A c Sb Sc ta b tc tb C PAZI! Težiščnica ni nujno pravokotna na stranico! Sa a B

19 Simetrala stranice v trikotniku
Def.: SIMETRALA DALJICE je premica, ki pravokotno razpolavlja daljico. Trikotnik ima tri simetrale stranic. Označimo jih sa, sb in sc. Simetrale stranic navadno obravnavamo kot premice, lahko pa so tudi daljice. Lahko na primer rečemo sa = 5 cm. A b sb SAB SAC sb c sc sa C a SBC sc B sa PAZI! Simetrala stranice ne poteka nujno skozi oglišče!

20 Kotna simetrala v trikotniku
Def.: SIMETRALA KOTA je premica (ali poltrak), ki razpolavlja kot. Trikotnik ima tri simetrale notranjih kotov. Označimo jih sα, sβ in sγ. Ima tudi tri simetrale zunanjih kotov, te prepustimo gimnazijcem. Tudi kotne simetrale lahko v trikotniku obravnavamo kot daljice – tisti del, ki leži znotraj trikotnika. A α/2 α/2 b sγ sβ sα c sβ sγ γ/2 β/2 γ/2 C β/2 a sα B PAZI! Kotna simetrala ni nujno pravokotna na stranico niti je ne razpolavlja!

21 Znamenite točke v trikotniku
Višinska točka Težišče Središče očrtane krožnice Središče včrtane krožnice Eulerjeva premica Posebni primeri A b c O T V e S C a B

22 Višinska točka v trikotniku
Izrek: Vse trikotnikove višine (ali njihove nosilke) se sekajo v eni točki. Def.: VIŠINSKA TOČKA je presečišče trikotnikovih višin (ali njihovih nosilk). Oznaka: V Višinska točka lahko leži zunaj trikotnika ali na njegovi meji. Kdaj? Ko je trikotnik pravokoten, topokoten. A c va b vc V vb C a B Ko rišemo višinsko točko, je dovolj narisati dve višini. Zakaj?

23 Težišče trikotnika Izrek: Vse težiščnice v trikotniku se sekajo v eni točki. Def.: TEŽIŠČE je presečišče težiščnic. Oznaka: T Težišče vedno leži v trikotniku. Težišče deli težiščnico v razmerju 1 : 2. Bolj preprosto: Težišče leži na tretjini težiščnice. A y SAC SAB ta b T c tc tb x C a SBC B x : y = 1 : 2 y = 2 x Ko rišemo težišče, je dovolj narisati dve težiščnici. Zakaj?

24 Središče očrtane krožnice
Izrek: Vse simetrale trikotnikovih stranic se sekajo v eni točki. Def.: SREDIŠČE trikotniku OČRTANE KROŽNICE je presečišče simetral trikotnikovih stranic. Oznaka: O Središče očrtane krožnice lahko leži na meji ali zunaj trikotnika. V pravokotnem ali topokotnem trikotniku. A b sb SAB SAC O c C SBC a sc B sa Ko rišemo središče očrtane krožnice, je dovolj narisati dve simetrali stranic.

25 Središče včrtane krožnice
Izrek: Vse trikotnikove kotne simetrale se sekajo v eni točki. Def.: SREDIŠČE trikotniku VČRTANE KROŽNICE je presečišče trikotnikovih kotnih simetral. Oznaka: S Središče včrtane krožnice vedno leži v trikotniku. A sγ b sβ c S C a sα B Ko rišemo središče včrtane krožnice, je dovolj narisati dve kotni simetrali.

26 Eulerjeva premica Izrek: Točke V, T in O so kolinearne.
V vsakem trikotniku višinska točka, težišče in središče očrtane krožnice ležijo na isti premici. To premico imenujemo Eulerjeva premica. Izrek: Točka T leži med točkama O in V. Izrek: |OT| : |OV| = 1 : 3 Točka T leži na tretjini daljice OV. A b c O T V e C a B

27 Znamenite točke – posebni primeri
V enakostraničnem trikotniku točke T, O, V in S sovpadajo. Zato Eulerjeva premica v enakostraničnem trikotniku ni definirana. V enakokrakem trikotniku točke V, T, O in S ležijo na simetrali osnovnice (ki v tem primeru razpolavlja trikotnik). Eulerjeva premica je simetrala osnovnice (in simetrala trikotnika). V pravokotnem trikotniku točka O leži na sredini hipotenuze, točka V pa v vrhu pravega kota. V topokotnem trikotniku točki O in V ležita zunaj trikotnika. O = T = V = S O T S V S O T V V S T O

28 Načrtovalne naloge Načrtovanje v matematiki pomeni natančno risanje z ravnilom in šestilom. Ravnilo praviloma nima merila (narisanih centimetrov). Razdalj ne merimo ob ravnilu ampak s šestilom! Kote praviloma rišemo s pomočjo šestila Osnova je kot 600. Kot znamo razpoloviti in podvojiti. Mi bomo kote risali s kotomerom (geotrikotnikom), tudi pravokotnice in vzporednice bomo risali z geotrikotnikom. Za gimnazijce ta olajšava ne velja! Vedno rišemo s svinčnikom. Pazimo na natančnost! Dovoljeno je odstopanje največ za 1 mm.

29 Kako rešujemo načrtovalne naloge?
a = 5 cm b = 3 cm γ = 300 b Prepišemo podatke – levo zgoraj Narišemo skico – desno zgoraj Prostoročno, s svinčnikom Na skici označimo podatke Napišemo potek dela – – pod podatke ali pod skico Korake postopka oštevilčimo Pri daljicah navedemo krajišča Pri kotu navedemo vrh Pri krožnicah in lokih navedemo središče in polmer Če ima naloga lahko več rešitev, to zapišemo ob opisu postopka Narišemo sliko Rišemo s svinčnikom, ravnilom in šestilom Dovoljeno odstopanje je 1 mm Na sliki mora biti celotna konstrukcija Geotrikotnik je v srednjih strokovnih šolah dovoljen γ B Potek dela: 1) a = BC 2)  C = γ, b 3) k(C, b) 4) k ∩ b = A a C A b γ a C B

30 Načrtovanje trikotnikov – primeri
Načrtaj trikotnik s podatki: Vse tri stranice Dve stranici in kot med njima Stranica in dva kota Dve stranici in nasprotni kot Višina Težiščnica Pravokotni trikotnik *Stranica in nasprotni kot *Vsota ali razlika stranic Opomba: slike niso narisane v merilu, poudarek je na postopku in pravilnem zapisu le-tega.

31 Načrtovanje trikotnikov – 1
Potek dela lahko napišeš z matematičnimi simboli ali pa “po slovensko”, kakor ti je lažje. ∆ ABC a = 7 cm b = 6 cm c = 5,5 cm c b Pomen teh matematičnih znakov: B a C Narišemo daljico a z oglišči B in C. Potek dela: Skico obrnemo tako, da bo stranica a vodoravna (ker je najdaljša). V točki B narišemo lok s polmerom 5,5 cm. a = BC Namesto k – krožnica lahko pišemo l – lok: l(C, a). k(B, c = 5,5 cm) Na skici označimo podatke. k1(C, a) Narišemo še en lok s središčem C in s polmerom a. Pazimo na orientacijo trikotnika! A k ∩ k1 = A Kjer se loka sekata, je oglišče A. + C Dovolimo si nedoslednost: morali bi pisati k ∩ k1 = {A} B Zapomni si: Zapis je končan, ko so v njem omenjena vsa oglišča. PAZI! Oznaka a pomeni premico, oznaka a = BC pa daljico! V potek dela ne pišemo: “na koncu povežemo vsa oglišča” – to je samo po sebi umevno.

32 Načrtovanje trikotnikov – 1
∆ ABC a = 7 cm b = 6 cm c = 5,5 cm c b C B a k k1 Potek dela: A a = BC k(B, c = 5,5 cm) k1(C, a) c k ∩ k1 = A b a B C

33 Načrtovanje trikotnikov – 2
C ∆ ABC b = 7 cm c = 6 cm α = 300 b a Lahko bi seveda začeli s stranico b, ali pa s točko A in s kotom α. Potek bi bil podoben. α A c B Potek dela: c = AB Pri kotu ne pozabimo zapisati kraka, ki se pojavi, ko narišemo kot! Najbolje je, če potek dela pišemo sproti, medtem ko rišemo. k  A = α, b C k(A, 7 cm) Ta krak bomo pozneje potrebovali. k ∩ b = C b α A c B

34 Načrtovanje trikotnikov – 3
B Kaj pa zdaj? ∆ ABC b = 6 cm α = 650 β = 190 β Poznamo kot β, toda ne moremo ga narisati, dokler ne vemo, kje leži točka B. a c α A C b Kota ne moremo narisati, če ne vemo, kje leži njegov vrh. Potek dela: b = CA Lahko pa bi narisali kot γ pri točki C, če bi ga poznali.  A = α, c 3) Izračunamo γ = 1800 – (α + β) = 960 K sreči lahko γ izračunamo, ker poznamo α in β!  C = γ, a B a ∩ c = B c a γ α C b A

35 Načrtovanje trikotnikov – 4a
B B k ∆ ABC a = 7 cm b = 6 cm α = 500 a c α A C b Potek dela: b = CA  A = α, c c k(C, a) a k ∩ c = B Drugi in tretji korak lahko zamenjamo. α C b A

36 Načrtovanje trikotnikov – 4b
PAZI! Ali opaziš kakšno razliko med nalogama 4a in 4b? Dobro poglej! ∆ ABC a = 5 cm b = 6 cm α = 500 a c α Če ne opaziš razlike, preberi 4. izrek o skladnih trikotnikih. A C b Potek dela: Si zdaj opazil/a, da pri nalogi 4b podatki ne ustrezajo izreku: Stranica a je krajša od b, torej bi morali poznati kot β, ne α – kot nasproti daljše stranice! (enak kot pri 4a) b = CA  A = α, c Nalogo lahko kljub temu rešimo, toda lahko se zgodi, da dobimo dve rešitvi, ali pa nobene! k(C, a) k ∩ c = B Krožnica lahko dvakrat seka premico. Pričakujemo težave: dve rešitvi ali pa nobene!

37 Načrtovanje trikotnikov – 4b
∆ ABC a = 5 cm b = 6 cm α = 500 a c α B1 A C b Potek dela: k (enak kot pri 4a) Naloga ima dve rešitvi: ∆ AB1C in ∆ AB2C. c b = CA  A = α, c a1 k(C, a) B2 k ∩ c = B a2 Krožnica lahko dvakrat seka premico. Pričakujemo težave: dve rešitvi ali pa nobene! α C b A

38 Načrtovanje trikotnikov – 4c
B Še ena podobna naloga. ∆ ABC a = 5 cm b = 6 cm α = 700 Tu je kot večji, zato je bolj verjetno, da naloga nima rešitve. a c α A C b PAZI! Slika in potek dela sta enaka kot pri prejšnji nalogi. Potek dela: b = CA  A = α, c k Šele na sliki vidimo, ali rešitev obstaja ali ne k(C, a) Naloga nima rešitve. c k ∩ c = B Spet težave: dve rešitvi ali pa nobene! Lahko bi se zgodilo, da bi bila rešitev natanko ena – če bi se krožnica dotikala premice c, toda to se zelo redko zgodi. α C b A

39 Načrtovanje trikotnikov – 5a
p || a A ∆ ABC a = 7 cm b = 6 cm va = 3,5 cm Ne vemo, kje naj narišemo višino, ker ne vemo, kje bo ležala točka A. c b va va Narišemo vzporednico p – in dobimo pas, v katerem leži trikotnik. a C B Potek dela: Višino lahko narišemo kjerkoli nad stranico a. Oglišče A bo nekje na premici p. a = BC va  α, p || a Najbolje nekje ob robu, da nas ne bo motila. k(C, b) k A p k ∩ p = A ZAPOMNI SI: kadar je znana višina, vedno narišemo PAS. va a B C

40 Načrtovanje trikotnikov – 5b
p A ∆ ABC c = 7 cm b = 6 cm va = 3,5 cm Kadar je znana višina, vedno narišemo PAS! c b va va Tokrat začnemo s premico a, ne z daljico, ker ne poznamo njene dolžine. C B a Potek dela: a va  α, p || a Potem si izberimo točko A kjerkoli na premici p. A  a Iz točke A lahko narišemo krožnici (odmerimo stranici); kjer krožnici sekata premico a, dobimo oglišči B in C. k(A, b) A p a ∩ k = C k1(A, c) a ∩ k1 = B va a B C

41 Načrtovanje trikotnikov – 6a
∆ ABC a = 7 cm c = 5 cm ta = 2,5 cm SPOMNIMO SE: Težiščnica razpolavlja stranico. c ta Že na skici moramo označiti razpolovišče stranice a – enako oznako bomo uporabili potem na sliki. C B a D Potek dela: Razpolovišče stranice a narišemo s pomočjo simetrale (se spomniš: loka z istim polmerom iz obeh oglišč …). D = Sa k1 a = BC D = Sa A k(D, ta) k k1(B, c) k ∩ k1 = A a B D C Težiščnice na sliki ni treba narisati, samo na skici je obvezna!

42 Načrtovanje trikotnikov – 6b
∆ ABC a = 5 cm β = 1100 tc = 6 cm c/2 D = SAB c b Točka D določa sredino stranice c, torej zdaj vemo koliko meri cela stranica c – še enkrat toliko. tc c/2 β B a C Narišemo polkrožnico okoli D, nasproti oglišču B dobimo oglišče A.. Potek dela: a = BC  B = β, c k c k(C, tc) k ∩ c = D = SAB A Težiščnice ni treba narisati! k1(D, |BD|) D β a C B

43 Načrtovanje trikotnikov – 6c
∆ ABC a = 6 cm β = 400 tc = 3,5 cm c c/2 Naloga je zelo podobna prejšnji. Potek dela je popolnoma enak. Toda pozor: težiščnica je zdaj krajša od stranice – pričakujemo dve rešitvi ali nobene (spomni se na nalogi 4b in 4c)! D = SAB b tc c/2 β C B a A2 Potek dela: a = BC  B = β, c k(C, tc) k ∩ c = D = SAB Dve rešitvi! D2 k1(D, |BD|) A1 k Dobimo dve točki D in seveda dva trikotnika – prvi je označen z rumeno, drugo z oranžno. D1 c β a B C

44 Načrtovanje trikotnikov – 7a
Zdaj rišemo pravokotni trikotnik. C ∆ ABC c = 6 cm a = 5,5 cm Če nič ne piše, potem je pravi kot pri oglišču C. b a Seveda bi lahko bil tudi drugje, a tedaj bi moralo biti to napisano med podatki. c B A D = Sc Potek dela: Imamo dve možnosti: ali začnemo s pravim kotom (kateto) ali pa s hipotenuzo. Če začnemo s hipotenuzo, pa uporabimo izrek o kotih v polkrogu: Nad hipotenuzo narišemo POLKROG. Oglišče C leži nekje na polkrožnici. Prva možnost je standardna in jo verjetno poznaš, zato je tu ne bomo opisali.

45 Načrtovanje trikotnikov – 7a
C ∆ ABC c = 6 cm a = 5,5 cm b a c B A D = Sc Potek dela: c = AB SAB = D k(SAB, c/2) k1 k1(B, a) C k ∩ k1 = C k A c D B

46 Načrtovanje trikotnikov – 7b
C ∆ ABC α = 660 a = 5,5 cm b a α β c B A Potek dela: a = BC C b  C = 900, b  a A β = 900 – α Ker ne vemo, kje leži točka A, ne moremo narisati kota α.  B = β, c b ∩ c = A a Izračunati moramo kot β. c β B

47 Načrtovanje trikotnikov – 7c
p || c ∆ ABC c = 6 cm vc = 2,5 cm Ker ne poznamo nobene katete, tokrat ne gre brez polkroga nad hipotenuzo. b a vc B A D = Sc c Ker poznamo višino, pa bomo narisali pas. Potek dela: c = AB SAB C1 C2 p || c k(SAB, c/2) vc  c, p || c vc k k ∩ p = C Dve rešitvi! Dobimo dve skladni rešitvi. c A D B

48 Načrtovanje trikotnikov – 7č
C Naloga je identična prejšnji, toda ker je višina prevelika, ni rešljiva. p || c ∆ ABC c = 6 cm vc = 4 cm b a vc c B A D = Sc Potek dela: c = AB p || c SAB k(SAB, c/2) vc  c, p || c vc k k ∩ p = C Krožnica in premica se ne sekata – naloga nima rešitve. A c D B

49 Načrtovanje trikotnikov – 7d
Pazi! Ta trikotnik je obrnjen na glavo, pravi kot je pri A! p || a ∆ ABC α = 900 a = 6 cm va = 3 cm c b va C B D = Sa a Potek dela: a = BC A p || a SBC k(SBC, a/2) va  a, p || a vc k k ∩ p = A Krožnica in premica se dotikata – dobimo eno rešitev, čeprav bi pričakovali dve. a B D C Trikotnik je enakokrak.

50 Načrtovanje trikotnikov – 8
Poznamo stranico in kot, ki ji leži nasproti – ne moremo ga narisati! Tudi višina (pas) nam nič ne pomaga. ∆ ABC a = 7 cm va = 3 cm α = 550 p || a α va O Tu si bomo pomagali z očrtano krožnico in z obodnimi in središčnimi koti. r r 2α φ φ Potek dela: C a B a = BC Spomnimo se: Središčni kot je dvakrat večji od obodnega kota nad istim lokom.  B = φ, r1 Narišemo najprej trikotnik OBC:  C = φ, r2 Uporabimo podatek – glej skico! – da je trikotnik BCO enakokrak, torej sta kota pri B in pri C enaka. r1 ∩ r2 = O Najprej narišemo središče očrtane krožnice in očrtano krožnico (uporabimo simetrale stranic!). k(O, r) Izračunajmo ju: 2α + φ + φ = => φ = 350. Točka O je enako oddaljena od vseh oglišč (r). Kot pri O je dvakrat večji od α. O Kota pri B in pri C sta enaka (enakokrak trikotnik). r1 r2 φ φ a B C

51 Načrtovanje trikotnikov – 8
∆ ABC a = 7 cm va = 3 cm α = 550 ∆ ABC a = 7 cm va = 3 cm α = 550 p || a α Zdaj dodamo še pas (zaradi višine). va O r r 2α φ φ Potek dela: Potek dela: C a B a = BC a = BC  B = φ, r1  B = φ, r1 Rešitvi sta skladni.  C = φ, r2  C = φ, r2 A1 A2 r1 ∩ r2 = O r1 ∩ r2 = O k(O, r) k(O, r) va  a, p || a p ∩ k = A O va Pričakujemo dve rešitvi! φ φ a B C

52 Načrtovanje trikotnikov – 9
Tole je pa že skoraj gimnazijska raven. ∆ ABC b = 7 cm a + c = 9 cm γ = 550 sDA c b γ a C B D c Ne vemo, niti koliko meri stranica a niti koliko meri c, poznamo pa dolžino a+c = 9 cm. |DB| = |BA| |DC| = a + c Stranico a podaljšamo za c. Ne moremo narisati trikotnika ABC, lahko pa narišemo trikotnik DCA. Konec označimo npr. D. Potem bomo upoštevali, da je trikotnik DBA enakokrak. To pomeni, da je simetričen: Simetrala stranice DA poteka točno skozi točko B.

53 Načrtovanje trikotnikov – 9
∆ ABC b = 3 cm a + c = 9 cm γ = 550 sDA c b γ Narišimo najprej trikotnik DCA: a C B D c Potek dela: |DB| = |BA| |DC| = a + c CD = a + c  C = γ, b Rešitev je seveda trikotnik ABC, točka D ni več pomembna. k(C, b) A k ∩ b = A Zdaj upoštevajmo, da je trikotnik DBA enakokrak: sDA sDA ∩ DC = B Narišimo simetralo stranice DA, ki poteka skozi točko B. b γ D B C