7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

Παρουσίαση με θέμα: "7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

2 Dosad smo spominjali distribucije koje su formirane grupiranjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju – originalne, empirijske, opažene distribucije Nasuprot empirijskim distribucijama postoje distribucije koje se mogu očekivati u skladu s iskustvom ili na temelju nekih pretpostavki – teorijske distribucije pretpostavljaju se u nekom statističkom modelu ili ih se postavlja kao hipotezu koju treba ispitati

3 Teorijske distribucije zadane su analitički
Svaka teorijska distribucija ima svoj zakon vjerojatnosti po kojem su distribuirane vrijednosti slučajne varijable X Osim funkcije vjerojatnosti, te distribucije imaju: očekivanje, varijancu, koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti

4 VRSTE TEORIJSKIH DISTRIBUCIJA
DISKONTINUIRANE DISTRIBUCIJE Binomna distribucija Poissonova distribucija Hipergeometrijska distribucija KONTINUIRANE DISTRIBUCIJE Normalna (Gaussova) distribucija Studentova ili t-distribucija Gama distribucija (2 test)

5 Binomna distribucija Najjednostavnija teorijska distribucija za alternativna obilježja Bernoullijev pokus je slučajan pokus: sa samo dva ishoda (uspjeh/neuspjeh) svakom ponavljanju pokusa vjerojatnost “uspjeha” jednaka je p i ne mijenja se u različitim pokušajima vjerojatnost ishoda neuspjeh je q = 1  p pokusi su neovisni broj pokušaja = n

6 Ako je n broj ponavljanja Bernoullijevog pokusa, p vjerojatnost ishoda “uspjeh” (konstantna u svakom ponavljanju), a X broj ishoda uspjeh, varijabla X je binomna slučajna varijabla, a pripadajuća distribucija vjerojatnosti naziva se binomnom distribucijom. Slučajna varijabla X ravna se prema binomnoj distribuciji ako je njezina distribucija vjerojatnosti dana izrazom: skraćeno B(n, p).

7 BINOMNA DISTRIBUCIJA OČEKIVANA VRIJEDNOST STANDARDNA DEVIJACIJA
KOEFICIJENT ASIMETRIJE KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI Ako je p = q = 0.5, binomna je distribucija simetrična

8 PRIMJER 1. Varijabla X ravna se po zakonu binomne distribucije B(5,0
Kako glasi funkcija vjerojatnosti? Odredite njezine vrijednosti. Kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednosti: X = 0, X ≤ 3, X > 3, 2 ≤ X ≤ 5, 3 < X ≤ 5?

9 PRIMJER 2. Revizor kontrolira točnost knjiženja knjigovodstvenih zapisa. Na temelju iskustva, zapis je netočan u približno 5% slučajeva. Ako se kontroli podvrgne 20 slučajno izabranih zapisa, kolika je vjerojatnost: da su svi izabrani zapisi točni, da 3 zapisa od njih 20 sadrže pogrešku knjiženja? Koliki je očekivani broj pogrešnih zapisa i prosječno odstupanje od prosjeka?

10 POISSONOVA distribucija
koristi se za opis rijetkih događaja (događaji koji imaju veliki uzorak i malu vjerojatnost) ako je p ≤ 0.1, a n ≥ 50, tada se binomne vjerojatnosti mogu izračunati aproksimativno pomoću izraza: gdje je λ ≈ np , e = Ta teorijska distribucija zove se Poissonova distribucija. Granični je slučaj binomne distribucije.

11 POISSONOVA DISTRIBUCIJA
OČEKIVANA VRIJEDNOST STANDARDNA DEVIJACIJA KOEFICIJENT ASIMETRIJE KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI Ako se u konkretnom slučaju ne može odrediti vjerojatnost a priori, onda se eksperimentiranjem može saznati aritmetička sredina empirijske distribucije frekvencija

12 PRIMJER 3. Očekivana vrijednost Poissonove distribucije iznosi 4.
Odredite: standardnu devijaciju, koeficijent asimetrije, koeficijent zaobljenosti i P(X ≤ 3).

13 PRIMJER 4. U jednoj banci u prosjeku 5 stranaka po satu zahtijeva usluge oročavanja depozita. Pretpostavi li se da stranke prispijevaju u banku neovisno i po satima u radnom vremenu s istom vjerojatnosti, kolika je vjerojatnost da se pred šalterom za oročavanje nađu: tri stranke, više od sedam stranaka?

14 Normalna (gaussova) distribucija
Najvažnija statistička distribucija – model mnogih empirijskih pojava Teorijska distribucija kontinuirane slučajne varijable Normalna distribucija N (μ ,σ2 ) je dvoparametarska funkcija vjerojatnosti, s parametrima μ i σ2 (očekivana vrijednost i varijanca):

15 Zvonasta je oblika, simetrična s točkama infleksije kojima su apscise μ ± σ
68.26% 95.44% 99.74% μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ Očekivana vrijednost, mod i medijan poprimaju jednaku vrijednost. Sve mjere asimetrije za tu distribuciju jednake su nuli. Koeficijent zaobljenosti normalne distribucije jednak je 3.

16 Svaka se normalna distribucija može svesti na standardiziranu (aritmetička sredina standardiziranih obilježja jednaka je 0, a standardna devijacija 1) ako se obilježje X linearno transformira u X = μ + zσ tako da se umjesto varijable X dobiva standardizirano obilježje z Formula za standardiziranu normalnu distribuciju:

17 Jedinična normalna distribucija je tabelirana
Jedinična normalna distribucija je tabelirana. U tablici distribucije vjerojatnosti navedene su površine koje predočuju vjerojatnost da slučajna varijabla Z poprimi vrijednost iz intervala 0 ≤ Z ≤ z U predstupcu te tablice nalaze se vrijednosti standardiziranog obilježja z izražene s brojevima s jednom decimalom. Druga decimala označena je u zaglavlju tabele. Te vrijednosti označuju udaljenost standardiziranog obilježja od aritmetičke sredine uzduž apscise.

18 Ako se, npr. , spuštamo brojevima u predstupcu do 1
Ako se, npr., spuštamo brojevima u predstupcu do 1.9, pa onda nastavimo udesno do stupca s oznakom 0.6 u zaglavlju, tada ta vrijednost predstavlja udaljenost od 1.96 standardnih devijacija od AS. Broj koji se nalazi na tom mjestu znači proporciju ukupne površine (koja je jednaka jedan) što se nalazi između ordinate podignute na mjestu AS i ordinate podignute u točki 1.96 standardnih devijacija na apscisi Normalna distribucija je simetrična, pa su tablične vrijednosti dane samo za pozitivne vrijednosti varijable Z

19 PRIMJER 5. Slučajna varijabla X normalno je distribuirana s očekivanjem 15 i standardnom devijacijom 3. Odredite: P(12 ≤ X ≤ 17), P(X ≤ 20), P(X ≤ 13).

20 PRIMJER 6. Slučajna varijabla X distribuirana je po normalnoj distribuciji N (μ ,σ2 ). Odredite vjerojatnost da varijabla poprimi vrijednost iz intervala: (1) μ < X < μ + σ , μ < X < μ + 2σ , μ < X < μ + 3σ, (2) μ  σ < X < μ , μ  2σ < X < μ , μ  3σ < X < μ , (3) μ  σ < X < μ + σ , μ  2σ < X < μ + 2σ , μ  3σ < X < μ + 3σ (4) μ  σ < X < μ + 2σ (5) μ  3σ < X < μ σ

21