ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΚΑΓΙΑΝΝΗ ΕΛΕΝΗ ΛΥΚΟΦΡΙΔΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ.

Παρουσίαση με θέμα: "ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΚΑΓΙΑΝΝΗ ΕΛΕΝΗ ΛΥΚΟΦΡΙΔΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΚΑΓΙΑΝΝΗ ΕΛΕΝΗ ΛΥΚΟΦΡΙΔΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ

2 Χώρος - Χρόνος - Τόπος Σχολείο : Πειραματικό Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Νέα Σμύρνη Τάξη : Β΄Γυμνασίου Τμήμα : Β 1 Υπεύθυνος Καθηγητής : Νικόλαος Μεταξάς Συνοδός : Μαρία Κασσωτάκη Διδακτική Ώρα : 4 η Θέμα : Συναρτήσεις Ημερομηνία : 17 /12 / 12

3 Σχεδιασμός Μαθήματος Οι μαθητές είχαν διδαχθεί την έννοια της συνάρτησης ( παράγραφος 3.1 του σχολικού βιβλίου ). Ουσιαστικά το μάθημα σχεδιάστηκε με στόχο την ολοκλήρωση της παραγράφου και την εισαγωγή στις καρτεσιανές συντεταγμένες - γραφική παράσταση συνάρτησης ( παράγραφος 3.2 του σχολικού βιβλίου ).

4 Μοιράστηκε αρχικά στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας για την ολοκλήρωση της ενότητας 3.1. Το φύλλο εργασίας περιείχε δύο δραστηριότητες :  Στην πρώτη δραστηριότητα οι μαθητές κλήθηκαν να χαρακτηρίσουν αν η κάθε πρόταση όριζε ή όχι κάποια συνάρτηση.  Η δεύτερη ήταν ένα κλασικό πρόβλημα πάνω στην έννοια της συνάρτησης.

5 Δραστηριότητα 1 Να ελέγξετε αν οι παρακάτω προτάσεις ορίζουν συναρτήσεις και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση.  Μια παρέα 3 ατόμων πήγε στο λούνα παρκ της περιοχής τους για να μπουν στα συγκρουόμενα αυτοκινητάκια. Ο Νίκος όμως λατρεύει το μπάσκετ και πήγε επιπλέον να παίξει μια φορά στο αντίστοιχο παιχνίδι που έχει στο λούνα παρκ.

6  Η Μαρία μπήκε στο ζαχαροπλαστείο της γειτονιάς της και πήρε 3 γλυκά για τις 2 κόρες της. Έδωσε στην κάθε μία από ένα.  Μπαίνουν κάποια άτομα σε έναν ανελκυστήρα ( ασανσέρ ) μιας πολυκατοικίας. Ο καθένας θα σταματήσει σε έναν όροφο της πολυκατοικίας.

7 Στόχοι της παραπάνω δραστηριότητας ήταν : Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της συνάρτησης. Να καταλάβουν πως η συνάρτηση είναι μια διαδικασία και ότι δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τύπος για να υφίσταται. Να γίνει κατανοητή η διάκριση ανεξάρτητης και εξαρτημένης μεταβλητής και να μπορούν να τις ορίζουν μόνοι τους.

8 Κρίσιμο σημείο Οι μαθητές δεν μπορούσαν να διανοηθούν πως ορίζεται συνάρτηση χωρίς τύπο. Προβληματίστηκαν όταν τους ζητήθηκε να χαρακτηριστεί η κάθε πρόταση για το αν είναι συνάρτηση. Στη ερώτηση για το ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή, αναζητούσαν συγκεκριμένο τύπο για να απαντήσουν.

9 Διάλογος Συνεντευκτή - Δήμητρα Αρχή διδασκαλίας : Δ : Συνάρτηση είναι ένας κανόνας μεταξύ δύο μεταβλητών αντικειμένων. Σ : Ωραία … και τι πρέπει να ισχύει ; Πώς πρέπει να λειτουργούν μεταξύ τους αυτά τα δύο αντικείμενα για να φτιάξουν συνάρτηση ; Δ : Με τον τύπο !

10 1 ο Ερώτημα Δραστηριότητας Δ : Δεν κατάλαβα τίποτα ! Σ : Λοιπόν θέλουμε … Δ : Εμείς τώρα δε θέλουμε …; Αν δούμε στο βιβλίο που λέει αν y ίσον τάδε χ …. Σ : Δήμητρα πώς ορίζουμε τη συνάρτηση ;…… Είναι μια διαδικασία μεταξύ δύο συνόλων, δύο αντικειμένων …. και τι πρέπει να ισχύει ; Δ :……………. Σ : Το κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου Β. Εντάξει ;

11 Δ :…. Δεν κατάλαβα ….. Σ : Λοιπόν ( σχεδιάζω στον πίνακα τα σύνολα ), έχουμε δύο σύνολα το Α και το Β. Το σύνολο Α πείτε ότι έχει τρία στοιχεία που στην περίπτωση αυτή έχουμε τα τρία παιδιά. Στο σύνολο Β έχουμε τα παιχνίδια.. αυτοκινητάκια, μπάσκετ, σκοποβολή … και άλλα.. έχουμε πολλά παιχνίδια στο λούνα πάρκ. Εντάξει ; Και τι μας λέει εδώ ;…. Ότι κάθε παιδί κάνει αυτοκινητάκια, ένα παιχνίδι, οπότε έχουμε αυτήν την αντιστοίχιση ( τη σχεδιάζω ); Δ : Ναι, αλλά το ένα από τα παιδιά κάνει και άλλο ένα. Σ : Αλλά το ένα … όπως ακριβώς το είπες κάνει και μπάσκετ. Για να είναι συνάρτηση πρέπει

12 κάθε στοιχείο του συνόλου Α να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο του συνόλου Β. Εδώ Δήμητρα τι έχουμε ; Δ : Για να είχαμε συνάρτηση θα πρέπει και τα άλλα δύο παιδιά να έπαιζαν και αυτά μπάσκετ ή …. Σ : Κάθε παιδί.. Άλλος Μαθητής : Μπορεί να παίζει μόνο ένα ! Σ : Μόνο ένα ! Κάθε στοιχείο από εδώ ( σύνολο Α ) « φεύγει » και αντιστοιχεί.. Δ : Μόνο σε ένα …

13 2 ο Ερώτημα Δραστηριότητας Δ : Αυτό τώρα, έτσι όπως είναι, ορίζει συνάρτηση ; Σ : Ναι. Δ : Γιατί δεν κάνουμε τον τύπο ; Σ : Πώς ; Δ : Να πούμε χ ίσον … Σ : Στη συνάρτηση υπάρχει μια συσχέτιση, μια αντιστοιχία μεταξύ των μεταβλητών. Τον τύπο τον ορίζουν μετά και κάποια άλλα στοιχεία.. Δ : Δε θα μπορούσαμε να πούμε y = 2 χ + 1 που περισσεύει και ένα γλυκό ; Μαρία : Παιδιά οι συναρτήσεις δεν έχουν πάντα τύπο ! Κάποιες έχουν. Εδώ δε

14 μπορούμε να ορίσουμε τύπο. Σ : Άλλες εκφράζονται και με τύπο. Μαρία : Τα απαραίτητα κριτήρια της συνάρτησης ποια είπαμε ότι είναι ; Μ :…………. Μαρία : Είπαμε ότι … Δ : Όλα τα στοιχεία να πηγαίνουν … να αντιστοιχούν σε ένα … σταμάτα !( μια συμμαθήτριά της λέει την απάντηση ). Λοιπόν, όλα τα στοιχεία να αντιστοιχούν σε ένα σύνολο. Σ : Ναι, κάθε στοιχείο του ενός συνόλου να αντιστοιχεί.. Δ : Σε διαφορετικό. Σ : Σε ένα και μόνο !

15 Δ : Ναι ! Σ : Με αυτά τα κριτήρια έχουμε συνάρτηση ! Μαρία : Έχουμε πει κάπου ότι χρειάζεται οπωσδήποτε να υπάρχει ένας συγκεκριμένος τύπος ; Δ : Αφου το βιβλίο στις ασκήσεις πάντα το παίρνει με τύπους. Μαρία : Ωραία, στις ασκήσεις του βιβλίου. Αλλά είναι απαραίτητο ; Λέει κάπου ότι χρειάζεται οπωσδήποτε να υπάρχει κάποιος τύπος ; Δ : Όχι... Μαρία : Άρα τι χρειάζεται οπωσδήποτε να υπάρχει ; Δ : Να ισχύουν αυτά τα δύο.

16 Σύνδεση κρίσιμου σημείου με διπλωματική εργασία A ρκετές µ ελέτες έδειξαν ότι η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης είναι αρκετά πολύπλοκη. Μαθητές που σκέφτονται για την συνάρτηση µ όνο σε σχέση µ ε συ µ βολικούς χειρισ µ ούς και διαδικαστικές τεχνικές αδυνατούν να καταλάβουν µ ια γενικότερη απεικόνιση από input values σε ένα σετ από output values και ως εκ τούτου υστερούν σε εννοιολογικές δο µ ές για την µ οντελοποίηση συναρτησιακών σχέσεων στις οποίες η τι µ ή της συνάρτησης (output value) αλλάζει συνεχώς καθώς γίνονται και συνεχείς αλλαγές

17 στην input value (Carlson,1998; Monk & Nemirovsky,1994;Thomson,1994a). A υτές οι ικανότητες έχουν αποδειχτεί ότι είναι σχετικές µ ε την αναπαράσταση και την ερ µ ηνεία της µ εταβαλλό µ ενης φύσης πολλών συναρτησιακών καταστάσεων (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2002; Thompson, 1994a) καθώς και θε µ ελιακές για την κατανόηση κύριων εννοιών των ανώτερων µ αθη µ ατικών (Carlson, Smith& Person, 2003; Cottrill et al., 1996; Kaput, 1992; Rasmussen, 2000; Thompson, 1994a; Zandieh, 2000).

18 Γιατί η συνάρτηση είναι τόσο δύσκολη έννοια για τους µ αθητές ; Σύ µ φωνα µ ε τον Τ homson o ι µ αθητές συχνά καλούνται να χειριστούν αλγεβρικές εξισώσεις και να δώσουν απαντήσεις σε ειδικούς τύπους ερωτήσεων. Οι µ αθητές εισάγονται βιαστικά στον χειρισ µ ό συ µ βόλων, στις διαδικασίες και στις λύσεις προβλη µ άτων. Φθάνει να κοιτάξου µ ε τα µ αθη µ ατικά εγχειρίδια για να αντιληφθού µ ε ότι το µ εγαλύτερο µ έρος της ενασχολήσεως µ ε τα µ αθη µ ατικά αποτελείται από επαναλα µ βανό µ ενες ανιαρές εφαρ µ ογές σταθερών διαδικασιών σε αναρίθ µ ητες

19 συλλογές προβλη µ άτων. Αυτή η επί µ ονη έ µ φαση σε διαδικασίες χωρίς να συνοδεύεται από ενέργειες που αναπτύσσουν µ ια βαθιά κατανόηση της έννοιας δεν βοηθά στο να χτιστούν θε µ ελιακές συναρτησιακές έννοιες, τέτοιες που να επιτρέπουν την εννοιολογική ερ µ ηνεία και χρήση της συνάρτησης σε διάφορες αναπαραστασιακές και καινοτό µ ες καταστάσεις. Ακό µ α πιο προβλη µ ατική είναι η κατάσταση κατά την οποία οι µ αθητές βλέπουν τη συνάρτηση σαν δύο εκφράσεις οι οποίες χωρίζονται από ένα ίσον (Thompson, 1994).

20 Αυτή η φτωχή κατανόηση των συναρτήσεων είναι ανεπαρκής βάση για µ ια πιο πλούσια κατανόηση των πιο προχωρη µ ένων µ αθη µ ατικών.

21 Οι ερευνητές Vinner & Dreyfus, 1983 - Marcovitz et al.,1983 - Hercovics,1982 διαπίστωσαν ότι οι µ αθητές πιστεύουν λανθασ µ ένα ότι : Οι ερευνητές Vinner & Dreyfus, 1983 - Marcovitz et al.,1983 - Hercovics,1982 διαπίστωσαν ότι οι µ αθητές πιστεύουν λανθασ µ ένα ότι : 1. Οι συναρτήσεις πρέπει να δίνονται µ ε έναν τύπο. Αν δίνονται πολλαπλοί τύποι συναρτήσεων, τότε έχου µ ε πολλές συναρτήσεις. 2. Μια συνάρτηση υπάρχει αν υπάρχει ένας τύπος που την περιγράφει.

22 3. Η γραφική παράσταση µ ιας συνάρτησης πρέπει να έχει καλή συ µ περιφορά. ( συ µµ ετρικότητα, ο µ αλότητα συνεχώς να αυξάνεται..) 4. Θα πρέπει να υπάρχει µ ια πράξη στο χ που να αποδίδει το ψ, αυτό αποκλείει άλλες είδους σχέσεις. 5. Οι σταθερές και καθορισ µ ένα σύ µ βολα ση µ είων δεν είναι συναρτήσεις. 6. Ο καθορισ µ ός του πεδίου δεν αποτελεί µ έρος του ορισ µ ού της συνάρτησης.

23 Βιβλιογραφία ∆ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «H έννοια της συνάρτησης κατά την πλοήγηση στο χώρο µ ε τρισδιάστατα ψηφιακά εργαλεία διαχείρισης γεωγραφικής πληροφορίας »., ΚΟΥΚΙΟΥ ΑΛΕΞΑΝ ∆ ΡΑ Επιβλέπων καθηγητής : Χρόνης Κυνηγός ΑΘΗΝΑ 2008 Σχολικό Βιβλίο Β΄Γυμνασίου

24