Αρχές επαγωγικής στατιστικής Τμήμα :Νοσηλευτικής Πατρών Διδάσκουσα: Παναγιώταρου Αλίκη Διάλεξη 8

Παράδειγμα Ενας στατιστικός πληθυσμός αποτελείται από τις τιμές της αιμοσφαιρίνης στο αίμα οκτώ ατόμων. Εστω Χ τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί στα επίπεδα αιμοσφαιρίνης κάθε ατόμου και Ν=8 το μέγεθος του πληθυσμού. Το ζητούμενο είναι η κατασκευή της δειγματικής κατανομής του αριθμητικού μέσου που αντιστοιχεί σε δείγματα n=2, ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών της και η σχέση τους με τις τιμές των αντίστοιχων παραμέτρων του πληθυσμού.

Λύση(1) Άτ 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος Ε.Α 7 1 2 3 4 5 6 8 Οι τιμές των παραμέτρων μ, και σ2 που αντιστοιχούν στη μέση τιμή και την διασπορά του πληθυσμού είναι: Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε την δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου, δηλαδή της στατιστικής που αντιστοιχεί στην παράμετρο μ, με βάση όλων των δυνατών δειγμάτων μεγέθους n=2 που μπορούμε να πάρουμε από τον πληθυσμό

Λύση(2) Ακολουθούμε την μέθοδο δειγματοληψίας με επανάθεση, τότε ο αριθμός των διαφορετικών δειγμάτων που μπορούμε να επιλέξουμε από τον πληθυσμό είναι 82 =64. Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο σε καθένα από τα δείγματα αυτά Πληθυσμός 1 2 3 4 5 6 7 8 Χ {7,7} {7,1} {7,2] 4,5 5,5 6,5 7,5 {1,7} 1,5 2,5 3,5

Κατανομή συχνοτήτων και δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου Μέση τιμή τυχαίας μεταβλητής Συχνότητα(fi) Πιθανότητα(pi) 1 1/64 1,5 2 2/64 3 3/64 2,5 4 4/64 5 5/64 3,5 6 6/64 7 7/64 4,5 8 8/64 5,5 6,5 7,5 Σύνολο Ν=64 1=64/64

Λύση(3) Υπολογίζουμε την μέση τιμή και την διασπορά της δειγματικής κατανομής του Εστω η αναμενόμενη μέση τιμή της στατιστικής . Τότε:

Συμπερασματικά: Η μέση τιμή (μ) του πληθυσμού ισούται με την αναμενόμενη μέση τιμή της δειγματικής κατανομής του . Κατασκευάζω το ιστόγραμμα και βγάζω τα κατάλληλα συμπεράσματα για τα διαστήματα εμπιστοσύνης Η αναμενόμενη διασπορά και τυπική απόκλιση της δειγματικής κατανομής του ισούται με

Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι η δειγματοληψία από τον πληθυσμό των οκτώ ατόμων γίνεται χωρίς επανάθεση. Τα διαφορετικά δείγματα μεγέθους n=2 που μπορούμε να πάρουμε είναι όλα εκείνα που εμφανίζονται πάνω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα(1.1)

Λύση(1) Υπολογίζουμε την μέση τιμή των 28 δειγμάτων και κατασκευάζουμε την δειγματική κατανομή του . Υπολογίζουμε την αναμενόμενη μέση τιμή και διασπορά της καινούργιας δειγματικής κατανομής

Κατανομή συχνοτήτων και δειγματική κατανομή του δειγματικού μέσου Συχνότητα (fi) Πιθανότητα(pi) 1,5 1 1/28 2 2,5 2/28 3 3,5 3/28 4 4,5 4/28 5 5,5 6 6,5 7 7,5 Σύνολο Ν=28 1=28/28

Διόρθωση πεπερασμένου πληθυσμού Συμπερασματικά: Η αναμενόμενη μέση τιμή της δειγματικής κατανομής του αριθμητικού μέσου ισούται με την μέση τιμή του πληθυσμού Όμως η σχέση της αναμενόμενης διασποράς του και της διασποράς του πληθυσμού είναι : Διόρθωση πεπερασμένου πληθυσμού

Αρα… Αν γνωρίζουμε την μέση τιμή και την διασπορά του πληθυσμού τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε τις τιμές της μέσης τιμής και της διασποράς της δειγματικής κατανομής του αριθμητικού μέσου Δεν παρέχει όμως πληροφορίες για τον τύπο λειτουργίας της κατανομής (για τον τύπο της συνάρτησης πιθανότητας που της αντιστοιχεί)

Ερευνητικά ζητήματα Συνήθως ο στόχος σε ερευνητικές εργασίες είναι να συγκρίνουμε ανεξάρτητες μεταβλητές(μία ή περισσότερες) π.χ. σύγκριση 2 θεραπειών Οπότε πραγματοποιούμε κλινικές μελέτες Για να το πετύχουμε αυτό θα πρέπει να ελέγξουμε υποθέσεις

Έλεγχοι υπόθεσεις Η διαδικασία ελέγχου στατιστικής υπόθεσης θεωρείται το πρώτο βήμα για την σωστή λήψη αποφάσεων Κάθε στατιστική απόφαση συνδέεται με μια πιθανότητα που αντιστοιχεί στο ενδεχόμενο να έχουμε αποδεχτεί ως αληθινή μια λανθασμένη στατιστική υπόθεση ή να έχουμε απορρίψει μια αληθινή. Εκφράζει δηλαδή το πιθανό σφάλμα που μπορεί να κάνει παίρνοντας μια στατιστική απόφαση

Έλεγχοι υπόθεσεις Υπάρχουν δύο είδη στατιστικών υποθέσεων: Η μηδενική υπόθεση Ho. Είναι η υπόθεση που ελέγχουμε. Αν κατά την διαδικασία διαπιστώσουμε ότι η πρόταση που περιέχεται στην μηδενική υπόθεση πρέπει να απορριφθεί τότε δεχόμαστε ως αληθινή την συμπληρωματική πρόταση . Η εναλλακτική υπόθεση Η1

Παράδειγμα Θέλουμε να συγκρίνουμε 2 φάρμακα και η απόδοσή τους μετράται με τις μέσες τιμές μ1 και μ2 (1=νέο φάρμακο, 2=παλαιό φάρμακο). Η0: μ1=μ2 → μ1-μ2 =0, Η1: μ1-μ2 ≠0 ή Η0: μ1-μ2 ≤0, Η1: μ1-μ2 >0