Mathematics in the streets and in the schools Terezinha Nunes Carraher, David William Carraher and Analucia Dias Schliemann Καλογεράκης Γιώργος Δ Σταυρόπουλος Παναγιώτης Δ201433

Ερευνητικό Ερώτημα Υπάρχει διαφορά μεταξύ επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με τη χρήση «σχολικών μαθηματικών» και της επίλυσης σε οικεία εξωσχολικά περιβάλλοντα. Θεωρητικό πλαίσιο Άνθρωποι που δεν έχουν πάει ποτέ σχολείο συχνά επιλύουν προβλήματα με διαφορετικό τρόπο από αυτούς που έχουν πάει (Reed & Lave) Τα παιδιά βρίσκουν συχνά παράλογα αποτελέσματα (πχ: υπόλοιπο>διαιρέτη) όταν εφαρμόζουν διαδικασίες που μαθαίνουν στο σχολείο (Carraher & Schliemann) Οι ανεπίσημες διαδικασίες που μαθαίνουν έξω από το σχολείο είναι συχνά εξαιρετικά αποτελεσματικές (Gay & Cole)

Πολιτισμικό πλαίσιο Η έρευνα έγινε στη Recife(Βραζιλία) 1,5εκ κάτοικοι εκ των οποίων μεγάλο μέρος είναι αγρότες που έχουν μεταναστεύσει από τις γύρω περιοχές και πρέπει να προσαρμοστούν σε νέο τρόπο ζωής. Πιεστικές ανάγκες στη διαδικασία προσαρμογής(Berlinck):  Εύρεση οικίας  Απόκτηση φύλλων εργασίας  Εύρεση εργασίας  Άμεση επιβίωση Άλλοι βρίσκουν δουλειά και άλλοι δουλεύουν στον άτυπο τομέα της οικονομίας(Cavalcanti 1978) 30% δουλεύει στην παραοικονομία Το επάγγελμα που εξετάζεται είναι αυτό του πλανόδιου πωλητή Το 1,4%-2,2% είναι σε ηλικία 14 και κάτω ενώ το 7,5%-8,2% από 15 έως 19 ετών Τα προβλήματα που λύνουν στη δουλειά τους:  Χωρίς χαρτί & μολύβι  Μπορεί να έχουν (*), (+), (-) (/ λιγότερο συχνά)

Μέθοδος Τα υποκείμενα: 4 αγόρια και 1 κορίτσι /9-15 ετών/ από 1 έως 8 χρόνια εκπαίδευσης Διαδικασία Επιλέχθηκαν υποκείμενα που ήταν σε ηλικία σχολείου και ερωτήθηκαν σχετικά με ηλικία και επίπεδο σχολικής εκπαίδευσης Άτυπη Δοκιμή Στο φυσικό περιβάλλον εργασίας του υποκειμένου Τέθηκαν ερωτήσεις από τους «πελάτες» για πιθανές αγορές και έλαβαν προφορικές απαντήσεις Αμφισβητήθηκαν οι απαντήσεις και ζητήθηκε ο τρόπος υπολογισμού Μέθοδος: (κλινική μέθοδο Piaget)+(συμμετοχική παρατήρηση) Παράδειγμα:

Δεν χρησιμοποίησε διαδικασίες που μαθαίνονται στο σχολείο (πολ/μός με 10= ένα 0 στο τέλος) Τυπική δοκιμή Στο ίδιο μέρος ή στο σπίτι Τα αντικείμενα κάθε υποκειμένου ετοιμάστηκαν βάση των απαντήσεών του στην άτυπη δοκιμή Ζητήθηκε να κάνουν πράξη ή να λύσουν ένα λεκτικό πρόβλημα μου εμπλέκονται οι ίδιοι αριθμοί και πράξεις όμως στην αντίστοιχη άτυπη δοκιμή Διαφοροποιήσεις(Reed & lave 1981):  Ορισμένα στοιχεία παρουσιάστηκαν αντίστροφα από την άτυπη δοκιμή (πχ παρουσιάστηκε )  Κάποια από τα αντικείμενα της άτυπης δοκιμής είχαν δεκαδική μορφή μου διέφερε από αυτό της τυπικής δοκιμής (πχ 40Cruzeiros παρουσιάστηκαν ως 40 centanos ή 35Cr. ως 3500centanos ) Cruzeiro=100centavos Έλαβαν χαρτί και μολύβι (προσομοίωση με σχολικό περιβάλλον) Συνολικά δόθηκαν 38 πράξεις και 61 προβλήματα αρκετά σαφή και απαιτούσαν μία μόνο πράξη.

Αποτελέσματα Τα αποτελέσματα φαίνεται να έρχονται σε σύγκρουση με την σιωπηρή παραδοχή ότι τα παιδιά πρέπει να μάθουν πρώτα τις τυπικές μαθηματικές λειτουργίες και στη συνέχεια να τις εφαρμόσουν σε λεκτικά και καθημερινά προβλήματα στο πλαίσιο του τυπικού τεστ, τα στοιχεία ήταν ορισμένα πριν από την εξέταση, ενώ τα άτυπα προβλήματα παρήχθησαν στο φυσικό περιβάλλον και τα αντικείμενα εντοπίστηκαν εκ των υστέρων Σωστές απαντήσεις Άτυπο τεστ - 63 προβλήματα 98,2 % Τυπικό τεστ χωρίς κείμενο - 38 προβλήματα 36,8 % Τυπικό τεστ με κείμενο - 61 προβλήματα 73,7 % Τα λεκτικά και καθημερινά προβλήματα μπορεί να προάγουν την «καθημερινή ανθρώπινη γνώση» (Donaldson, 1978) η οποία θα καθοδηγήσει τα παιδιά να βρούνε μια σωστή λύση διαισθητικά, χωρίς να απαιτείται η μετάφραση των προβλημάτων σε αλγεβρικές εκφράσεις

Ανάλυση των αποτελεσμάτων Οι απαντήσεις βαθμολογίθηκαν με κλίμακα 1 – 10 Σημαντικές διαφορές ανάμεσα στους τρεις τύπους των τεστ Friedman two-way Σημαντικά καλύτερα στα άτυπα σε σχέση με τα τυπικά χωρίς κέιμενο τεστ (U=0, P< 0.05) Μικρές διαφορές ανάμεσα στα άτυπα και στα τυπικά με λόγια τεστ (U=6, P>O.O5) Mann-Whitney Η ποιοτική ανάλυση έδειξε ότι οι τρόποι συλλογισμού διαφέρουν στις δύο καταστάσεις Στις άτυπες ερωτήσεις οι αιτιολόγηση ήταν ποιο ‘’βολική’’

Παραδείγματα Στις άτυπες ερωτήσεις σαν βασική στρατηγική για τα προβλήματα πολλαπλασιασμού έχουμε τις διαδοχικές προσθέσεις Στις τυπικα τεστ γίνεται προσπάθεια με χαρτί και μολύβι να ακολουθήσουν την σχολική τυπική πρακτική

συζήτηση τα λάθη που παρατηρήθηκαν στο τυπικό τεστ δεν σχετίζονται με τους μετασχηματισμούς από τα άτυπα προβλήματα Τα παιδιά είχαν ένα συγκεκριμένο τρόπο σκέψης απέναντι σε συγκεκριμένες καταστάσεις γεγονός που τους οδηγούσε στη λύση Οι συγκεκριμένες περιπτώσεις μπορεί να γίνουν παράγοντας διευκόλυνσης για την επίλυση μίας πιο γενικής κατάστασης Η αναφορά σε φυσικά αντικείμενα δεν απλοποιεί την αριθμητική του προβλήματος Οι υπολογισμοί στα άτυπα τεστ πραγματοποίηθηκαν νοητικά χωρίς την βοήθεια της μνήμης για μερικά αποτελέσματα ή ενδιάμεσα στάδια

συμπεράσματα Επιβεβαιώνονται οι θέσεις των Luria (1976) και Donaldson (1978) ότι η ανθρώπινη λογική σκέψη μπορεί να είναι σε υψηλότερο επίπεδο από την σκέψη έξω από το πλαίσιο Τα αποτελέσματά επίσης συμφωνούν την άποψη των Lave et al. (1984) ότι η επίλυση προβλημάτων στο σούπερ μάρκετ ήταν σημαντικά ‘’ανώτερη’’ από την επίλυση προβλημάτων με χαρτί και μολύβι Το σχολείο πρέπει να αφήνει τους μαθητές να αναπτύσσουν τις δικές τους νοητικές διεργασίες; τα αποτελέσματα της έρευνας δεν οδηγούν σε αυτό το συμπέρασμα οι νοητικοί συλλογισμοί έχουν όρια τα οποία δεν μπορούν να υπερβούν Οι διαδικασίες των σχολικών μαθηματικών δεν αμφισβητούνται μπορούν όμως να εμπλουτιστούν από εναλλακτικές λύσεις που θα προκύψουν από εξωσχολικά περιβάλλοντα

Ερώτημα Από πού πρέπει να ξεκινήσει ο εκπαιδευτικός; Πρόταση οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να αμφισβητούν την πρακτική των θεραπευτικών μαθηματικών και να αναζητήσουν τρόπους εισαγωγής που υποστηρίζονται από την καθημερινή ανθρώπινη λογική