ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 13/06/07 Διαδικασίες Γεννήσεων Θανάτου Εξισώσεις Ισορροπίας
ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη: Η κατανομή Poisson n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα P n (T) = e –λT (λΤ) n / n ! E T (n) = λT Var T (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson Διάσπαση διαδικασίας Poisson με πείραμα Bernoulli
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Συστήματα και Αλυσίδες Markov διακριτού και συνεχούς χρόνου Πιθανότητες και γράφοι / διαγράμματα μετάβασης Στατικές κατανομές και πιθανότητες καταστάσεων Birth-Death Processes Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών –Κατάσταση ισορροπίας (steady state)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων: –Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-ΔΤ, ΔΤ 0: Μία άφιξη στο διάστημα ΔΤ, με πιθανότητα λ n-1 ΔΤ Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 ΔΤ Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1- (λ n +μ n )ΔΤ –Η εξίσωση μετάβασης (Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 ΔΤ P n-1 (t-ΔΤ) + μ n+1 ΔΤ P n+1 (t-ΔΤ) + [1- (λ n +μ n )ΔΤ] P n (t-ΔΤ)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στο όριο, ΔΤ dt: [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) ή d P n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) και σε σταθερή κατάσταση t οο (αν υπάρχει) : P n (t) = P n : Εργοδικές Πιθανότητες (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1 (εξισώσεις ισορροπίας)