ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ “ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ” ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ, ΣΥΝΕΧΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ, ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ, ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χάρης Λ. Τσανίδης Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Επίκ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2008

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ Περίληψη για τα συστήματα 2D 2D Μοντέλα Μέθ. Διακριτοποίησης & Ευστάθεια Παραδείγματα & Διαγράμματα Συμπεράσματα

Σκοπός Διακριτοποίησης 2D Συστημάτων Ενασχόληση με τη διακριτοποίηση δισδιάστατων συστημάτων στα οποία η μία μεταβλητή είναι συνεχούς χρόνου και η άλλη διακριτού Τα αρχικά συστήματά είναι υβριδικά : μία μεταβλητή συνεχούς χρόνου και μία μεταβλητή διακριτού χρόνου Σκοπός είναι μετά τη διακριτοποίηση και οι δύο μεταβλητές να είναι διακριτού χρόνου, δηλαδή να έχουμε ένα διακριτό 2-D σύστημα Ο λόγος για τον οποίο χρειάζεται να γίνει αυτή η μετατροπή είναι ότι στην πράξη είναι πολύ δύσκολο να αναλύσουμε και να σχεδιάσουμε απευθείας ένα τέτοιο υβριδικό (συνεχές-διακριτό) σύστημα

Εφαρμογές 2-D Συστημάτων Εφαρμογές σε διάφορους σύγχρονους τομείς της εφαρμοσμένης μηχανικής Τα πολυδιάστατα ψηφιακά φίλτρα η πολυμεταβλητή πραγμάτωση δικτύων η επεξεργασία δεδομένων η ανάλυση των δορυφορικών καιρικών φωτογραφιών για την πρόβλεψη καιρού η επεξεργασία συσκευών ραδιοναυτιλίας (ραντάρ) και υποβρυχίων ηχητικών επεξεργαστών (σόναρ)

Εφαρμογές 2-D Συστημάτων Εφαρμογές σε διάφορους σύγχρονους τομείς βιομηχανικών διεργασιών Κοπή κομματιών άνθρακα Μετατροπή μετάλλων σε φύλλα

Μέθοδοι Διακριτοποίησης & 2D Μοντέλα Τα γραμμικά διακριτά μοντέλα στο χώρο των καταστάσεων έχουν γενικευθεί από μονοδιάστατα-χρόνου σε δισδιάστατα-χώρου Η γενίκευση περιλαμβάνει και την επέκταση βασικών εννοιών των μονοδιάστατων συστημάτων, σε αντίστοιχες έννοιες στα δισδιάστατα συστήματα Όπως για παράδειγμα : αυτή της γενικής απόκρισης της ευστάθειας Τα μοντέλα που θα παρουσιαστούν είναι : Roesser μοντέλο Fornasini-Marchesini μοντέλο 1 Fornasini-Marchesini μοντέλο 2

Roesser μοντέλο Το τοπικό διάνυσμα κατάστασης του μοντέλου διαιρείται σε οριζόντιο και κάθετο διάνυσμα κατάστασης που μας δείχνει την εξέλιξη του συστήματος οριζόντια και κάθετα αντίστοιχα στο επίπεδο για Oι οριακές συνθήκες για το δισδιάστατο Roesser μοντέλο δίνονται από τις:

Fornasini-Marchesini Ι Οριακές συνθήκες για το F-MM I θεωρούμε τις: για

Fornasini-Marchesini ΙΙ Οριακές συνθήκες για το F-MM II θεωρούμε τις: για

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μοντέλο στο χώρο των καταστάσεων μίας διαφορικής γραμμικής επαναλαμβανόμενης διαδικασίας (1) Οριακές συνθήκες (2) διάνυσμα που σταθεροποιεί τις γνωστές εισόδους διάνυσμα του οποίου οι είσοδοι είναι γνωστές συναρτήσεις του t

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βασικό πρόβλημα Δεδομένης μίας επαναλαμβανόμενης διαδικασίας της μορφής (1) και (2), κατασκευάζεται μία διακριτή προσέγγιση της ακόλουθης μορφής : (3) οριακές συνθήκες: (4)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μέθοδος του συγκρατητή μηδενικής τάξης (Zero-Order Hold ή ZOH) Τα διανύσματα εισόδου είναι βηματικά: για (5) για (6) Προκύπτει το παρακάτω μοντέλο διακριτού χρόνου όπου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βελτιωμένη Μέθοδος συγκρατητή μηδενικής τάξης (Βελτιωμένη ZOH) Αν αντικαταστήσουμε τη βηματική προσέγγιση με την τραπεζοειδή προσέγγιση: για Προκύπτει το παρακάτω μοντέλο διακριτού χρόνου όπου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μέθοδος διαφοράς προς τα εμπρός ορίζεται από ένα σήμα x(t) με: Η εφαρμογή της στην (1) δίνει : Προκύπτει το παρακάτω μοντέλο διακριτού χρόνου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μέθοδος διαφοράς προς τα πίσω ορίζεται από ένα σήμα x(t) με: Η εφαρμογή της στην (1) δίνει : Προκύπτει το παρακάτω μοντέλο διακριτού χρόνου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κανόνας τραπεζίου ορίζεται από ένα σήμα x(t) με: Τα διανύσματα εισόδου είναι βηματικά: για για

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κανόνας τραπεζίου ορίζεται από ένα σήμα x(t) με: Οι είσοδοι στο διάνυσμα εισόδου είναι βηματικές: για με:

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βελτιωμένος Κανόνας τραπεζίου οι πίνακες που ορίζουν το χώρο των καταστάσεων της διακριτής επαναλαμβανόμενης διαδικασίας είναι:

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μέθοδος Υψηλότερης Τάξης (higher order method) με τους πίνακες:

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2D ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βελτιωμένη Μέθοδος Υψηλότερης Τάξης (improved higher order method) Στο προηγούμενο μοντέλο υπάρχουν δύο επιπλέον όροι σε σχέση με το αρχικό, οι και Για να απομακρύνουμε αυτούς τους όρους μπορούμε να εφαρμόσουμε μία παρόμοια προσέγγιση που χρησιμοποιήσαμε στο βελτιωμένο κανόνα του τραπεζίου

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι πίνακες είναι : με οριακές συνθήκες: ακολουθία εισόδων:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ με περίοδο Τ=0.05 (α) Μέθοδος προς τα εμπρός (α) Μέθοδος προς τα εμπρός (β) Μέθοδος προς τα πίσω

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ με περίοδο Τ=0.05 (γ) Μέθοδος προς τα πίσω (γ) Μέθοδος προς τα πίσω (δ) Με συγκρατητή μηδενικής τάξης (ΖΟΗ)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ με περίοδο Τ=0.05 (ε) Βελτιωμένη ΖΟΗ (στ) Κανόνας του τραπεζίου

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ με περίοδο Τ=0.05 (ζ) Βελτιωμένος κανόνας του τραπεζίου (η) Υψηλότερης τάξης με βήμα ένα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ με περίοδο Τ=0.05 (θ) Βελτιωμένη μέθοδος υψηλότερης τάξης με βήμα ένα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τα διαγράμματα αυτά είναι φανερό πως η ΖΟΗ, προς τα εμπρός και προς τα πίσω μέθοδοι, αποδίδουν λιγότερο από τις άλλες Γι’αυτό συμπεραίνουμε πως αυτές οι τρεις μέθοδοι δεν είναι κατάλληλες για τη διακριτοποίηση Όλες οι άλλες δίνουν πολύ καλύτερα αποτελέσματα και γι’αυτό είναι προτιμότερες Ακόμα πρέπει να παρατηρήσουμε πως τα παρακάτω δισδιάστατα διαγράμματα δε δίνουν επαρκείς πληροφορίες ως προς την αποτελεσματικότητα των μεθόδων Αντιθέτως, τα τρισδιάστατα διαγράμματα είναι κατάλληλα μόνο για τη γενικότερη επιθεώρηση των μεθόδων Τα δισδιάστατα διαγράμματα είναι καταλληλότερα για τον εντοπισμό των σφαλμάτων της κάθε μεθόδου

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Νόρμες σφαλμάτων για διαφορετικά Τ (α) Κανόνας του τραπεζίου (β) Βελτιωμένος κανόνας του τραπεζίου

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Νόρμες σφαλμάτων για διαφορετικά Τ (γ) Υψηλότερης τάξης με βήμα ένα (δ) Βελτιωμένη μέθοδος υψηλότερης τάξης με βήμα ένα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Νόρμες σφαλμάτων για διαφορετικά Τ (ε) Βελτιωμένη ΖΟΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σύγκριση μεθόδων για Τ = 0.2 Τ = 0.1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σύγκριση μεθόδων για Τ = 0.05 Τ = 0.025

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σύγκριση μεθόδων για Τ = 0.0125 Τ = 0.0025

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα μικρότερα σφάλματα τα δίνει η μέθοδος υψηλότερης τάξης και η επόμενη μέθοδος που δίνει μικρά σφάλματα είναι η βελτιωμένη μέθοδος υψηλότερης τάξης Όταν η περίοδος ελαττώνεται (όπως στο τελευταίο διάγραμμα) όλες οι μέθοδοι (εκτός από αυτήν του τραπεζίου) παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά και σ’ αυτήν την περίπτωση η βελτιώμενη μέθοδος του τραπεζίου είναι η πιο απλή για να υπολογιστεί αριθμητικά άρα και η προτιμότερη Για μεγάλες περιόδους διακριτοποίησης οι υψηλότερης τάξης μέθοδοι είναι προτιμότερες

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Είδαμε λοιπόν ξεχωριστές μεθόδους διακριτοποίησης για την κατασκευή διακριτών προσεγγίσεων από δυναμικές διαφορικών γραμμικών επαναλαμβανόμενων διαδικασιών Σε αυτές μόνο μία από τις δύο μεταβλητές ήταν συνεχής. Στα συμπεράσματά μας τώρα για τις μεθόδους, η υψηλότερης τάξης μέθοδος δίνει τα μικρότερα σφάλματα αλλά είναι η πιο περίπλοκη στη δομή της, πράγμα που την κάνει απαιτητική στους όρους χρησιμοποίησής της και στο χρόνο υπολογισμού της. Η βελτιωμένη εκδοχή της δίνει ελαφρώς χειρότερα αποτελέσματα αλλά τα σφάλματα κατά τη διακριτοποίηση είναι σχεδόν μηδαμινά. Η βελτιωμένη μέθοδος του τραπεζίου δείχνει να είναι η μέση λύση μεταξύ μικρών σφαλμάτων διακριτοποίησης και απλότητας στους υπολογισμούς. Όταν η περίοδος μειώνεται όλες οι μέθοδοι πρακτικής αξίας δίνουν την ίδια ακρίβεια. Άρα από τη στιγμή που ο βελτιωμένος κανόνας του τραπεζίου είναι πιο εύκολος στον αριθμητικό υπολογισμό του, λογικό είναι να τον προτιμούμε σε αυτές τις περιπτώσεις. Τελειώνοντας, πρέπει να επισημάνουμε πως στις περισσότερες των περιπτώσεων η ευστάθεια της διαφορικής γραμμικής επαναλαμβανόμενης διαδικασίας δεν οδηγεί απαραίτητα σε ευστάθεια στο νέο διακριτοποιημένο σύστημα που προκύπτει. Σε όλες τις περιπτώσεις όμως είναι δυνατόν να γράψουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες και το διακριτό μοντέλο θα είναι ευσταθές.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ Χάρης Λ. Τσανίδης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ “ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ” ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ, ΣΥΝΕΧΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ, ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ, ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ Χάρης Λ. Τσανίδης