ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Πηγή: Βιοστατιστική [Β.Γ. Σταυρινός, Δ.Β. Παναγιωτάκος]

Τυχαίες Μεταβλητές Ως τυχαία ορίζεται η μεταβλητή που περιλαμβάνει τιμές, οι οποίες προέρχονται από μια τυχαία διαδικασία Οι τιμές που προκύπτουν από την τυχαία αυτή διαδικασία ονομάζονται παρατηρήσεις ή μετρήσεις. Διακριτές/Ασυνεχείς τυχαίες μεταβλητές Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Κατανομή Πιθανότητας Διακριτής Τυχαίας Μεταβλητής Κατανομή πιθανότητας της διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ είναι ο πίνακας/διάγραμμα/τύπος, ο οποίος σε κάθε τιμή χi, i=1,2,..n της τυχαίας μεταβλητής Χ αντιστοιχίζει την πιθανότητα εμφάνισης της [P(X=xi)]

Παράδειγμα: Επίσκεψη σε οδοντίατρο 86 ασθενών Κατανομή Πιθανότητας & Αθροιστική Κατανομή Πιθανότητας μιας Διακριτής Τυχαίας Μεταβλητής Παράδειγμα: Επίσκεψη σε οδοντίατρο 86 ασθενών Αν Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των σφραγισμάτων του κάθε ασθενή, να προσδιοριστεί η κατανομή πιθανότητας της Χ

Κατανομή Πιθανότητας & Αθροιστική Κατανομή Πιθανότητας μιας Διακριτής Τυχαίας Μεταβλητής

Κατανομή Πιθανότητας & Αθροιστική Κατανομή Πιθανότητας μιας Διακριτής Τυχαίας Μεταβλητής Οι κατανομές πιθανότητας που καταρτίζονται βάσει των παρατηρήσεων που προκύπτουν από πραγματικές μετρήσεις ονομάζονται εμπειρικές κατανομές πιθανότητας Οι κατανομές πιθανότητας που ακολουθούν κάποιο γνωστό θεωρητικό υπόδειγμα ονομάζονται θεωρητικές κατανομές πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτών Τυχαίων Μεταβλητών Διωνυμική Κατανομή Κατανομή Poisson Συνεχών Τυχαίων Μεταβλητών

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Κάθε πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα καθορίζεται από δύο μόνο ενδεχόμενα, τα οποία είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους, ονομάζεται δοκιμή Bernoulli Μια ακολουθία από δοκιμές Bernoulli ονομάζεται πείραμα Bernoulli όταν: Κάθε δοκιμή έχει ως αποτέλεσμα ένα μόνο από δύο δυνατά ενδεχόμενα (επιτυχία:p , αποτυχία:q) Η πιθανότητα p μιας επιτυχίας είναι η ίδια σε όλες τις δοκιμές. Ισχύει q=1-p, αφού γνωρίζουμε ότι p+q=1 Οι επανειλημμένες δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής δεν επηρεάζεται από το αποτέλεσμα άλλων δοκιμών

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Παράδειγμα: Από ένα δείγμα πελατών εταιρείας διανομής διαιτητικών γευμάτων διαπιστώθηκε ότι το 70% των πελατών δεν επανακτά το βάρος που έχασε με τη δίαιτα σε ένα διάστημα τουλάχιστον 6 μηνών. Αν επιλέξουμε τυχαία τέσσερα άτομα από τους πελάτες ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς τρία από τα τέσσερα άτομα να μην έχουν επανακτήσει το βάρος τους;

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Αν 1: επιτυχία και 0:αποτυχία Μια δυνατή περίπτωση να έχουμε 3 ακριβώς επιτυχίες στις 4 δοκιμές είναι το ενδεχόμενο 1011 με πιθανότητα P(1011): pqpp=p3q Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα είναι 4, δηλ: 1110 1101 1011 0111

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Σύμφωνα με τον αθροιστικό νόμο των πιθανοτήτων η πιθανότητα να εμφανιστεί ένα από τα 4 αυτά ενδεχόμενα είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων: 4 * p3q= 4 * 0.73 * 0.3= 4 * 0.343 * 0.3= 0.4116

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Όσο το n αυξάνει τόσο πιο επίπονη γίνεται η εφαρμογή του τύπου της διωνυμικής κατανομής Συνίσταται χρήση πινάκων με αθροιστικές τιμές της κατανομής πιθανότητας για τιμές παραμέτρων n, x, p

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Παράδειγμα: Πιθανότητα ανάρρωσης από μια ασθένεια σε 10 ημέρες είναι 0.5. Αν 12 άτομα προσβληθούν από την ασθένεια αυτή, ποια η πιθανότητα να αναρρώσουν σε 10 ημέρες; Α) 10 από αυτά; Β) περισσότερα από 10 Γ) Λιγότερα από 10;

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Παράδειγμα: Σε ένα μεγάλο πληθυσμό η παχυσαρκία χαρακτηρίζει το 35% των ατόμων. Αν επιλέξετε ένα τυχαίο δείγμα 12 ατόμων από τον πληθυσμό αυτόν, ποια είναι η πιθανότητα: Α) ακριβώς 3 άτομα να είναι παχύσαρκα; Β) 4 ή περισσότερα άτομα να είναι παχύσαρκα; Γ) λιγότερα από 5 άτομα να είναι παχύσαρκα; Δ) ο αριθμός των παχύσαρκων ατόμων να είναι από 3 εώς και 6

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Δοθέντος του n, η διωνυμική κατανομή παρουσιάζει τη μεγαλύτερη διασπορά για p=0.5, ενώ η διασπορά ελαττώνεται καθώς το p τείνει στο 0 ή στο 1.

Κατανομή Poisson

Κατανομή Poisson Παράδειγμα: Έστω ότι ένας καθορισμένος μικρός όγκος αίματος περιέχει, κατά μέσο όρο, 20 ερυθρά αιμοσφαίρια σε φυσιολογικά άτομα. Ποια είναι η πιθανότητα ίσος όγκος αίματος που θα ληφθεί από ένα φυσιολογικό άτομο να περιέχει: Α) λιγότερα από 15 αιμοσφαίρια; Β) περισσότερα από 12 αιμοσφαίρια; Γ) τουλάχιστον 12 Δ) ακριβώς 14 αιμοσφαίρια; Ε) από 10 εώς 15 αιμοσφαίρια;

Κατανομή Poisson Παράδειγμα: Μια κλινική διαθέτει συνήθως 3 κρεβάτια ημερησίως για έκτακτα περιστατικά. Ποια η πιθανότητα κάποια ημέρα (αν η κατανομή των εκτάκτων περιστατικών είναι η Poisson) να εμφανισθούν: Α) ακριβώς 3 έκτακτα περιστατικά; Β) κανένα έκτακτο περιστατικό; Γ) περισσότερα από 3 έκτακτα περιστατικά;

Κατανομή Poisson

Κατανομή Πιθανότητας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων τείνει στο άπειρο και το εύρος των διαστημάτων τείνει στο μηδέν, τότε το πολύγωνο συχνοτήτων τείνει προς μια συνεχή καμπύλη

Κατανομή Πιθανότητας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Στην περίπτωση κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής η αντίστοιχη καμπύλη f(x) ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ και έχει τις ακόλουθες γενικές ιδιότητες:

Κατανομή Πιθανότητας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής

Κατανομή Πιθανότητας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη f(x) και τον άξονα των x ισούται με τη μονάδα Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης f(x), του άξονα των x και των ευθειών x=α και x=β υπολογίζεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα Η πιθανότητα f(α) εμφάνισης οποιασδήποτε συγκεκριμένης τιμής α μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι μηδέν

Κατανομή Πιθανότητας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής

Κατανομή Πιθανότητας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής

Κανονική Κατανομή

Κανονική Κατανομή Σημαντικότερες ιδιότητες Κανονικής Κατανομής: Είναι συμμετρική ως προς το μέσο μ Ο μέσος, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή συμπίπτουν Η επιφάνεια που περικλείεται από την καμπύλη του Gauss και τον άξονα των χ έχει εμβαδόν ίσο με τη μονάδα Λόγω της συμμετρίας το 50% της επιφάνειας βρίσκεται αριστερά του μέσου και 50% δεξιά του Σε κάθε κανονική κατανομή ισχύουν οι υποδιαιρέσεις του ακόλουθου σχήματος

Κανονική Κατανομή Είναι μαθηματικά αποδεδειγμένο ότι σε τυχαία δείγματα μεγάλου μεγέθους, ορισμένες στατιστικές ακολουθούν με πολύ καλή προσέγγιση την κανονική κατανομή, έστω και αν ο πληθυσμός από τον οποίο προέρχεται το τυχαίο δείγμα δεν είναι κανονικός. Η προσέγγιση γίνεται καλύτερη όσο αυξάνει το μέγεθος του τυχαίου δείγματος

Κανονική Κατανομή Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα αποδεικνύει ότι αν από έναν πληθυσμό με οποιαδήποτε κατανομή πυκνότητας πιθανότητας f(x) ληφθούν πολλά μεγάλα τυχαία δείγματα και υπολογιστούν οι μέσοι των δειγμάτων αυτών, οι μέσοι αυτοί θα ακολουθούν την κανονική κατανομή

Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Η μετατροπή της κανονικής τυχαίας μεταβλητής Χ στην τυποποιημένη κατανομή Ζ ονομάζεται τυποποίηση της Χ. Με την τυποποίηση χρησιμοποιείται ως μονάδα μέτρησης η τυπική απόκλιση σ και ως αρχή μέτρησης όχι το σημείο 0, αλλά το σημείο μ στον άξονα των χ.

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Παράδειγμα: Αν Ζ ακολουθεί Τυποποιημένη κανονική κατανομή να υπολογίσετε τις πιθανότητες: P(Z<1) P(-2<Z<2) P(Z>1.58) P(Z>α)=0.10 P(-α<Z<α)=0.72 *

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή *e) Γενικά ισχύει ότι: P(-α<Ζ<α)= 1-2P(Z<-α) Αρα: 1-2P(Z<-α)=0.72 P(Z<-α)= (0.72-1)/-2 P(Z<-α)=0.14 Από τους πίνακες προκύπτει ότι, κατά προσέγγιση α=1.08

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Συχνά αντί για του πίνακα των τιμών της αθροιστικής κατανομής της Ν(0,1), δίνεται ο πίνακας των τιμών των πιθανοτήτων P(0<Z<α), α>0

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Παράδειγμα: Αν τα επίπεδα χοληστερόλης ενός πληθυσμού ακολουθούν κανονική κατανομή Ν(210,900), δηλαδή την κανονική κατανομή με μέσο 210mg/1dl Και τυπική απόκλιση 30mg/1dl, ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία από τον πληθυσμό αυτόν να έχει επίπεδο χοληστερόλης: Μεταξύ 180 και 210 mg/dl; Μεγαλύτερο από 225 mg/dl; Μικρότερο από 150 mg/dl; Μεταξύ 195 και 225 mg/dl;

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή

Κατανομές οι οποίες συνδέονται με την Κανονική Κατανομή Κατανομή χ2 Κατανομή t του Student Κατανομή F

Κατανομές οι οποίες συνδέονται με την Κανονική Κατανομή

Κατανομή χ2

Κατανομή χ2

Οι ιδιότητες της οικογένειας κατανομών χ2κ=1,2,… συνοψίζονται ως εξής: Κατανομή χ2 Οι ιδιότητες της οικογένειας κατανομών χ2κ=1,2,… συνοψίζονται ως εξής:

Κατανομή χ2

Κατανομή χ2

Κατανομή t του Student

Κατανομή t του Student Οι ιδιότητες της οικογένειας κατανομών tκ, κ=1,2,… συνοψίζονται ως εξής:

Κατανομή t του Student

Κατανομή F

Κατανομή F

Οι ιδιότητες της οικογένειας κατανομών χ2κ=1,2,… συνοψίζονται ως εξής: Κατανομή F Οι ιδιότητες της οικογένειας κατανομών χ2κ=1,2,… συνοψίζονται ως εξής:

Κατανομή F