ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ
ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως, όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.
Γιατί Ονομάστηκαν Έτσι; Γιατί Ονομάστηκαν Έτσι; Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα.. Ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της περιγεγραμμένης σφαίρας.
Ο Πλάτωνας, (427 π.Χ. - 347 π.Χ.), ήταν μεγάλος Έλληνας φιλόσοφος και συγγραφέας. Επηρεάστηκε από τον Σωκράτη. Ίδρυσε την Ακαδημία. Μαθητής του ήταν ο Αριστοτέλης, ο οποίος και επηρεάστηκε σε μεγάλο βαθμό από τη σκέψη του.
ΤΙ ΣΥΜΒΟΛΙΖΟΥΝ; Κατά τον Πλάτωνα, Το τετράεδρο συμβολίζει τη φωτιά, γιατί θεωρείται ότι είναι το πιο «ευκίνητο», το πιο κοφτερό, το πιο οξύ και ελαφρύ. Το εξάεδρο συμβολίζει τη γη, γιατί στέκεται σταθερά στη βάση του. Το οκτάεδρο συμβολίζει τον αέρα, γιατί περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από 2 απέναντι κορυφές του. Το δωδεκάεδρο συμβολίζει το σύμπαν και αντιστοιχεί με το δωδεκάθεο και το ζωδιακό κύκλο. Το εικοσάεδρο συμβολίζει το νερό, γιατί έχει το μεγαλύτερο όγκο. http://www.youtube.com/watch?v=g2rHtUqEWc0
Είδη Πλατωνικών Στερεών Τετράεδρο: είναι το τετράεδρο που έχει ως έδρες του ισόπλευρο τρίγωνο. Κύβος (ή κανονικό εξάεδρο): είναι το εξάεδρο έχει ως έδρες του τετράγωνο.
Οκτάεδρο: Δωδεκάεδρο: Εικοσάεδρο: είναι το οκτάεδρο που έχει ως έδρες του ισόπλευρο τρίγωνο. Δωδεκάεδρο: είναι το δωδεκάεδρο που έχει ως έδρες του κανονικό πεντάγωνο. Εικοσάεδρο: είναι το εικοσάεδρο που έχει ως έδρες του
Γεωμετρικά χαρακτηριστικά Για το πλήθος των κορυφών K, των ακμών A και των εδρών E ισχύει ο τύπος του Euler:
Αν θεωρήσουμε ότι κάθε έδρα έχει ν κορυφές (ν-γωνο) και ότι μ τέτοιες έδρες ενώνονται για να διαμορφώσουν μια πολυεδρική γωνία, τότε ισχύει:
Πολύεδρο Αναπτύγματα Κορυφές Ακμές Έδρες Τετράεδρο 4 6 Κύβος (κανονικό εξάεδρο) 8 12 Οκτάεδρο Δωδεκάεδρο 20 30 Εικοσάεδρο
Σε κάθε Πλατωνικό στερεό, όλες οι κορυφές του, ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο, το κέντρο του πολύεδρου και η οποία περνάει από όλες τις κορυφές του πολυέδρου (περιγεγραμμένη σφαίρα). Το ίδιο ισχύει και για τις έδρες, δηλαδή ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των εδρών, στα κέντρα τους (εγγεγραμμένη σφαίρα). Επίσης όλες οι ακμές ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των ακμών, στα μέσα τους
Συζυγή πολύεδρα Αν σε ένα Πλατωνικό στερεό λάβουμε τα κέντρα των εδρών του ως κορυφές ενός άλλου πολυέδρου, το δεύτερο αυτό πολύεδρο είναι επίσης Πλατωνικό στερεό. Τα δύο αυτά πολύεδρα ονομάζονται συζυγή πολύεδρα. Επομένως, το πλήθος των εδρών του πρώτου ισούται με το πλήθος των κορυφών του δεύτερου και το αντίστροφο. Το πλήθος των ακμών τους παραμένει ίδιο.
Σύμβολο Schläfli Σε κάθε κορυφή ενός κανονικού πολυέδρου συντρέχει το ίδιο πλήθος εδρών (b) που είναι όλες κανονικά πολύγωνα με κοινό αριθμό πλευρών (a). Αν κάθε έδρα έχει a πλευρές και το πλήθος των εδρών που συντρέχουν σε μια κορυφή είναι b, τότε το ζεύγος {a, b} ονομάζεται σύμβολο Schläfli. Παράδειγμα: Το σύμβολο Schläfli του κύβου είναι{4, 3}., αφού σε κάθε κορυφή συναντιούνται τρία τετράγωνα .
Πολύεδρο Σύμβολο Schläfli Τετράεδρο {3, 3} Κύβος {4, 3} Οκτάεδρο {3, 4} Δωδεκάεδρο {5, 3} Εικοσάεδρο {3, 5}
Εάν το σύμβολο Schläfli του ενός πολυέδρου είναι {α, β}, τότε το σύμβολο Schläfli του συζυγούς του θα είναι {β, α}. Έτσι, τα Πλατωνικά στερεά είναι συζυγή ανά ζεύγη: ο κύβος με το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο με το εικοσάεδρο και το τετράεδρο με τον εαυτό του.
ΤΕΛΟΣ Δήμητρα Στρουμπάκου Δήμητρα Παπαγεωργίου Κυριακή Νταούρου