(The Primitive Equations) 2) Οι Βασικές Εξισώσεις (The Primitive Equations)                                                                                               Οι εξισώσεις αυτές διέπουν τις μεταβολές στην κίνηση και στις θερμοδυναμικές ιδιότητες της ατμόσφαιρας και σχηματίζονται με βάση τις αρχές διατήρησης της ορμής, της μάζας, της ενέργειας και της υγρασίας. Οι συγκεκριμένες εξισώσεις αναπαριστούν μία απλοποιημένη μορφή των πραγματικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται στα αριθμητικά μοντέλα. Είναι γραμμένες σε Eulerian μορφή, στην οποία οι τιμές των μεταβλητών και οι παράγωγοι τους (μεταβολές των μεταβλητών στο χώρο ή στο χρόνο) υπολογίζονται σε συγκεκριμένα σταθερά σημεία στη γη. Όροι όπως η καμπυλότητα της γης δεν περιλαμβάνονται εδώ (για λόγους απλότητας), και φυσικές διεργασίες όπως η τριβή και η διαβατική θέρμανση/ψύξη αναπαριστάνονται μόνο από έναν όρο. Είναι γραμμένες σε ισοβαρικές συντεταγμένες (x-y-p) και περιλαμβάνουν όλες τις βασικές φυσικές και δυναμικές διεργασίες που είναι απαραίτητες στα αριθμητικά μοντέλα πρόγνωσης καιρού. Εξαιτίας της χρήσης ισοβαρικών συντεταγμένων (στο παράδειγμα), η δύναμη της βαροβαθμίδας (pressure gradient force - PGF) δίνεται σαν βαθμίδα του ύψους (z), και «οριζόντια» ροή θεωρείται πάνω στις ισοβαρικές επιφάνειες. Όμως τα περισσότερα αριθμητικά μοντέλα πρόγνωσης καιρού χρησιμοποιούν άλλες κατακόρυφες συντεταγμένες για να βελτιώσουν την ακρίβεια και να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς. Equation of state (καταστατική εξίσωση) P=ρRT

Προγνωστικές εξισώσεις για τον άνεμο Συνιστώσα U                                                                                                                            Καθορίζει τις χρονικές μεταβολές της U συνιστώσας του ανέμου που προκαλούνται από: Οριζόντια μεταφορά της συνιστώσας U Κατακόρυφη μεταφορά της συνιστώσας U Αποκλίσεις της V συνιστώσας του ανέμου από τη γεωστροφική ισορροπία. Άλλες φυσικές διεργασίες, όπως η τριβή. Τα μοντέλα περιλαμβάνουν προσεγγίσεις προκειμένου να λάβουν υπόψη τις ατμοσφαιρικές διεργασίες που δεν μπορούν να προβλεφθούν άμεσα. Για παράδειγμα, η ακτινοβολία και η ανωμεταφορά (convection) εφαρμόζονται άμεσα μόνο στις εξισώσεις της θερμοκρασίας και της υγρασίας και όχι στις προγνωστικές εξισώσεις του ανέμου. Όμως, οι μεταβολές της θερμοκρασίας θα προκαλέσουν μεταβολές στη δύναμη της βαροβαθμίδας, η οποία με τη σειρά της θα επηρεάσει τον άνεμο. Imbalances between the west-to-east pressure gradient force and the Coriolis force acting on the south-to-north wind will change the west-to-east wind

Δύναμη Coriolis Υποθέτουμε ότι η μεταφορά και η τριβή είναι αμελητέες

Προγνωστικές εξισώσεις για τον άνεμο Συνιστώσα V                                                                                                                            Καθορίζει τις χρονικές μεταβολές της V συνιστώσας του ανέμου που προκαλούνται από: Οριζόντια μεταφορά της συνιστώσας V Κατακόρυφη μεταφορά της συνιστώσας V Αποκλίσεις της U συνιστώσας του ανέμου από τη γεωστροφική ισορροπία. Άλλες φυσικές διεργασίες, όπως η τριβή.

Εξίσωση συνέχειας                                                                                                                            Σε αυτό το παράδειγμα, η εξίσωση της συνέχειας υπολογίζεται διαγνωστικά από τις οριζόντιες συνιστώσες του ανέμου. Η οριζόντια απόκλιση καθορίζεται από τις χωρικές μεταβολές στις δύο οριζόντιες συνιστώσες του ανέμου. Στη συνέχεια, η απόκλιση σχετίζεται με τη μεταβολή στην κατακόρυφη κίνηση. Περιοχές σύγκλισης πρέπει να συμπίπτουν είτε με περιοχές που οι ανοδικές κινήσεις ενισχύονται με το ύψος ή που οι καθοδικές κινήσεις εξασθενούν με το ύψος. Η εξίσωση της συνέχειας χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της κατακόρυφης ταχύτητας στα υδροστατικά αριθμητικά μοντέλα

Προγνωστική εξίσωση της θερμοκρασίας                                                                                                                            Οι μεταβολές της θερμοκρασίας με το χρόνο σχετίζονται με: Την οριζόντια μεταφορά από τις δύο οριζόντιες συνιστώσες του ανέμου. Τη διαφορά ανάμεσα στην κατακόρυφη μεταφορά της θερμοκρασίας και την αδιαβατική θέρμανση/ψύξη λόγω της κατακόρυφης κίνησης. Τα αποτελέσματα άλλων διαδικασιών, όπως ακτινοβολία, ανάμιξη, συμπήκνωση κλπ. Προσοχή στη σημασία της κατακόρυφης ταχύτητας που καθορίζεται από τις εξισώσεις του ανέμου και την εξίσωση της συνέχειας. Η εξίσωση της θερμοκρασίας επίσης εξαρτάται και από την υγρασία εξαιτίας του ρόλου της α) στο ποσό της θερμότητας που εκλύεται/απαιτείται λόγω συμπήκνωσης/εξάτμισης, και β) στην ενεργοποίηση της ανωμεταφοράς η οποία επίσης συνεισφέρει στην θέρμανση/ψύξη λόγω συμπήκνωσης/εξάτμισης.

Προγνωστική εξίσωση της υγρασίας                                                                                                                          Οι μεταβολές της υγρασίας με το χρόνο σχετίζονται με: Την οριζόντια μεταφορά της υγρασίας. Την κατακόρυφη μεταφορά της υγρασίας. Εξάτμιση του νερού ή εξάχνωση των παγοκρυστάλλων. Συμπήκνωση. Τα μοντέλα περιέχουν πολλούς πολύπλοκους αλγορίθμους για να εκτιμήσουν τη συμπήκνωση και τον υετό. Σημειώνεται ότι διατήρηση της υγρασίας σημαίνει ότι ο υετός που προβλέπεται από το μοντέλο μειώνει το ποσό της υγρασίας στην ατμόσφαιρα του μοντέλου. Επομένως, μία λάθος πρόγνωση βροχής (από το μοντέλο) προκαλεί λάθη στο ποσό της διαθέσιμης υγρασίας όχι μόνο στην περιοχή που έγινε το λάθος αλλά ακόμα και στις περιοχές που θα επηρεάσει η εν λόγω αέρια μάζα τις επόμενες χρονικές στιγμές. Προσοχή ξανά στη σημασία της κατακόρυφης ταχύτητας που καθορίζεται από τις εξισώσεις του ανέμου και την εξίσωση της συνέχειας.

Υδροστατική Εξίσωση                                                                                                                          Η υδροστατική εξίσωση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των υψών, τα οποία είναι αναγκαία στις προγνωστικές εξισώσεις του ανέμου. Αυτή η εξίσωση συνδέει τη μέση θερμοκρασία ενός στρώματος της ατμόσφαιρας του μοντέλου με τη διαφορά των υψών των δύο ισοβαρικών επιφανειών που περικλείουν αυτό το στρώμα. Οι θερμοκρασίες που έχουν προβλεφθεί από την προγνωστική εξίσωση της θερμοκρασίας χρησιμοποιούνται εδώ για τον υπολογισμό των υψών, τα οποία στη συνέχεια χρησιμοποιούνται από τις προγνωστικές εξισώσεις του ανέμου.

Προγνωστικές – Διαγνωστικές Εξισώσεις                                                                                                                            Προγνωστικές εξισώσεις: Δεδομένης της κατάστασης του συστήματος σε μία χρονική στιγμή είναι δυνατή η πρόγνωση της κατάστασης σε μία μελλοντική στιγμή. Περιλαμβάνουν μερικές παραγώγους ως προς το χρόνο. Διαγνωστικές εξισώσεις: Η τιμή μίας μεταβλητής σε μία χρονική στιγμή καθορίζεται από άλλες μεταβλητές την ίδια χρονική στιγμή. Δεν περιλαμβάνουν μερικές παραγώγους ως προς το χρόνο. Equation of state (καταστατική εξίσωση) P=ρRT

Εξισώσεις του μοντέλου SKIRON Διανυσματική εξίσωση της ορμής Θερμοδυναμική Εξίσωση Εξίσωση Συνέχειας Υδροστατική Εξίσωση Εξίσωση κατακόρυφης ταχύτητας (ω) Εξίσωση Επιφανειακής Βαρομετρικής Τάσης d/dt παριστάνει την ολική παράγωγο ως προς το χρόνο, v είναι το οριζόντιο διάνυσμα της ταχύτητας, f η παράμετρος Coriolis, k το μοναδιαίο διάνυσμα στον κατακόρυφο άξονα, Φ το γεωδυναμικό, R η παγκόσμια σταθερά των αερίων, και κ ο λόγος R/cp, όπου cp είναι η ειδική θερμότητα σε σταθερή πίεση. Ο όρος αντιστοιχεί στη κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας του ανέμου.

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ και ΜΗ-ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Το μοντέλο περιλαμβάνει την επιλογή να ολοκληρώνεται είτε μη-υδροστατικά είτε χρησιμοποιώντας την υδροστατική προσέγγιση (Janjic et al. 2001) - Το μη-υδροστατικό μοντέλο εμφανίζεται να είναι αποτελεσματικό σε εφαρμογές αριθμητικής πρόγνωσης. - Σε προσομοιώσεις υψηλής χωρικής ανάλυσης το μη-υδροστατικό μοντέλο δίνει γενικά καλύτερες και ομαλότερες λύσεις από το υδροστατικό. Όμως, το μη-υδροστατικό μοντέλο χρειάζεται περίπου 20-30% περισσότερο χρόνο ολοκλήρωσης από το υδροστατικό. Στα υδροστατικά μοντέλα η κατακόρυφη ταχύτητα υπολογίζεται διαγνωστικά από την εξίσωση της συνέχειας.

                                                                                                                        Τα μη-υδροστατικά μοντέλα χρησιμοποιούνται για προσομοιώσεις που απαιτούν πολύ μεγάλη χωρική ανάλυση (από δεκάδες μέτρα έως μερικά χλμ) και καλύπτουν σχετικά περιορισμένες περιοχές. Τα μη-υδροστατικά μοντέλα περιλαμβάνουν μια επιπρόσθετη προγνωστική εξίσωση που λαμβάνει υπόψη τις κατακόρυφες επιταχύνσεις, και υπολογίζει την κατακόρυφη ταχύτητα προγνωστικά και όχι διαγνωστικά όπως στα υδροστατικά μοντέλα.